《研究生入学考试赵树源线性代数线性代数第讲.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《研究生入学考试赵树源线性代数线性代数第讲.pptx（40页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、会计学1研究生入学考试赵树源线性代数线性代数研究生入学考试赵树源线性代数线性代数第讲第讲2(一一)二阶行列式二阶行列式a11a12a21a22-+第1页/共40页3例例1.第2页/共40页4例例2.设设问:(1)当l为何值时D=0 (2)当l为何值时D0第3页/共40页5解解:l2-3l=0,则l=0,l=3.因此可得(1)当l=0或l=3时D=0,(2)当l0且l3时D0.第4页/共40页6(二二)三阶行列式三阶行列式第5页/共40页7画线法记忆画线法记忆a11a12a13a21a22a23a31a32a33+-第6页/共40页8例例1.第7页/共40页9例例2.a,b满足什么条件时有满足什
2、么条件时有解:若要a2+b2=0,必须a=0且b=0.第8页/共40页10例例3.的充分的充分必要条件是什么必要条件是什么?解:a2-10 当且仅当|a|1第9页/共40页111.2 n阶行列式阶行列式第10页/共40页12(一一)排列与逆序排列与逆序由由n个不同数码个不同数码1,2,n 组成的有序数组组成的有序数组 i1i2in,称为一个称为一个n级排列级排列.例如例如,1234及及2341都是都是4级级排列排列,25413是一个是一个5级排级排列列.第11页/共40页13定义定义 1.1 在一个在一个n级排列级排列i1i2in中中,如果有较大的如果有较大的数数it排在较小的数排在较小的数i
3、s前面前面(is1)共共有有n!个个n级排列级排列,其中奇其中奇偶排列各占一半偶排列各占一半.第19页/共40页21证证:n级排列的总数为级排列的总数为n(n-1)2 1=n!,设其中奇排列为设其中奇排列为p个个,偶偶排列为排列为q个个.设想将每一个奇排列都设想将每一个奇排列都施以同一的对换施以同一的对换,例如都例如都对换对换(1,2),则由则由定理定理1.1可可知知p个奇排列全部变为偶个奇排列全部变为偶排列排列,于是有于是有p q;同理同理如将全部偶排列也都施如将全部偶排列也都施以同一对换以同一对换,则则q个偶排个偶排列全部变为奇排列列全部变为奇排列,于是于是又有又有q p,所以得出所以得出
4、p=q,即奇偶排列数相等即奇偶排列数相等,各为各为n!/2个个.用三级排列验证用三级排列验证,见见表表1-1,奇偶排列各三个奇偶排列各三个第20页/共40页22(二二)n阶行列式的定义阶行列式的定义观察二阶行列式和三阶观察二阶行列式和三阶行列式行列式:第21页/共40页23(1)二阶行列式表示所有二阶行列式表示所有不同的行不同的列的两不同的行不同的列的两个元素乘积的代数和个元素乘积的代数和.两两个元素的乘积可以表示个元素的乘积可以表示为为j1j2为2级排列,当j1j2取遍了2级排列(12,21)时,即得到二阶行列式的所有项(不包含符号),共为2!=2项.第22页/共40页24三阶行列式表示所有
5、位三阶行列式表示所有位于不同的行不同的列的于不同的行不同的列的3个元素乘积的代数和个元素乘积的代数和.3个元素的乘积可以表示个元素的乘积可以表示为为j1j2j3为三级排列,当j1j2j3取遍了3级排列时,即得到三阶行列式的所有项(不包含符号),共为3!=6项.第23页/共40页25(2)每一项的符号是每一项的符号是,当当这一项中元素的行标按这一项中元素的行标按自然数顺序排列后自然数顺序排列后,如果如果对应的列标构成的排列对应的列标构成的排列是偶排列则取正号是偶排列则取正号,是奇是奇排列则取负号排列则取负号.如在上述如在上述二阶行列式中二阶行列式中,当当N(j1j2)为偶数时取正号为偶数时取正号
6、,为奇数为奇数时取负号时取负号;在上述三阶行在上述三阶行列式中列式中,当当N(j1j2j3)为偶为偶数时取正号数时取正号,为奇数时取为奇数时取负号负号.根据这个规律根据这个规律,可给出可给出n阶行列式的定义阶行列式的定义.第24页/共40页26定义定义1.2 用用n2个元素个元素aij(i,j=1,2,n)组成的记组成的记号号称为n阶行列式,其中横排称为行,纵排称为列.它表示所有可能取自不同的行不同的列的n个元素乘积的代数和,各项符号是:(接后)第25页/共40页27当这一项中元素的行标按当这一项中元素的行标按自然数顺序排列后自然数顺序排列后,如果如果对应的列标构成的排列是对应的列标构成的排列
