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1、1.2 频率与概率研究随机现象研究随机现象,不仅关心试验中会出现哪些事不仅关心试验中会出现哪些事件件,更重要的是想知道事件出现的可能性大小更重要的是想知道事件出现的可能性大小,也也就是事件的概率就是事件的概率.概率是随机事件概率是随机事件发生可能性大小发生可能性大小的度量的度量事件发生的可能性事件发生的可能性越大越大,概率就概率就越大！越大！首先首先,就像一根木棒有长度就像一根木棒有长度,一块土地有面积一样一块土地有面积一样,对于一对于一个随机事件来说个随机事件来说,它发生可能性大小的度量也是客观存在的它发生可能性大小的度量也是客观存在的.因此因此,概率作为随机事件发生可能性大小的度量概率作为
2、随机事件发生可能性大小的度量,应该是随机事应该是随机事件自身的一个属性件自身的一个属性.例例 抛一枚质地均匀的硬币抛一枚质地均匀的硬币,问正面朝上的概率是多少问正面朝上的概率是多少?答案凭直觉就可以给出答案凭直觉就可以给出,它应该是它应该是1/2或或50%.这就涉及到概率的这就涉及到概率的“测量测量”问题问题.问题是问题是,这个数字这个数字1/2是怎么来的是怎么来的?能证明吗？能证明吗？对一个随机事件对一个随机事件A,我们用一个数我们用一个数 P(A)来表示来表示A发生的可发生的可能性大小能性大小,称之为随机事件称之为随机事件A的的概率概率.那么那么,怎么来规定怎么来规定 P(A)的大小呢？的
3、大小呢？定义定义 在相同的条件下进行在相同的条件下进行n次试验次试验,其中事件其中事件A发发生的次数生的次数nA称为称为频数频数,比值比值nA/n称为称为频率频率,记为记为fn(A).).既然概率既然概率 P(A)度量了随机事件度量了随机事件A发生的可能性大发生的可能性大小小,可以预料可以预料,在大量的重复试验中在大量的重复试验中,若若P(A)较大较大,则则频率也较大频率也较大;反之反之,若若P(A)较小较小,则频率也较小则频率也较小,而且而且概率概率P(A)应与频率有许多相似的性质应与频率有许多相似的性质.下面我们先对下面我们先对频率的性质进行一番考察频率的性质进行一番考察.一、频率一、频率
4、(概率与频率的关系概率与频率的关系)这个性质称为这个性质称为频率的可加性频率的可加性.当大量重复同一当大量重复同一试验时试验时,事件事件A发发生的生的频频率往往呈率往往呈现现一定的一定的稳稳定性定性.例例1 1 历史上曾有人做过试验历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质试图证明抛掷匀质硬币时硬币时,出现正反面的机会均等出现正反面的机会均等.实验者实验者 n nH fn(H)De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069K.Pearson 12000 6019 0.5016K.Pearson 24000 12012 0.5005数据引自数据引
5、自L.Brillouin,Science and Information Theory,New York,1956例例2 2 英文字母被使用的频率相当稳定英文字母被使用的频率相当稳定.字母使用频率的研究字母使用频率的研究,对键盘设计、铅字铸造、对键盘设计、铅字铸造、信息编码、密码破译等方面都是十分有用的信息编码、密码破译等方面都是十分有用的.二、概率的公理化定义二、概率的公理化定义定义定义(概率的公理化定义概率的公理化定义)如果对任意事件如果对任意事件A,都有一个都有一个实数实数 P(A),),满足以下条件满足以下条件:(1)非负性非负性(2)规范性规范性(3)可列可加可列可加性性则称则称 P
6、(A)为事件为事件A的的概率概率.由概率的三条公理由概率的三条公理,我们可以推导出概率的若我们可以推导出概率的若干性质干性质.下面我们给出概率的一些下面我们给出概率的一些重要性质重要性质.性质性质1 1 证明证明利用概率的可列可加性及规范性利用概率的可列可加性及规范性,有有 再由概率的非负性再由概率的非负性,性质性质2 2(有限可加性有限可加性)证明证明由可列可加性及性由可列可加性及性质质1,1,得得 性质性质3 3证明证明由可加性知由可加性知,移项即得结论移项即得结论.推推论论2.2.对对任意事件任意事件A,有有注注一般地一般地,若没有条件若没有条件则公式应改为则公式应改为性质性质3 3证明
7、证明由可加性知由可加性知,移项即得结论移项即得结论.性质性质4 4(对立事件的概率对立事件的概率)证明证明对对任何事件任何事件A,有有 由由规规范性及可加性范性及可加性,性质性质5 5(加法公式加法公式)证明证明对任意两事件对任意两事件A,B,有有由性由性质质3 3得得 推论推论:一般地一般地,推广推广:三个事件的加法公式三个事件的加法公式证明留作练习证明留作练习.一般地一般地,例例1已知求A,B,C 中至少有一个发生解解的概率。例例2 某人外出旅游两天，据天气预报知：第一天下雨的概率为0.6，第二天下雨的概率为0.3，两天都下雨的概率为0.1,试求:第一天下雨，第二天不下雨的概率.解：解：设A第一天下雨，B第二天下雨则步骤步骤步骤步骤:1)1)用符号表达相关的事件；用符号表达相关的事件；2)2)找出事件间的相互关系找出事件间的相互关系,并用符号表示；并用符号表示；3)3)利用概率的性质或公式计算所求的概率利用概率的性质或公式计算所求的概率.