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1、2023/4/211全体有理数,实数,复数级成的数集都是数域,称为有理数域,实数域,复数域,分别记作Q,R,C.第1页/共34页2023/4/212II 命题命题是一个陈述句,这个陈述句可以用是或者否来判定其真伪,可以转换为一个是/否问题.如:雪是白的.雪不是白的.两个三角形相似当且仅当两个三角形三个内角分别相等.命题有简单命题和复合命题两种.第2页/共34页2023/4/213逻辑连接词析取词,合取词,蕴含词,双蕴含词否定词第3页/共34页2023/4/214例如假设p为刮风,q为下雨pq:刮风且下雨pq:刮风或下雨pq:如果刮风,则必下雨pq:刮风是下雨的充分必要条件p:没有刮风(pq):
2、如果刮风,也未见得就会下雨.第4页/共34页2023/4/215条件命题pq(若p则q)与其逆否命题(q)(p)(可简写为 qp)是等价命题设p为刮风,q为下雨pq 如刮风必下雨和qp 如不下雨必无刮风是等价命题.用反证法证明一个数学定理若p则q,就是证明它的逆否命题若非q则非p第5页/共34页2023/4/216III 量词有些命题常用两种断言:集X中每个元素具有性质p;集X中至少存在一个元素具有性质p.为表述简便,用逻辑符号:xX,p(或(xX)p)和xX,p(或(xX)p)表示.第6页/共34页2023/4/217例如,对于集合A与B,AB的含义是若aA,则aB.这可表述为aA,aBAB
3、的否定为AB,含义是aA,aB第7页/共34页2023/4/218一般地,含有量词的命题的否定命题,满足下面两个基本的等价规则:非(xX)p,等价于(xX)非p;非(xX)p,等价于(xX)非p.第8页/共34页2023/4/219定义1 数域F上的n个数a1,a2,.,an构成的有序数组,称为数域F上的一个n元向量(以后常称n维向量),记作a a=a1,a2,.,an,(3.2)其中ai称为a的第i个分量.向量写作(3.2)的形式,称为行向量;向量写作列的形式(也用矩阵的转置记号表示)a a=a1,a2,.,anT(3.3)称为列向量(3.2),(3.3)式的方括号也可用圆括号).数域F上全
4、体n元向量级成的集合,记作Fn.第9页/共34页2023/4/2110定义2 设a a=a1,a2,.,an,b b=b1,b2,.,bn Fn,k F,定义(i)a a=b b,当且仅当ai=bi(i=1,2,.,n)(ii)向量加法(或a a与b b之和)为a a+b b=a1+b1,a2+b2,.,an+bn;(iii)向量的数量乘法(简称数乘)为ka a=ka1,ka2,.,kan,ka a称为向量a a与数k的数量乘积.取k=-=-1,(-1)a a=-a1,-a2,.,-an.(3.4)称右端为a a的负向量,记作-a a.则向量减法定义为b b-a a=b b+(-a a).分量
5、全为零的向量称作零向量,记作0n或0.第10页/共34页2023/4/2111上述在Fn中定义的向量加法和数乘运算称为向量的线性运算,满足八条运算规则:(1)a a+b b=b b+a a(加法交换律);(2)(a a+b b)+g g=a a+(b b+g g)(加法结合律);(3)对任一向量a a,a a+0=a a;(4)对任一向量a a,存在负向量-a a,使a a+(-a a)=0(5)1a a=a a;(6)k(la a)=(kl)a a(数乘结合律);(7)k(a a+b b)=ka a+kb b(数乘分配律);(8)(k+l)a a=ka a+la a(数乘分配律);其中a a
6、,b b,g g Fn,1,k,l F,0为零向量.第11页/共34页2023/4/2112除上面八条规则外,还有下面三个性质:(1)0a a=0,k0=0 (其中0为数零,k为任意数);(2)若ka a=0,则或者k=0,或者a a=0;(3)向量方程a a+x=b b有唯一解x=b b-a a.定义3 数域F上的全体n元向量,在其中定义了上述向量的加法和数乘运算,就称之为数域F上的n维向量空间,仍记作Fn.当F=R(实数域)时,叫做n维实向量空间,记作Rn.第12页/共34页2023/4/2113定义4 设ai Fn,ki F(i=1,2,.,m),则向量称为向量组a1,a2,.,am在数
