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1、定理6.5(柯西中值定理)设函数 ,在区间 上满足:(i)f(x),g(x)在闭区间 a,b 上连续;(iii)(iv)则在开区间 内必定(至少)存在一点 ,使得一、柯西中值定理一、柯西中值定理(ii)f(x),g(x)在开区间(a,b)上可导;第1页/共30页几何意义首先将 f,g 这两个函数视为以 x 为参数的方程它在 O-uv 平面上表示一段曲线.由拉格朗日定理恰好等于曲线端点弦 AB 的斜率(见下图):的几何意义,存在一点(对应于参数)的导数 第2页/共30页第3页/共30页证 作辅助函数显然,满足罗尔定理的条件,所以存在点使得,即从而第4页/共30页例1 设函数 f 在区间 a,b(
2、a 0)上连续,在(a,b)证 设 ,显然 f(x),g(x)在 a,b 上满足柯西中值定理的条件,于是存在,使得变形后即得所需的等式.上可导,则存在,使得第5页/共30页在极限的四则运算中,往往遇到分子,分母均为无二、不定式极限二、不定式极限究这类极限,这种方法统称为洛必达法则.称为不定式极限.现在我们将用柯西中值定理来研比较复杂，各种结果均会发生.我们将这类极限统穷小量(无穷大量)的表达式.这种表达式的极限第6页/共30页定理6.6则证第7页/共30页注根据归结原理第8页/共30页结论同样成立.例解第9页/共30页例2解存在性.第10页/共30页这里在用洛必达法则前，使用了等价无穷小量的代
3、换，其目的就是使得计算更简洁些.例3解法则.但若作适当变换,在计算上会显得更简洁些.第11页/共30页例4解 第12页/共30页定理6.7则第13页/共30页证从而有第14页/共30页另一方面，上式的右边的第一个因子有界;第二个因子对固定第15页/共30页这就证明了的 x 有第16页/共30页注件要作相应的改变.例5解第17页/共30页例6解例7解第18页/共30页(3)式不成立.这就说明:我们再举一例:例8解因为第19页/共30页所以 A=1.若错误使用洛必达法则：这就产生了错误的结果.这说明:在使用洛必达法则前，必须首先要判别它究竟是否是3.其他类型的不定式极限第20页/共30页解但若采用不同的转化方式:很明显,这样下去将越来越复杂,难以求出结果.例9第21页/共30页解由于因此 例10第22页/共30页解例11第23页/共30页所以，原式=e0=1.例12第24页/共30页解第25页/共30页例13解第26页/共30页例14证 先设 A 0.因为第27页/共30页根据洛必达法则，有同样可证 A 0 的情形.所以由本章第节例，得第28页/共30页定理 6.7 中的条件是可以去掉的,为什么？由上面的讨论，得到复习思考题第29页/共30页感谢您的观看！第30页/共30页