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1、会计学11-6章数学分析章数学分析(sh xu fn x)课件第课件第6章章微分中值定理及其应用微分中值定理及其应用6-3PPT课件课件第一页，共39页。在处可导,由有限增量公式当充分小时,可以由一次多项式近似地代替,其误差为.在许多情况下,一、带有佩亚诺型余项的泰勒一、带有佩亚诺型余项的泰勒一、带有佩亚诺型余项的泰勒一、带有佩亚诺型余项的泰勒(ti l)(ti l)(ti l)(ti l)公式公式公式公式是不够的,而要考虑用较高次误差仅为的多项式来逼近 f,使得误差更小,第1页/共39页第二页，共39页。问题:是否存在一个 n次多项式使得答案:当 f(x)在点 x0 有n 阶导数(do sh
2、)时,这样的 n 次多设则有什么(shn me)关系？项式是存在(cnzi)的.现在来分析这样的多项式与 f(x)第2页/共39页第三页，共39页。即上式表明(biomng)Pn(x)的各项系数是由其在点 x0 的各阶设 f(x)在 x0 处 n 阶可导.如果(rgu)导数(do sh)所确定的.第3页/共39页第四页，共39页。即则不难得到(d do):第4页/共39页第五页，共39页。为 f(x)在点 x0 的 n 阶泰勒(ti l)多项式,称为泰勒系数.确实是我们所需要的多项式.定理 6.8 设 f(x)在 x=x0 处有n 阶导数，则即第5页/共39页第六页，共39页。只需证因为(yn
3、 wi)由（1）式，则当 连续使用 n 1 次洛必达法则(fz),得到证 设第6页/共39页第七页，共39页。式称为在点处的带有佩亚诺型余项的 n阶泰勒(ti l)公式.注1附近满足第7页/共39页第八页，共39页。也不能说明一定是 f(x)的n 阶泰勒多项式.处满足(4)但是当 n 1 时,不是f(x)在点的 n 阶泰勒多项式,原因是 f(x)在点 x=0 的高阶导数(二阶和二阶以上(yshng)都不存比如(br)在,所以无法(wf)构造 n 阶多项式.第8页/共39页第九页，共39页。注3可以证明对任意一个 n 次多项式存在使得这也就是说,是逼近的最佳 n 次多项式.注2 若 f(x)在点
4、 x0 有n 阶导数(do sh),则只有惟一的多项式(泰勒(ti l)多项式 Tn(x)满足:第9页/共39页第十页，共39页。在以后的应用(yngyng)中,公式(3)中的 x0 常被取作 0,形此式称为(chn wi)(带有佩亚诺型余项)的麦克劳林公式.式变为第10页/共39页第十一页，共39页。麦克劳林(Maclaurin,C.1698-1746,苏格兰)泰勒(Taylor,B.1685-1731,英国)第11页/共39页第十二页，共39页。例1 验证(ynzhng)下列公式第12页/共39页第十三页，共39页。以上(yshng)这些公式均为最基本的泰勒公式(麦克劳林公式),请务必(w
5、b)牢记.第13页/共39页第十四页，共39页。于是n 阶麦克劳林公式为证 这里(zhl)仅验证 1 和 6,其余请读者自己验证.验证 1 因为所以验证 6 设则第14页/共39页第十五页，共39页。故第15页/共39页第十六页，共39页。例2 求的麦克劳林公式,并求解 由例1那么(n me)由定理 6.8 的注 2,可知上式就是的麦克劳林第16页/共39页第十七页，共39页。公式(gngsh),由泰勒系数公式(gngsh)可知于是得到例3求在点的泰勒公式.解第17页/共39页第十八页，共39页。下面这个例题是说明如何利用泰勒公式(gngsh)来求极限.例4 求解 因为(yn wi)第18页/
6、共39页第十九页，共39页。本题虽然可用洛必达法则(fz)来求,但上面的方法比所以(suy)较简单(jindn).第19页/共39页第二十页，共39页。前面讲的带有佩亚诺型余项的泰勒(ti l)公式实际上是下面是一个定量(dngling)形式的泰勒公式.我们(w men)用泰勒多项式去替代函数,其误差为有限增量公式的一个推广,它只是定性地的告诉泰勒公式二、带有拉格朗日型余项的第20页/共39页第二十一页，共39页。定理6.9(泰勒定理)若函数上存在直到n 阶连续导函数,在(a,b)内存在(cnzi)(n+1)阶导数,则或者其中阶泰勒多项式.第21页/共39页第二十二页，共39页。证 设 不妨设
7、上连续,在上可导,且第22页/共39页第二十三页，共39页。由柯西中值定理(dngl),得因为(yn wi)所以(suy)第23页/共39页第二十四页，共39页。为 f(x)在点 x0 的 n 阶拉格朗日型余项,公式(gngsh)(5)于是就得到我们(w men)称称为(chn wi)f(x)在点 x0 的带有拉格朗日型余项的 n 阶注 请比较公式(5)与拉格朗日中值定理.泰勒公式.第24页/共39页第二十五页，共39页。因之间,故存在正数所以使得又可写成当时,公式(5)成为第25页/共39页第二十六页，共39页。公式(6)称为(chn wi)带有拉格朗日型余项的麦克劳林公例1 中六个公式(g
8、ngsh)的余项均为佩亚诺型的,现在将不一样.读者(dzh)在应用时,需根据不同情况选择合适 分均为泰勒多项式,而不同的是 Rn(x)的表达形式式.公式(3)与公式(5)都是泰勒公式,并且前面部它们改写为带有拉格朗日型余项的公式:形式的余项.第26页/共39页第二十七页，共39页。第27页/共39页第二十八页，共39页。第28页/共39页第二十九页，共39页。这里仅对公式 (iii)进行验证,其余(qy)5 个请读者自理.于是(ysh)第29页/共39页第三十页，共39页。从而(cng r)有第30页/共39页第三十一页，共39页。例5(1)计算 e 的值,使其误差不超过(2)证明(zhngm
9、ng)e 是无理数.解 由例5 可知(k zh)三、三、三、三、泰勒泰勒泰勒泰勒(ti l)(ti l)(ti l)(ti l)公式在近似计算中公式在近似计算中公式在近似计算中公式在近似计算中的应用的应用的应用的应用第31页/共39页第三十二页，共39页。于是(ysh)下证 e 是无理数.这是因为其误差不超过.第32页/共39页第三十三页，共39页。矛盾(modn).所以 e 是一个无理数.(同样可证明 都不是有理数.)例 6 计算 ln2 的值,使其误差(wch)不超过10-4.解 我们自然会想到利用(lyng)公式(iv)，此时用 x=1 代入，它的余项是那么不是整数.而由(7)式得到整数整数 整数,第33页/共39页第三十四页，共39页。现考虑(kol)函数显然这样的计算量太大,所以必须寻找(xnzho)新的方法.第34页/共39页第三十五页，共39页。第35页/共39页第三十六页，共39页。而于是(ysh)第36页/共39页第三十七页，共39页。只要(zhyo)取 n=6,便得到其误差(wch)不超过0.0001(真值为0.693147180).第37页/共39页第三十八页，共39页。复习(fx)思考题那么,在什么条件(tiojin)下 Tn(x2)一定是 f(x2)的 2n 阶泰勒(ti l)多项式?第38页/共39页第三十九页，共39页。