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1、主要内容：1.函数项级数。2.幂级数及其收敛性。3.幂级数的运算。4.函数展开为幂级数。第1页/共28页一、函数项级数一、函数项级数在前面，我们曾讨论过公比为q的无穷等比级数：当|q|1时，级数是收敛的，其和为 ，因此我们也可以把q看作(-1，1)内变化的一个自变量，用x代替它，即可得到:由于上式对区间(-1，1)内的每一个q值都成立，它的每一项都是以x为自变量的函数。第2页/共28页则称点x0为函数项级数(8-3)的一个收敛点；收敛点的全体构成的集合，一般地，由定义在同一区间内的函数序列构成的无穷级数：u1(x)+u2(x)+un(x)+(8-3)称为函数项级数，记为 。在函数项级数(8-3
2、)中,若令x取定义域中某一确定值x0，则得到一个数项级数u1(x0)+u2(x0)+un(x0)+称为函数项级数的收敛域。若该数项级数收敛，反之，则称点x0为函数项级数(8-3)的发散点。第3页/共28页且称之为函数项级数的部分和函数，若x0是收敛域内的一个值，则必有一个和S(x0)与之对应，即 S(x0)=u1(x0)+u2(x0)+un(x0)+这个函数S(x)就称为函数项级数的和函数。当x0在收敛域内变化时，上述级数的和S(x0)也随之变化，就得到一个定义在收敛域上的函数S(x)，即 S(x)=u1(x)+u2(x)+un(x)+那么在函数项级数的收敛域内有 将函数项级数的前n项和记为S
3、n(x)，即Sn(x)=u1(x)+u2(x)+un(x)第4页/共28页二、幂级数及其收敛性 和 =a0+a1(x-a)+a2(x-a)2+an(x-a)n+(8-5)一般地，形如 =a0+a1x+a2x2+anxn+(8-4)的级数称为幂级数。其中an (n=0,1,2,)和a都是常数，an称为幂级数的系数。对于级数(8-5)，只要令 x-a=t,就可化为(8-4)的形式,因此下面我们主要讨论级数(8-4)。第5页/共28页所以区间(-1,1)就是该幂级数的收敛域。或者说幂级数(8-4)在点x0处收敛；对于幂级数(8-4)，它的每一项在区间(-,+)内都有定义，因此对于每个给定的实数值x0
4、，将其代入(8-4)式，就得到一个数项级数:如果(8-6)收敛，则称点x0为幂级数(8-4)的收敛点，如果(8-6)发散，则称点x0为幂级数(8-4)的发散点，或者说幂级数(8-4)在点x0处发散。所有收敛点的集合称为幂级数的收敛域，所有发散点的集合称为幂级数的发散域。例如幂级数 ，当x在区间(-1,1)内取任一个值x0时，级数 都收敛，其和为 。而(-,-1)及(1,+)就是该幂级数的发散域。第6页/共28页则称幂级数为不缺项，设幂级数 中an0 (n=0,1,2,)，否则称为缺项幂级数。在级数(8-4)中，设 ，用比值判别法，得则(3)当=0，即|x|=0时，级数(8-4)对任何x值收敛。
5、(1)当|x|1，即 时，级数(8-4)发散；因此，令 ，即 ，就得到下面定理:第7页/共28页在x=R处，可能收敛也可能发散(此时=1)，而当|x|R时幂级数发散；定理则有：(1)如果0R+,则当|x|R时幂级数收敛，(2)如果R=+，则幂级数在(-，+)内收敛；(3)如果R=0，则幂级数仅在x=0处收敛。由定理知：设幂级数 是不缺项的，幂级数在 的收敛域是以坐标原点为中点，长度为2R的区间(特殊情况可能是整个数轴，也可能只是坐标原点)。它在(-R，R)内收敛；在(-R，R)外发散；通常称R为幂级数 的收敛半径，区间(-R,R)称为幂级数的收敛区间。第8页/共28页例1 求幂级数 的收敛半径
6、。解：收敛半径：即级数 收敛半径 R=+，幂级数在(-,+)内收敛。例2 求幂级数1+2x+(3x)2+(nx)n-1+的收敛半径。解:收敛半径:即 级数 仅在x=0处收敛。第9页/共28页例3 求幂级数 的收敛区间。解:收敛半径:当|x|1时，级数 发散。当x=1和x=-1时，级数分别为 和前者收敛，后者发散。所以幂级数 的收敛区间为(-1，1。第10页/共28页例4 求幂级数 的收敛区间。解:令 x-2=t，得所以-2 t 2,即-2x-22,得0 x4。当x=0得 ，它是发散的;当x=4时，得 ，也发散。所以幂级数 收敛域为(0,4)。第11页/共28页解:例5 请求幂级数 的收敛区间。
7、当1，即x2 1时，级数收敛，即|x|1时，所求幂级数绝对收敛；当x=1时，代入级数得 ，级数收敛；所以幂级数 的收敛区间为-1，1。第12页/共28页三、幂级数的运算 设幂级数 与 的收敛半径分别为R1与R2(R1与R2与均不为零)，它们的和函数分别为S1(x)与S2(x)，记R=min(R1，R2)，那么对于幂级数可进行以下运算：1加法和减法 =S1(x)S2(x)此时所得幂级数 的收敛半径是R。2乘法=a0b0+(a0b1+a1b0)x+(a0b2+a1b1+a2b0)x2+(a0bn+a1bn-1+anb0)xn+=S1(x)S2(x)此时所得幂级数的收敛半径是R。第13页/共28页则
