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1、1计算概率的方法n(1)根据频率的稳定性，在试验次数充分多的情况下，利用频率估计概率的值；n(2)直接计算，利用试验条件的某种对称性或均衡性，合理地计算事件的概率（如古典概型）；n(3)利用各种逻辑关系，比如利用概率的性质和基本公式，通过简单事件的概率计算复杂事件的概率.第1页/共29页2频 率n试验E为抛一枚硬币,A=“正面朝上”,n表示试验总数,n(A)表示在n次试验中A发生的次数,称为在n次试验中A出现的频数频数;nn(A)是频数n(A)与试验总次数n的比值,即n(A)=n(A)/n,称为A在n次试验中A出现的频率频率.n表1-1记录了每轮分别掷n=10,100,600次,且各进行10轮
2、,A出现的情况.n分别计算当n=10,100,600时,频率最大值与最小值的差(即极差极差)?第2页/共29页3表1-1实验序号n=10n=100n=600n(A)n(A)n(A)n(A)n(A)n(A)120.2640.643150.525240.4470.472960.493330.3460.463020.503470.7590.593120.520590.9490.493000.500650.5600.603060.510730.3560.562940.490880.8560.563140.523950.5400.403020.5031040.4480.482950.492第3页/共29
3、页4n根据极差可知:当试验次数n较小时,频率波动较大;当试验次数n较大时,频率波动较小;即当n越来越大时,频率的波动越来越小.第4页/共29页5表1-2列举了历史上一些著名学者掷硬币试验的记录.试验者试验次数 n频数频数n(A)频率频率n(A)迪摩根204810610.5181蒲丰404020480.5069费勒1000049790.4979皮尔孙1200060190.5016皮尔孙24000120120.5005维尼30000149940.4998第5页/共29页6n由表1-2:当试验次数n越来越大时,不仅频率的波动越来越小,而且总在一个定值定值0.5附近波动,这种性质称为频率的稳定性频率的
4、稳定性.故可用频率的稳定值0.5作为事件A的概率,P(A)=0.5n用频率估计概率的前提条件是试验次数要充分的多!第6页/共29页7频率及性质*n频率频率：事件A在n次重复试验中出现n A次，则比值n A/n称为事件A在n次重复试验中出现的频率，记为n(A);即n(A)=n A/n。n频率的性质：(容易证明)(1)非负性：0 n(A)1；(2)正则性：n()1(3)可加性：若AB ，则 n(AB)n(A)n(B).推广推广:n(Ai)=n(Ai)(m个互斥事件个互斥事件)第7页/共29页9概率的统计定义n概率的统计定义概率的统计定义：当试验次数n增大时，频率逐渐趋向一个稳定值p，称此常数p为事
5、件A的概率,记作P(A)。n概率的统计定义并非严格的数学上的定义,而只是大数定律大数定律的一个描述.n n实践证明实践证明：在不变的条件下,重复进行n次试验,事件A发生的频率稳定地某一常数p附近摆动,且一般说来,n越大,摆动幅度越小。n实际应用时,我们只能得到不稳定的频率(概率的近似值),而无法获得准确的频率稳定值p。第9页/共29页10概率的古典定义(古典概型)n有一类试验的特点特点是:1.试验的所有基本事件总数有限;(有限性有限性)2.每次试验中,各基本事件出现的可能性完全相同。(等可能性等可能性)具这两个特点的试验称为古典概型试验古典概型试验。n在古典概型的试验中,如果总共有n个可能的试
6、验结果,因此每个基本事件发生的概率为1/n,如果事件A包含有m个基本事件,则事件A发生的概率则为m/n.第10页/共29页11古典概型的概率定义n若试验结果一共由n个基本事件E1,E2,En组成,并且这些事件的出现具有相同的可能性相同的可能性,而事件A由其中某m个基本事件E1,E2,E m组成,则事件A的概率可以用下式计算:第11页/共29页12古典概型举例例如:掷一枚硬币的试验,基本事件为正面和反面,而且由于硬币的对称性,因此出现正面和反面的概率一样,都是1/2.掷一次骰子的试验,基本事件有6个,因此每个基本事件的概率为1/6,则P奇数点=3/6=1/2,P小于3=P1,2=2/6=1/3等
7、等.第12页/共29页13n注意到概率古典定义和频率定义都具有非负性、正则性、可加性。1933年,前苏联数学家柯尔柯尔莫哥洛夫莫哥洛夫通过规定概率应具备的基本性质给出一般性的公理化定义。n n定义定义:设试验E的样本空间为,对于试验E 的每一个事件A,即对于样本空间的每一个子集A,都赋予一个实数P(A),若P(A)满足下面3条公理：公理公理1:对任何事件对任何事件A,有有P(A)0。(非负性非负性)公理公理2:对于必然事件对于必然事件,P()=1。(正则性正则性)公理公理3:对于任意可列个互斥事件对于任意可列个互斥事件A1,A2,An,满足满足P(Ai)=P(Ai)。(可列可加性可列可加性)则