7、是偶排列则取正号偶排列则取正号,是奇排是奇排列则取负号列则取负号.因此因此,n阶行阶行列式所表示的代数和中的列式所表示的代数和中的一般项可以写为一般项可以写为:(1.3)其中j1j2jn构成一个n级排列,当取遍所有n级排列时,则得到n阶行列式表示的代数和中所有的项.第26页/共40页28一阶行列式一阶行列式|a|就是就是a.行列式有时简记为行列式有时简记为|aij|.由定理由定理1.2可知可知:n阶行列阶行列式共有式共有n!项项,且冠以正号且冠以正号的项和冠以负号的项的项和冠以负号的项(不不算元素本身所带的负号算元素本身所带的负号)各占一半各占一半.第27页/共40页29例如例如,四阶行列式四
8、阶行列式所表示的代数和中有4!=24项.例如,a11a22a33a44项取正号,a14a23a31a42项取负号,a11a24a33a44不是D的一项.第28页/共40页30例例1.计算计算n阶行列式阶行列式的值,其中aii0(i=1,2,n).第29页/共40页31解解:D中各项中不为零的中各项中不为零的项只有项只有a11a22ann,其它其它项均为零项均为零,由于由于N(12n)=0,因此这一项因此这一项取正号取正号,得得称这种形式的行列式为下三角行列式.第30页/共40页32同理可得上三角行列式同理可得上三角行列式其中aii0(i=1,2,n).第31页/共40页33特殊情况特殊情况:其
9、中aii0(i=1,2,n).这种行列式称为对角形行列式.第32页/共40页34三角形行列式及对角形三角形行列式及对角形行列式的值行列式的值,均等于主对均等于主对角线上元素的乘积角线上元素的乘积.这一这一结论在以后行列式计算结论在以后行列式计算中可直接应用中可直接应用.由行列式的定义不难得由行列式的定义不难得出出:一个行列式若有一行一个行列式若有一行(或一列或一列)中的元素皆为零中的元素皆为零,则此行列式必为零则此行列式必为零.第33页/共40页35定理定理1.3 n阶行列式阶行列式D=|aij|的一般项可以记为的一般项可以记为(1.4)其中i1i2in与j1j2jn均为n级排列.第34页/共
10、40页36证证:由于由于i1i2in与与j1j2jn都是都是n级排列级排列,因此因此(1.4)式中的式中的n个元素是取自个元素是取自D的不同的行不同的列的不同的行不同的列.如果交换如果交换(1.4)式中的两式中的两个元素个元素则其行标排列由i1isitin换为i1itisin,逆序数奇偶性改变,列标排列由j1jsjtjn换为j1jtjsjn,逆序数奇偶性也改变.则对换后两下标排列逆序数之和的奇偶性则不改变.第35页/共40页37即有即有所以交换(1.4)式中元素的位置,其符号不改变.这样我们总可以经过有限次交换(1.4)式中元素的位置,使其行标i1i2in换为自然数顺序排列,设此时列标排列变为
11、k1k2kn,则(1.4)式变为第36页/共40页38例例2.若若(-1)N(i432k)+N(52j14)ai5a42a3ja21ak4是五阶行列式是五阶行列式|aij|的一的一项项,则则i,j,k应为何值应为何值?此时此时该项的符号是什么该项的符号是什么?解解:由行列式定义由行列式定义,每一每一项中的元素取自不同行项中的元素取自不同行不同列不同列,故有故有j=3,且有且有i=1时时k=5,或或i=5时时k=1.因此当因此当i=1,j=3,k=5时时,-a15a42a33a21a54为为|aij|的一的一项项.当当i=5,j=3,k=1时时,a55a42a33a21a14也是也是|aij|的的一项一项.第37页/共40页39例例3 用行列式定义计算行列式用行列式定义计算行列式解:因第1列和第3行都只有一个元素不为0,为寻找不为0的项,划去相应元素的行和列,则第3列取第4行,第4列只能取第1行,N(4123)=3,因此行列式取值-1.第38页/共40页40作业作业:习题一习题一(A),从从35页开始页开始第第1，2，8，9题题从第二周开始交作业从第二周开始交作业每周一交作业每周一交作业,其它时间其它时间不收作业不收作业,作业最好写在分散的纸作业最好写在分散的纸上上,而不是本子而不是本子.第39页/共40页