8、和函数S(x)在(R，R)内可积，则在(R，R)内和函数S(x)可导，3逐项求导数 若幂级数 的收敛半径为R，且有 所得幂级数的收敛半径仍为R，但在收敛区间端点处的收敛性可能改变。4逐项积分 设幂级数 的和函数S(x)收敛半径为R，且有 所得幂级数的收敛半径仍为R，但在收敛区间端点处的收敛性可能改变。第14页/共28页例6 讨论幂级数 逐项求积分所得幂级数的收敛区间。解：收敛半径R=1，逐项求积分后得它的收敛半径仍为R=1。当x=-1时，幂级数为交错级数是收敛的。当x=1时，幂级数为调和级数，它是发散的。故幂级数 的收敛区间为-1,1)。第15页/共28页例7 求幂级数 的和函数。解：所给幂级
9、数的收敛半径R=1，收敛区间为(-1,1)。注意到而在收敛区间(-1,1)内，所以第16页/共28页(8-7)式称为f(x)的x的幂级数展开式。因此，把一个函数表示为幂级数，而且在它的收敛区间内还可以像多项式一样地进行运算，四、函数展开为幂级数四、函数展开为幂级数对于研究函数有着重要的意义。我们看到，幂级数不仅形式简单，对于一个给定的函数f(x),如果能找到一个幂级数 ，使 (-RxR)(8-7)成立，那么，我们就说函数f(x)可以展开为x的幂级数，在这里，有两个问题需要我们去解决：(1)在式(8-7)中，系数 a0,a1,a2,an,如何确定？(2)f(x)满足什么条件才能展开为x的幂级数？
10、第17页/共28页先解决问题(1):不妨假设(8-7)式成立，那么根据幂级数的逐项求导法，对式(8-7)依次求出各阶导数：把x=0代入式(8-7)及上列的各等式，得a0=f(0),把它们代入式(8-7),得第18页/共28页那么这个幂级数就是f(x)的麦克劳林级数。通常称式(8-8)为f(x)的幂级数展开式，但要注意，按上述形式作出的麦克劳林级数，在收敛区间内是否一定收敛于函数本身呢？因此，还要解决问题(2)，研究f(x)满足什么条件才能展开为x的幂级数，或着说麦克劳林级数满足什么条件才能收敛于f(x)。在(-R,R)内，只要考察余项是否随n的无限增大而趋于零。要使成立，第19页/共28页当f
11、(x)在(-R，R)内有任意阶导数时，可以证明，(其中在0和 x之间；n=1,2,)综上所述可得：如果f(x)在包含点x=0的某一区间(-R,R)内有任意阶导数，(在0和 x之间；-RxR)(7-9)且那么f(x)在区间(R，R)内可以展开为麦克劳林级数。第20页/共28页函数展开为麦克劳林级数的一般步骤为：1.求出f(x)的各阶导数 ；2.计算f(0),；3.写出f(x)的麦克劳林级数4.求出上述级数的收敛区间(-R，R)；5.在收敛区间内考察 是否为零，若为零，则有：否则即使求出的麦克劳林级数收敛，其和函数也不一定为f(x)。第21页/共28页例8 求指数函数f(x)=e x 的麦克劳林展
12、开式。解：由于 f(n)(x)=e x，故得 f(n)(0)=1 (n=1,2,)。于是，e x 的麦克劳林级数为:它的收敛半径为R=+。要证明这个级数在(-，+)内收敛于e x，就需验证式(7-9)在(-，+)内成立，现在(在0和 x之间)，因 ee|x|，故对任意给定的x，e有界。而 是级数的一般项，所以根据级数收敛的必要条件，对任意的 x，都有从而即得e x 的麦克劳林展开式为:第22页/共28页于是sin x的麦克劳林展开式为:例9 求正弦函数f(x)=sin x的麦克劳林展开式。解：正弦函数的各阶导数为：，(n=0,1,2,)f(n)(0)依次循环地取0,1,0,-1,，于是得sin
13、 x麦克劳林级数为:其收敛区间为(-,+)。因为1,而(在0和x之间)所以，对任意x，第23页/共28页同理，我们可得到常见函数的麦克劳林展开式:第24页/共28页上面我们研究了函数f(x)的麦克劳林展开式，即f(x)在 x=0处的展开式。采用类似的方法，还可以得到：如果函数f(x)在包含x=a的某一区间(a-R,a+R)内有任意阶导数，且(在a和 x之间；a-Rxa+R)那么f(x)在区间(a-R,a+R)内可以展开为(x-a)的幂级数:通常称式(8-10)为f(x)在x=a 处的泰勒展开式,称(8-10)式右端的级数为f(x)在x=a处的泰勒级数。第25页/共28页将t换回x即得所求展开式为：例10 求函数f(x)=x在x=2处的泰勒展开式。解：用间接法展开比直接法更简便。令x-2=t，则x=(2+t)于是，求x在x=2 处的泰勒展开式，就化为求(2+t)在t=0处的泰勒展开式。由于第26页/共28页小结：1.函数项级数及其有关概念。2.幂级数的概念及其收敛性。3.幂级数的运算。4.函数展开为幂级数。作业：教材P142 1,12第27页/共28页感谢您的观看。第28页/共28页