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1、3.1.1 方程的根与函数的零点全州高中 陆奕香思考：一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的根与二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象有什么关系？观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数，如(1)方程 x22x30与函数 yx22x3；(2)方程 x22x10与函数 yx22x1；(3)方程 x22x30与函数 yx22x3.画画二次函数的图象 方程方程函数函数函函数数的的图图象象方程的实数根方程的实数根x1=1,x2=3x1=x2=1无实数根无实数根函数的图象函数的图象与与x轴的交点轴的交点(1,0)、(3,0)(1,0)无交点无交点xy01321121234.xy01321
2、12543.yx012112x22x+1=0 x22x+3=0y=x22x3 y=x22x+1x22x3=0y=x22x+3上述一元二次方程的实数根二次函数图象与x 轴交点的横坐标问题1:从该表你可以得出什么结论？问题2:这个结论对一般的二次函数和方程成立吗？方程方程ax2+bx+c=0(a0)的根的根函数函数y=ax2+bx+c(a0)的图象的图象 判别式判别式=b24ac0=00函数的图象函数的图象与与 x 轴的交点轴的交点有两个相等的有两个相等的实数根实数根x1=x2没有实数根没有实数根xyx1x20 xy0 x1xy0(x1,0),(x2,0)(x1,0)没有交点没有交点两个不相等两个
3、不相等的实数根的实数根x1、x2上述一元二次方程的实数根二次函数图象与x 轴交点的横坐标函数的零点的定义：对于函数 yf(x)，我们把使 的实数 x 叫做函数 yf(x)的零点.方程、函数、图象之间的关系：f(x)0方程 f(x)=0 有实数根函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点函数 y=f(x)有零点零点是点吗零点是点吗?注意：零点指的是一个实数，并不是一个坐标.等价关系数形函数零点的定义例1 函数 f(x)=x(x4)的零点为（）A(4，0)，(0，0)Bx=0 Cx=4 D4，0函数零点的定义的应用例1 函数 f(x)=x(x4)的零点为（）A(4，0)，(0，0)Bx=0 Cx=4
4、 D4，0解析：由x(x4)=0得x=0或x=4.注意：函数的零点是实数，而不是点.解方程是求函数零点的一种方法.函数零点的定义的应用D画函数图象是求函数零点的第二种方法.下面是桂林市1月份的某两天从0点到12点的温度变化图.请你把它补充成完整的函数图象.图 1图 2请问：这段时间内，是否一定有某时刻的气温为 0 度？思考：函数 y=f(x)存在零点的条件是什么？零点存在性的探究函数零点的存在性定理：如果函数 y=f(x)在区间 a,b 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f(a)f(b)0，那么，函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点 即存在 c(a,b)，使得 f(c)=0，这个c
5、也就是方程 f(x)=0 的根思考1：若满足条件f(a)f(b)0,能否保证在区间(a,b)内有零点？思考2：在区间a,b上连续且f(a)f(b)0,函数的零点唯一吗？思考3：若在区间（a,b）有零点时，一定有f(a)f(b)0时，函数y=f(x)在区间（a,b）内一定没有零点吗？例2 已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下对应值表：x 1 2 3 4 5 6 7f(x)23 9 7 11 51226 那么函数在区间1,6上的零点至少有（）个 A.5个 B.4个 C.3个 D.2个零点存在性定理的应用B例3 函数 f(x)=-x3-3x+5 在哪个区间一定有零点（）A(0,1)B(1，2)
6、C(2，3)D(3,4)零点存在性定理的应用例3 函数 f(x)=-x3-3x+5 在哪个区间一定有零点（）A(0,1)B(1，2)C(2，3)D(3,4)分析：计算f(0)=5 f(1)=-1-3+5=1 f(2)=-8-6+5=-9 f(3)=-27-9+5=-31 f(4)=-64-12+5=-71满足条件 f(a)f(b)0f(1)f(2)0时,求函数 的零点的个数.x1234f(x)20.5-8/3-31/4解法一：用计算器或计算机作出x,f(x)的对应值表和图象.由数值表和函数图象可知，f(2)0,则f(2)f(3)0时,求函数 的零点的个数.解法二：将函数 的零点个数转化为函数
7、y=1/x 与函数 y=x2-2x 图象交点的个数.判断判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例正误，若不正确，请使用函数图象举出反例（1）已知函数）已知函数y=f(x)在区间在区间a,b上连续，且上连续，且f(a)f(b)0，则，则f(x)在区间在区间(a,b)内有且仅有一个零点内有且仅有一个零点.（）（2）已知函数）已知函数y=f(x)在区间在区间a,b 满足满足f(a)f(b)0，则，则f(x)在在区间区间(a,b)内存在零点内存在零点.（）（3）已知函数已知函数y=f(x)在区间在区间a,b上连续，且上连续，且f(a)f(b)0，则，则f(x)在区间在区间(a,b)内没有零点内没有零点.（）abOxyabOxyabOxy