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1、第2章对偶理论和灵敏度分析-第4节4.1 原问题与对偶理论原问题（LP）：标准形式的变换关系为对称形式 原问题（LP）对偶问题(DP)非对称形式的变换关系原问题的约束条件中含有等式约束条件时，按以下步骤处理。设等式约束条件的线性规划问题 第一步：先将等式约束条件分解为两个不等式约束条件。第二步：按对称形式变换关系可写出它的对偶问题设yi是对应(2-13)式的对偶变量 yi是对应(2-14)式的对偶变量。这里i=1,2,，m将上述规划问题的各式整理后得到综合上述，线性规划的原问题与对偶问题的关系，其变换形式归纳为表2-4中所示对应关系。例3 试求下述线性规划原问题的对偶问题则由表2-4中原问题和
2、对偶问题的对应关系，可以直接写出上述问题的对偶问题，4.2 对偶问题的基本性质(1)对称性 对偶问题的对偶是原问题；(2)弱对偶性 若X是原问题的可行解，Y是对偶问题的可行解。则存在CXYb；(3)无界性 若原问题(对偶问题)为无界解，则其对偶问题(原问题)无可行解；(4)可行解是最优解时的性质；(5)对偶定理 若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解；且目标函数值相等；(6)互补松弛性；(7)原问题检验数与对偶问题解的关系。(1)对称性 对偶问题的对偶是原问题证明：设原问题是 max z=CX;AXb;X0根据对偶问题的对称变换关系，可以找到它的对偶问题是 min=Yb;YAC;Y0若将上式
3、两边取负号，又因min=max(-)可得到 max(-)=-Yb;-YA-C;Y0根据对称变换关系，得到上式的对偶问题是 min(-)=-CX;-AX-b;X0又因 min(-)=max可得 max=max z=CX;AXb;X0这就是原问题。证毕。(2)弱对偶性 证明：(3)无界性 若原问题(对偶问题)为无界解，则其对偶问题(原问题)无可行解证：由性质（2）可知，例：从两图对比可明显看到原问题无界，其对偶问题无可行解y1y2(4)可行解是最优解时的性质 设 是原问题的可行解，是对偶问题的可行解，当 时，是最优解。证明：(5)对偶定理 若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解；且目标函数值相等
4、。(6)互补松弛性将原问题目标函数中的系数向量C用C=YA-YS代替后，得到z=(YA-YS)X=YAX-YSX (2-15)将对偶问题的目标函数中系数列向量b，用b=AX+XS代替后，得到=Y(AX+XS)=YAX+YXS (2-16)(7)原问题检验数与对偶问题解的关系 设原问题是max z=CX;AX+XS=b;X,XS0它的对偶问题是min=Yb;YA-YS=C;Y,YS0则原问题单纯形表的检验数行对应其对偶问题的一个基解，其对应关系见表2-5。表2-5 对应关系YS1是对应原问题中基变量XB的剩余变量，YS2是对应原问题中非基变量XN的剩余变量。证:设B是原问题的一个可行基，于是 A
5、=(B,N)；原问题可以改写为 max z=CBXB+CNXN BXB+NXN+XS=b XB,XN,XS0 相应地对偶问题可表示为 min=Yb YB-YS1=CB (2-17)YN-YS2=CN (2-18)Y,YS1,YS20 这里YS=(YS1,YS2)。当求得原问题的一个解：XB=B-1b其相应的检验数为CN-CBB-1N与-CBB-1现分析这些检验数与对偶问题的解之间的关系：令Y=CBB-1，代入(2-17)式，(2-18)式得YS1=0,-YS2=CN-CBB-1N证毕。例4 已知线性规划问题 max z=x1+x2 -x1+x2+x32 -2x1+x2-x31 x1,x2,x3
6、0 试用对偶理论证明上述线性规划问题无最优解。上述问题的对偶问题为min=2y1+y2-y1-2y21 y1+y21 y1-y20 y1，y20由第1约束条件，可知对偶问题无可行解因原问题有可行解，故无最优解。例5 已知线性规划问题 min=2x1+3x2+5x3+2x4+3x5 x1+x2+2x3+x4+3x54 2x1-x2+3x3+x4+x53 xj0，j=1,2,5已知其对偶问题的最优解为y1*=4/5，y2*=3/5；z=5。试用对偶理论找出原问题的最优解。解：先写出它的对偶问题max z=4y1+3y2y1+2y22 y1-y23 2y1+3y25 y1+y22 3y1+y23 y
7、1，y20将y1*=4/5,y2*=3/5的值代入约束条件，得=1/53,=17/55,=7/52 它们为严格不等式；由互补松弛性得 x2*=x3*=x4*=0。因y1,y20；原问题的两个约束条件应取等式，故有x1*+3x5*=4,2x1*+x5*=3求解后得到x1*=1,x5*=1；故原问题的最优解为 X*=(1，0，0，0，1)T；*=5课堂练习（继第1章）用单纯形法求解下列线性规划问题。Max Z=x1+x2+3x3 x1+x2+2x3 40 x1+2x2+x3 20 x2+x3 15 x1、x2、x30写出对偶问题并求出对偶问题的最优解。Cj113000CBXBbx1x2x3x4x5x60 x450-201-1-11x1511001-13x315011001Cj-Zj0-300-1-2最后一张单纯形表X=(5,0,15)T，Z=50习题P74 2.3(1),(2)P75 2.7此此课件下件下载可自行可自行编辑修改，修改，仅供参考！供参考！感感谢您的支持，我您的支持，我们努力做得更好！努力做得更好！谢谢!