8、称实数P(A)为事件A的概率。概率公理化定义第13页/共29页14概率的性质n n性质性质性质性质1 1:不可能事件的概率等于0,即P()=0n n性质性质性质性质2 2:任意有限个互不相容事件A1,A2,An,之和的概率,等于它们概率的和,即P P(A Ai i)=)=P P(A Ai i)(i=1,2,n).(有限可加性有限可加性有限可加性有限可加性)特例特例特例特例:若ABAB=,则有P P(A A+B B)=)=P P(A A)+)+P P(B B)n n性质性质性质性质3 3:若A A1 1,A A2 2,A An n,构成一个完备事件组,则有 P P(A Ai i)=1)=1;特别
9、:P P()=1)=1-P P(A A)。n n性质性质性质性质4 4:若B B A A,则有(1)(1)P P(B B-A A)=)=P P(B B)-P P(A A)(2)(2)P P(B B)P P(A A)n n性质性质性质性质5 5:对于任意任意任意任意两个事件A和B,有P P(A A+B B)=)=P P(A A)+)+P P(B B)P P(ABAB),此公式称加法公式加法公式加法公式加法公式.推广推广推广推广:(:(一般加法公式一般加法公式一般加法公式一般加法公式)见教材见教材见教材见教材.第14页/共29页15概率性质的证明(之一)(1):=+P()=P(+)=P()+P()
10、+P()+(公理3可列可加性可列可加性)0=P()+P()+故,P()=0 (公理1 P()0)(2):A1+A2+An=A1+A2+An+P(A1+A2+An)=P(A1+A2+An+)=P(A1)+P(A2)+P(An)+P()+P()+故P(Ai)=P(Ai)(i=1,2,n)(3):A1,A2,An,构成一个完备事件组,即它们互不相容,且 Ai=.所以,P(Ai)=P(Ai)=P()=1第15页/共29页16B B(4)(4)A A概率性质的证明(之二)(4):思路:将B-A化为两个互不相容事件的和后,用性质2.B=AB+B=A+B,A和B互不相容事件P(B)=P(A+B)=P(A)+
11、P(B)P(B)=P(B)P(A)i.e.P(BA)=P(B)P(A)P(B)=P(A+B)=P(A)+P(B)P(A).(5):思路:利用两个互不相容事件和的公式A+B=A+(BAB)（利用图形直观理解!）P(A+B)=P(A+(B-AB)=P(A)+P(B-AB)=P(A)+P(B)-P(AB)A AB B (5)(5)第16页/共29页17例题与解答n例1:两个互不相容事件A 和 B,且P(B)=0.6,P(A+B)=0.8,求P()?n解：由有限可加性，P(A+B)=P(A)+P(B)，P(A)=P(A+B)P(B)=0.8-0.6=0.2 P()=1-P(A)=1-0.2=0.8n例
12、2：假设P(A)=Ln(a),P(B)=0.2,A B,求a的取值范围.n解:由于A B,故P(A)P(B),1P(A)P(B)0，1Ln(a)0.2 0，e a e 0.2第17页/共29页18练习n例:设P(A)=1/3,P(B)=1/2。第18页/共29页19解答第19页/共29页20练习n例:掷两颗骰子，至少有一颗骰子的点数大于3的概率是多少?第20页/共29页21古典概型的有关问题n在古典概型的概率的计算中困难的是计算一事件包含的基本事件的数目,因此需要排列和排列和组合的知识组合的知识,同时这类问题也经常可以和抽样联系在一起.这里我们做一个简单的回顾.n n乘法法则乘法法则:如果一件
13、事情可以分为两步做,第一步有n种选择,在第一步中的每一种选择中,第二步有m种选择,则整件事情共有:mn种选择.第21页/共29页22有放回抽样n假设一副牌有52张,将它们编号为1,2,52.每次抽出一张观察后再放回去(这样下一次这张牌仍有机会被抽到),这叫有放回抽样有放回抽样.假设共抽了5次,共有多少种可能的抽法?n第一次有52种抽法,在第一次的每一种抽法中,第二次又有52种抽法,因此抽5次共有5252525252=525种抽法.n一般地一般地,从从n个元素中进行个元素中进行m次放回抽样次放回抽样,则共则共有有nm种抽法种抽法第22页/共29页23不放回抽样(排列)n还是52张牌,每次抽出一张
14、,但不放回,则第二次抽时只有51张牌,第三次就只有50张牌.如果这样抽5次,就共有5251504948=52!/47!种抽法n一般地,从N个元素中抽取n个(nN),共有第23页/共29页24不放回抽样(组合)n如果从N个元素中不放回抽样n个,但不关心其顺序,比如说(1,2,3)和(3,2,1),(2,3,1)被视作一样,则称为组合,因此,组合的数目要比排列的数目小n!倍,记作第24页/共29页25例题与解答n例5:将一枚匀称的硬币连续掷2次,计算正面出现一次及正面至少出现一次的概率?n解:设事件A=“正面只出现一次”,B=“正面至少出现一次”样本空间=(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)P(A)=n(A)/n()=2/4=0.5P(B)=n(B)/n()=3/4=0.75问题：将一枚匀称的硬币连续掷5次,正面至少出现一次的概率?第25页/共29页26例题与解答第26页/共29页27练习1第27页/共29页28练习2n口袋中有a只黑球及b只白球，它们除颜色不同外，其他方面没有差别，现在把球随机地一只只摸出来，求第k次摸出的一只球是黑球的概率第28页/共29页29感谢观看！感谢观看！第29页/共29页