7、域F上的一个线性组合.如果记就说b可由a1,a2,.,am线性表示(或线性表出).第13页/共34页2023/4/2114向量的线性相关性是向量在线性运算下的一种性质,它是线性代数中极为重要的基本概念.为了更好地理解这个概念,先讲一下它在三维实向量中的某些几何背景,然后给以一般定义.若两个向量a a1和a a2共线,则a a2=la a1(l R),这等于存在不全为零的数k1,k2使k1a a1+k2a a2=0;若a a1和a a2不共线,则 l R,有a a2 la a1,它等价于:只有当k1,k2全为0时,才有k1a a1+k2a a2=0.a1a2a1a2第14页/共34页2023/4
8、/2115若三个向量a a1,a a2,a a3共面,则其中至少有一个向量可由另两个向量线性表示.Oa1a2a3a3=l1a1+l2a2Oa1a2a3a1=l3a3+0a2第15页/共34页2023/4/2116两种情况都等价于:存在不全为0的数k1,k2,k3,使k1a a1+k2a a2+k3a a3=0;若a a1,a a2,a a3不共面,则任一个向量都不能由另两个向量线性表示,即只有当k1,k2,k3全为零时,才有k1a a1+k2a a2+k3a a3=0.Oa3=ka2=ja1=i第16页/共34页2023/4/2117定义5 如果对m个向量a a1,a a2,.,a am Fn
9、,有m个不全为零的数k1,k2,.,km F,使k1a a1+k2a a2+.+kma am=0(3.5)成立,则称a a1,a a2,.,a am线性相关;否则,称a a1,a a2,.,a am线性无关.即只有当k1,k2,.,km全为零时,才有 k1a a1+k2a a2+.+kma am=0 成立,就称a a1,a a2,.,a am线性无关.第17页/共34页2023/4/2118定理1 向量组a a1,a a2,.,a am(m 2)线性相关的充分必要条件是a a1,a a2,.,a am中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示.证 设a a1,a a2,.,a am线性相关,
10、则存在m个不全为0的数k1,k2,.,km,使 k1a a1+k2a a2+.+kma am=0.不妨设k1 0,于是由向量的线性运算性质得必要性得证.第18页/共34页2023/4/2119再证充分性,不妨设a a1可用a a2,a a3,.,a am线性表示,即a a1=l2a a2+l3a a3+.+lma am,于是有1a a1-l2a a2-l3a a3-.-lma am=0,显然1,-l2,-l3,.,-lm不全为0,故a a1,a a2,.,a am线性相关.定理1的等价命题(逆否命题)是:向量组a a1,a a2,.,a am(m 2)线性无关的充分必要条件是其中任一个向量都不
11、能由其余向量线性表示.第19页/共34页2023/4/2120例1 设n维向量e ei=0,.,0,1,0,.,0,其中第i个分量为1,其余分量为0,则e e1,e e2,.,e en是线性无关的.证 设存在n个数k1,k2,.,kn使k1e e1+k2e e2+.+kne en=0,即k1,k2,.,kn=0,则必须k1=k2=.=kn=0,故e e1,e e2,.,e en线性无关.以后,称e e1,e e2,.,e en为基本向量.第20页/共34页2023/4/2121例2 设n维向量a a=a1,a2,.,an,e e1,e e2,.,e en为基本向量,则向量组a a,e e1,e
12、 e2,.,e en是线性相关的.证 由于 a a=a1,a2,.,an=a1e e1+a2e e2+.+ane en,根据定理1,向量组a a,e e1,e e2,.,e en线性相关.第21页/共34页2023/4/2122例3 包含零向量的任何向量组是线性相关的.证 设向量组a a1,a a2,.,a as(其中a a1=0),于是存在不全为零的数1,0,.,0,使1a a1+0a a2+.+0a as=0,故线性相关.根据定义不难证明:单个向量a a线性相关(无关),当且仅当a a为零向量(非零向量).第22页/共34页2023/4/2123定理2 设a a1,a a2,.,a ar
13、Fn,其中:a a1=a11,a21,.,an1T,a a2=a12,a22,.,an2T,.,a ar=a1r,a2r,.,anrT.则向量组a a1,a a2,.,a ar线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组AX=0(3.6)有非零解,其中第23页/共34页2023/4/2124证 设 x1a a1+x2a a2+.+xra ar=0,(3.7)即将(3.8)式左端作线性运算,再与右端相等,即得方程(3.6).因此,如果a1,a2,.,ar线性相关,就必有不全为零的数x1,x2,.,xr使(3.7)成立,即齐次线性方程组(3.6)有非零解.反之,如(3.6)有非零解,即有不全为零的数x1
