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1、1称为幂级数(阿贝尔定理)设如果收敛,则当时绝对收敛如果发散,则当时发散推论 若在z=z0处收敛则当时绝对收敛定理4.12 第1页/共16页2例如在z=1则当绝对收敛设幂级数此时该级数在z=2处 绝对收敛能否在z=0处例如 幂级数而在z=3处时不能若在z=0处收敛，则在z=3处绝对收敛若在z=3处发散，则在z=0处发散处收敛收敛发散？第2页/共16页32.幂级数的收敛圆 和收敛半径对于幂级数如果存在当时绝对收敛,当时发散当时可能收敛也可能发散则称R为该级数称为该级数的收敛半径正实数R的收敛圆周第3页/共16页4例例1 1如果级数如果级数在它的收敛圆周上在它的收敛圆周上绝对收敛绝对收敛证明证明绝
2、对收敛绝对收敛证证根据条件根据条件收敛收敛当当时时根据级数收敛根据级数收敛收敛收敛所以所以在其收敛圆在其收敛圆绝对收敛绝对收敛一点一点z z0 0在收敛圆在收敛圆所围成的闭区域上所围成的闭区域上围成的闭区域上围成的闭区域上的比较判别法的比较判别法第4页/共16页5例2设级数收敛,而发散证明的收敛半径证 因为级数收敛,即在z=1处所以当时绝对收敛由假若而且收敛则当时绝对收敛此时在z=1处即收敛为1绝对收敛收敛所以的收敛半径 为1发散,可以证明当时发散第5页/共16页6比值法如果3.收敛半径的计算方法对于幂级数则收敛半径根值法如果则收敛半径定理4.14第6页/共16页7例4.求下列幂级数的收敛半径
3、(1)(1)解 P为正整数(2)(2)解 第7页/共16页8例4续.求下列幂级数 的收敛半径(3)(3)解(4)(4)解 第8页/共16页9设4.幂级数运算和性质的收敛半径和函数为即设的收敛半径和函数为即当时为R1,为R2,第9页/共16页10注意的收敛半径的收敛半径的收敛半径可能大于例如的收敛半径的收敛半径的收敛半径等式成立和的条件是为1,为1第10页/共16页11设存在,例3.下列三个幂级数的收敛半径相同证明 因为存在,所以也存在,则三个幂级数的收敛半径第11页/共16页12设设定理定理4.154.15的收敛的收敛半径半径为为R R ,和函数为和函数为则则(1)(1)在其收敛圆在其收敛圆内处处内处处(2)(2)在收敛圆内在收敛圆内可以将幂级数可以将幂级数(3)(3)在收敛圆内在收敛圆内可以将幂级数可以将幂级数的导数的导数逐项求导逐项求导解析解析逐项积分逐项积分的积分的积分第12页/共16页13注意2设的收敛半径为R,其和函数为即例如其中最前面的其中最前面的n项和当当时时当时第13页/共16页14非常重要的公式例如 把函数表示成形如的幂级数解法 必须把变成其中解第14页/共16页15作业84页习题41.3.第15页/共16页16感谢您的观看！第16页/共16页