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1、3.1.13.1.1方程的方程的根根与函数的与函数的零点零点(1)y=x(1)y=x2 2-2x-3-2x-3与与x x2 2-2x-3=0-2x-3=0(2)y=x(2)y=x2 2-2x+1-2x+1与与x x2 2-2x+1=0-2x+1=0(3)y=x(3)y=x2 2-2x+3-2x+3与与x x2 2-2x+3=0-2x+3=0问题问题1 1：下列二次函数的图象与下列二次函数的图象与x x轴交点和相应方轴交点和相应方程的根有何关系？程的根有何关系？方程方程x22x+1=0 x22x+3=0y=x22x3y=x22x+1函数函数函函数数的的图图象象方程的实数根方程的实数根x1=1,x
2、2=3x1=x2=1无实数根无实数根函数的图象函数的图象与与x轴的交点轴的交点(1,0)、(3,0)(1,0)无交点无交点x22x3=0 xy01321121234.xy0132112543.yx012112y=x22x+3推广：推广：一元二次函数一元二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图的图象和象和x轴的轴的交点交点与相应方程与相应方程实根实根的关系：的关系：无实根无实根 x1 x1 和和 x2相应方程的相应方程的实根实根无交点无交点（x1,0）（x1,0）（x2,0）图象与图象与 x轴的轴的交点交点图象图象 0能否将结论再推广到更一般的情况？能否将结论再推广到更一般的情况？一一.零点的定
3、义：零点的定义：对于函数对于函数y=f(xy=f(x)，我们把使，我们把使f(xf(x)=0)=0的实数的实数x x叫做函数叫做函数y=f(xy=f(x)的零点。的零点。注注：1 1、零点是一个数，而不是一个点零点是一个数，而不是一个点2 2、零点是方程零点是方程f(xf(x)=0)=0的实根的实根 3 3、零点也是函数零点也是函数y=f(xy=f(x)的图象与的图象与x x轴交点的横坐标轴交点的横坐标 请问请问：零点是一个点吗？：零点是一个点吗？再问再问：零点与方程的根有何关系？：零点与方程的根有何关系？接着问接着问：零点与函数图像跟：零点与函数图像跟x x轴的交点有何关系？轴的交点有何关系
4、？结论：结论：等价关系等价关系 方程方程f(xf(x)=0)=0有实根有实根 x x 函数函数y=f(xy=f(x)与与x x轴有交点（轴有交点（x x,0,0）函数函数y=f(xy=f(x)有零点有零点x x 练习：练习：D例例1:求下列函数的零点：求下列函数的零点：1 1、f(xf(x)=x)=x2 2+3x-10+3x-10 解解：令：令x x2 2+3x-10+3x-100 0 即即(x+5)(x-2)=0(x+5)(x-2)=0 解得解得x=-5x=-5或或x=2x=2 函数的零点为函数的零点为-5-5 和和2 2 、f(xf(x)=x)=x2 2+6x+9+6x+9 解：解：令令x
5、 x2 2+6x+9=0+6x+9=0 即即(x+3)(x+3)2 2=0=0 解得解得x=-3x=-3 函数的零点为函数的零点为-3-3（1）代数法：）代数法：解：解：2x(x2)3可化为可化为2x24x30，令，令f(x)=2x24x3,作出函数作出函数f(x)f(x)f(x)f(x)的图象的图象,如下：如下：xy0132112543.它与它与x轴没有交点，所以方程轴没有交点，所以方程2x(x2)3无实数根。无实数根。所以函数所以函数没有零点。没有零点。3.2x(x2)3（2）几何法：画出图象）几何法：画出图象4.f(x)=x3-7x+61.1.函数是否一定有零点？函数是否一定有零点？2.
6、2.如何判断函数存在零点？如何判断函数存在零点？问题探究：问题探究：A AB B观察二次函数观察二次函数f(x)=x22x3的图象的图象:2,1 f(2)0 f(1)0 f(2)f(1)0（2,1）x1 x22x30的一个根的一个根 2,4 f(2)0 f(2)f(4)0（2,4）x3 x22x30的另一个根的另一个根.xy0132112123424观察对数函数观察对数函数f(x)=lgx的图象的图象:0.5,1.5 f(0.5)0 f(0.5)f(1.5)0（0.5,1.5)x1 lgx=0的一个根的一个根.xy0121.观察下面函数观察下面函数f f（x x）的图象并回答问题：）的图象并回
7、答问题：f f（a a）f f（b b）_0_0（或）。（或）。区间区间aa，bb上上_(_(有有/无无)零点；零点；f f（b b）f f（c c）_0_0（或）。（或）。区间区间bb，cc上上_(_(有有/无无)零点；零点；f f（c c）f f（d d）_0_0（或）。（或）。区间区间cc，dd上上_(_(有有/无无)零点；零点；有有有有有有二二.零点存在定理零点存在定理 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,b上的图上的图象是象是连续不断连续不断的一条曲线，并且有的一条曲线，并且有f(a)f(b)0,那么，函数那么，函数y=f(x)在区间（在区间（a,b）内有）内有零点，即存在零
8、点，即存在c（a,b）,使得使得f(c)=0,这个这个c也就是方程也就是方程f(x)=0的根的根.注：注：.在在a,b上函数图像连续上函数图像连续 .f(a)f(b)00时，时，函数在区间（函数在区间（a a，b b）内没有零点吗）内没有零点吗?探究探究2 2：如果函数如果函数y yf f（x x）在区间）在区间aa，bb上的图象是一上的图象是一条连续不断的曲线，并且函数在区间（条连续不断的曲线，并且函数在区间（a a，b b）内）内有零点时一定有有零点时一定有f f（a a）f f（b b）0 0 吗？吗？答：答：零点存在定理只能用来判断函在某个闭区间上有零零点存在定理只能用来判断函在某个闭
