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1、第一讲因式分解第一讲因式分解 同学们，在初中阶段我们已经学习了因式分解。同学们，在初中阶段我们已经学习了因式分解。我们知道常见的因式分解方法有：提取公因式法；我们知道常见的因式分解方法有：提取公因式法；公式法；十字相乘法；分组分解法。公式法；十字相乘法；分组分解法。现在请同学现在请同学 们将下列各式的因式分解。们将下列各式的因式分解。通过刚才练习，我们知道，因式分解需要注通过刚才练习，我们知道，因式分解需要注意以下几点：意以下几点：基础自测基础自测（2）因因式式分分解解要要注注意意题题目目的的要要求求即即需需要要注注意意在在实实数数范范围围内内还还是是有有理理数数内内分分解解。今今后后在在未未
2、注注明明的的情情况况下下，我我们们通通常常认为认为是在有理数范是在有理数范围围内因式分解。内因式分解。（1）因因式式分分解解结结果果的的最最后后的的运运算算必必须须是是乘乘法法，结结果果中中的的因式因式都不可以都不可以继续继续分解，且每个因式都是分解，且每个因式都是整式整式。（3）因因式式分分解解的的第第一一步步首首先先是是提提取取公公因因式式，如如果果系系数数为为分分数数，通通常常我我们们可可以以通通过过提提取取的的方方法法把把各各项项系系数数转转化化为为整数整数。今天这节课，我们想在原有学习的基础上学今天这节课，我们想在原有学习的基础上学习习“拆项添项法拆项添项法”“求根法求根法”以及灵活
3、运用整体以及灵活运用整体思想进行因式分解。现在请大家来看例思想进行因式分解。现在请大家来看例1。例例1 将下列各式因式分解将下列各式因式分解例题解析例题解析a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)启示两点启示两点例例2 在在有理数有理数范范围围内将下列各式因式分解内将下列各式因式分解 刚才的因式分解的方法即是刚才的因式分解的方法即是“拆项添项法拆项添项法”，现在现在我们我们就来尝试用这种方法将下列各式因式分就来尝试用这种方法将下列各式因式分解：解：如果把刚才的题目要求改为如果把刚才的题目要求改为实数范围实数范围内因式内因式分解，结果又该是多少呢？分解
4、，结果又该是多少呢？问题即聚焦为：问题即聚焦为：x2+2x+2 ;x2-2x+2 ;3x2+3x-1 这些二次三项式是否可以在实数范这些二次三项式是否可以在实数范围内因式分解。围内因式分解。研究：二次三项式研究：二次三项式ax2+bx+c 若二次三项式若二次三项式ax2+bx+c 可以分解可以分解,那其分解的那其分解的结果一定可以写成：结果一定可以写成：a(x-m)(x-n)的形式的形式,即如果即如果可以分解，则可以分解，则ax2+bx+c=a(x-m)(x-n)。令令ax2+bx+c=0，则，则a(x-m)(x-n)=0，此时，此时m，n就是就是ax2+bx+c=0的两个根。的两个根。结论：
5、结论：二次三项式二次三项式ax2+bx+c可以因式分解的充可以因式分解的充要条件是要条件是ax2+bx+c=0是有解。是有解。ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2),x1、x2为方程为方程ax2+bx+c=0的两个根。的两个根。这就是这就是“求根法求根法”因式分解。因式分解。练习：在实数范围内将下练习：在实数范围内将下列各式因式分解：列各式因式分解：刚才我们回顾了因式分解的几个基本方法，还刚才我们回顾了因式分解的几个基本方法，还学习了学习了“拆项添项法拆项添项法”和和“求根法求根法”因式分解，因式分解，但对于一个具体的多项式，需要我们对多项式但对于一个具体的多项式，需要我们对多项式进行观
6、察分析，对不同的因式分解方法进行选进行观察分析，对不同的因式分解方法进行选择尝试，有时还要注意应用择尝试，有时还要注意应用“整体思想整体思想”进行进行“换元换元”分解。让我们来看例分解。让我们来看例3。例例3 3在有理数范围内因式分解在有理数范围内因式分解点评：点评：因式分解与整因式分解与整式乘法是互为逆运算。式乘法是互为逆运算。本题虽然是因式分解，本题虽然是因式分解，但首先是运用整式的但首先是运用整式的乘法，化简代数式，乘法，化简代数式，再对化简的结果进行再对化简的结果进行观察分析，找到了合观察分析，找到了合适的分解方法。体现适的分解方法。体现了了“迂回战术迂回战术”。点评：点评：本题不仅采
7、用了本题不仅采用了“小迂回战术小迂回战术”，还应用了，还应用了“整整体思想体思想”，把某一个代数式当，把某一个代数式当成一个整体参与十字相乘或公成一个整体参与十字相乘或公式法进行分解。值得借鉴！式法进行分解。值得借鉴！点评：点评：不仅体现了整体思想，同时也抓住了不仅体现了整体思想，同时也抓住了“十字十字相乘相乘”的本质。的本质。另解：另解：原式原式点评：点评：该解法换了个角度对多项式进行分析，将其该解法换了个角度对多项式进行分析，将其看成看成x x的一个二次三项式，即可采用十字相乘或求根的一个二次三项式，即可采用十字相乘或求根法进行因式分解了。当然本题还有一种方法，即用法进行因式分解了。当然本题还有一种方法，即用“求根法求根法”进行因式分解。进行因式分解。练习反馈练习反馈1.1.将下列各式因式分解将下列各式因式分解 2.2.将下列各式因式分解将下列各式因式分解 本节课我们除了复习回顾了常见的几种因式本节课我们除了复习回顾了常见的几种因式分解方法外，还学习了分解方法外，还学习了“拆项添项法拆项添项法”“求求根法根法”以及灵活运用整体思想进行因式分解。以及灵活运用整体思想进行因式分解。请大家完成下列练习：请大家完成下列练习：3.3.将下列各式因式分解：将下列各式因式分解：