14、,x2,.,xr使(3.7)成立,故a1,a2,.,ar线性相关.第24页/共34页2023/4/2125定理2的等价命题是:a a1,a a2,.,a ar线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组(3.6)只有零解.因此,判定一组向量是否线性相关或者线性无关的基本技术是求解齐次线性方程组(3.6).在定理2中,如果nr,由高斯消元法可知,方程组(3.6)求解必有自由未知量,即必有非零解.因此,任何n+1个n维向量都是线性相关的.所以在Rn中,任何一组线性无关的向量最多只能含n个向量.第25页/共34页2023/4/2126定理3 若向量组a a1,a a2,.,a ar线性无关,而b b,a
15、a1,a a2,.,a ar线性相关,则b b可由a a1,a a2,.,a ar线性表示,且表示法唯一.证 因b b,a a1,a a2,.,a ar线性相关,存在不全为零的数k,k1,k2,.,kr,使得kb b+k1a a1+k2a a2+.+kra ar=0,(3.9)其中k 0(如k=0,则由线性无关又得必须全为零,这与不全为零矛盾),于是第26页/共34页2023/4/2127再证表示法唯一,设有两种表示法:b b=l1a a1+l2a a2+.+lra ar=h1a a1+h2a a2+.+hra ar,于是(l1-h1)a a1+(l2-h2)a a2+.+(lr-hr)a a
16、r=0.由于a1,a2,.,ar线性无关,所以必有li-hi=0,即 li=hi,i=1,2,.,r,故b b由a a1,a a2,.,a ar线性表示的表示法唯一.证毕.由定理2和定理3可得如下推论:推论 如果Fn中n个向量a a1,a a2,.,a an线性无关,则Fn中任一向量可由a a1,a a2,.,a an唯一地线性表示.第27页/共34页2023/4/2128例4 设a a1=1,-1,1,a a2=1,2,0,a a3=1,0,3,a a4=2,-3,7.问:(1)a a1,a a2,a a3是否线性相关?(2)a a4可否由a a1,a a2,a a3线性表示?如能表示求其表
17、示式.解(1)根据定理(2),作矩阵用高斯消元法易得方程组AX=O只有零解,故a1,a2,a3线性无关.第28页/共34页2023/4/2129(2)根据定理2和定理3的推论,a a4可由a a1,a a2,a a3线性表示,且表示法唯一.设x1a a1+x2a a2+x3a a3=a a4,即 x11,-1,1+x21,2,0+x11,0,3=2,-3,7.于是得即AX=a4,解此方程组得唯一解:x1=1,x2=-1,x3=2,故a4=a1-a2+2a3.第29页/共34页2023/4/2130例5 设向量组a a1,a a2,a a3线性无关,又b b1=a a1+a a2+2a a3,b
18、 b2=a a1-a a2,b b3=a a1+a a3,证明b b1,b b2,b b3线性相关.证 设 x1b b1+x2b b2+x3b b3=0 (3.10)即 x1(a a1+a a2+2a a3)+x2(a a1-a a2)+x3(a a1+a a3)=0,(x1+x2+x3)a a1+(x1-x2)a a2+(2x1+x3)a a3=0由于a a1,a a2,a a3线性无关,必有此方程有非零解,因此b1,b2,b3线性相关.第30页/共34页2023/4/2131例6 证明:若向量组a a1,a a2,.,a as中有一部分向量线性相关,则该向量组线性相关.证 不妨设a a1,
19、a a2,.,a ar线性相关(rs),于是有不全为零的数k1,k2,.,kr使 k1a a1+k2a a2+.+kra ar=0,从而有 k1a a1+k2a a2+.+kra ar+0a ar+1+.+0a as=0,这就证明了a a1,a a2,.,a as线性相关.例6的等价命题是:若向量组a a1,a a2,.,a as线性无关,则其任一部分组都是线性无关的.对一向量组,如部分相关,则整体相关,如整体无关,则任一部分必无关.第31页/共34页2023/4/2132利用定理2的结论可以证明:如果一组n维向量a a1,a a2,.,a as线性无关,那么把这些向量各任意添加m个分量所得到的新向量组也是线性无关的;如果a a1,a a2,.,a as线性相关,则它们各去掉第i个分量所得到的新向量组也是线性相关的.第32页/共34页2023/4/2133今天作业:第146页开始1,2,3,4,5题第33页/共34页2023/4/2134感谢您的观看！第34页/共34页