9、区间上有零点，但无法用来判断函数无零点的情况点，但无法用来判断函数无零点的情况.答答：此定理逆推不此定理逆推不成立。成立。探究探究3 3：如果函数如果函数y yf f（x x）在区间）在区间aa，bb上的图象是一上的图象是一条连续不断的曲线，并且有条连续不断的曲线，并且有f f（a a）f f（b b）00时，函数时，函数在区间（在区间（a a，b b）内有零点，但是否一定只有一个零点？）内有零点，但是否一定只有一个零点？如果不是，那么什么情况下只有一个零点？如果不是，那么什么情况下只有一个零点？结论：结论：函数函数y yf f（x x）在区间）在区间aa，bb内内单调单调则函数则函数 在这个
10、区间内有且只有在这个区间内有且只有一个零点一个零点 答答：f（a）f（b）0时，只能推出函数区间时，只能推出函数区间（a，b）内有零点，不能判断出零点的个数。）内有零点，不能判断出零点的个数。例例2：判断函数判断函数f(x)=x2-3x-5 在区间在区间3,5上是否上是否 存在零点？存在零点？解：解：由题意可知由题意可知 f(3)=-50 从而从而 f(3)f(5)0 又易知函数又易知函数f(x)的图像在的图像在 3,5上是上是连续不断连续不断的的 于是，根据定理得，于是，根据定理得，函数函数f(x)=x2-3x-5在在3,5上存在零点上存在零点.1、对于定义在、对于定义在R上的函数上的函数y
11、=f(x),若若f(a).f(b)0(a,bR,且且a 2 B m2 D m23、函数函数f(x)=x3-16x的零点为的零点为()A (0,0),(4,0)B 0,4 C (4,0),(0,0),(4,0)D 4,0,44、函数、函数f(x)=x3 3x+5的零点所在的大致区间为（的零点所在的大致区间为（）A （1，2）B （2，0）C（0，1）D（0，）BBDA5、已知函数已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如的图象是连续不断的，有如下的下的x,f(x)对应值表：对应值表：x1234567f(x)239 7 11512 26那么函数在区间那么函数在区间1，6上的零点至少有（上的零点至少有
12、（）个）个 A 5 B 4 C 3 D 2C由表由表3-1和图和图3.13可知可知f(2)0，即即f(2)f(3)0，说明这个函数在区间说明这个函数在区间(2,3)内有零点。内有零点。由于函数由于函数f(x)在定义域在定义域(0,+)内是内是增函数，所以它仅有一个零点，这个增函数，所以它仅有一个零点，这个零点所在的大致区间是（零点所在的大致区间是（2，3）解：解：用计算器或计算机作出用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（表的对应值表（表3-1）和图象（图和图象（图3.13）4 1.30691.0986 3.3863 5.60947.79189.9459 12.079414.1972例例3
13、 求函数求函数f(x)=lnx+2x6的零点个数的零点个数123456789x x x xf f f f（x x x x）.x0246105y241086121487643219法二：法二：xy0121练习练习：BB课堂小结课堂小结1.1.零点的定义零点的定义函数函数y=f(xy=f(x)与与x x轴有交点（轴有交点（x xi i,0,0）方程方程f(xf(x)=0)=0有实根有实根x xi i 函数函数y=f(xy=f(x)有零点有零点x xi i3.3.零点存在定理：零点存在定理：如果函数如果函数y=f(xy=f(x)在区间在区间a,ba,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且上的图象是连续
14、不断的一条曲线，并且有有f(a)f(bf(a)f(b)0,)0,那么，函数那么，函数y=f(xy=f(x)在区间在区间（a,ba,b）内有零点，即存在）内有零点，即存在cc（a,ba,b）,使得使得f(cf(c)=0,)=0,这个这个c c也就是方程也就是方程f(xf(x)=0)=0的根的根.解：解：解：解：令令令令f(x)=f(x)=f(x)=f(x)=x23x5,作出函数作出函数f(x)f(x)f(x)f(x)的图象，如下：的图象，如下：xy01321486224 它与它与x轴有两个交点，所以轴有两个交点，所以方程方程x23x50有两个不有两个不相等的实数根。相等的实数根。(1)x23x5
15、0解：解：x2 4x4可化为可化为x24x40，令，令f(x)=x24x4，作出，作出函数函数f(x)f(x)f(x)f(x)的图象，如下：的图象，如下：.它与它与x轴只有一个交点，所以轴只有一个交点，所以方程方程x2 4x4有两个相等的实有两个相等的实数根。数根。xy013211254364(3)x2 4x4解：解：5x2+2x3x2+5可化为可化为2x2 2x50，令令令令f(x)=2f(x)=2f(x)=2f(x)=2x22x5,作出函数作出函数f(x)f(x)f(x)f(x)的图象，的图象，如下：如下：xy013211213343654422.它与它与x轴有两个交点，所以轴有两个交点，所以方程方程5x2+2x3x2+5有两个不有两个不相等的实数根。相等的实数根。(4)5 x2 2x3 x2 5