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1、弹塑性力学应力弹塑性力学应力第1页，共41页，编辑于2022年，星期六绪 论研究对象 弹性体：变形可完全恢复，几何上 杆状构件（一维）、板壳结构（二维）块体结构（三维）。荷载：包括机械外力、温度、电磁力等各种物理因素。研究内容 研究弹性体在外部荷载作用下其内部所产生的内力和变形第2页，共41页，编辑于2022年，星期六 研究方法 材料质点 从宏观尺度上看它无限小；但微观尺度上看它无限大，它包含大量稀疏分布的分子、原子；材料质点的力学行为是这些大量分子、原子力学行为的统计平均。（1）材料质点的平衡，未知应力数总是超出微分方程数，弹性力学问题总是超静定的 （2）材料质点之间的变形必须是协调的，（3
2、）应满足应力与变形关系的方程，取决于材料性质，故称为物理方程，或称为本构方程。第3页，共41页，编辑于2022年，星期六基本理论 建立弹性力学的基本方程 从静力学、变形协调和材料的物理关系等三个方面着手。弹性力学问题就归结为在给定的边界条件下求解这些基本方程。求解方法 （1）解析求解 （2）数值求解法：差分方法、有限元方法和加权残数法等。弹性力学的基本体系第4页，共41页，编辑于2022年，星期六弹性力学基本假定连续性完全弹性线弹性、小变形均匀性各向同性第5页，共41页，编辑于2022年，星期六应力矢量T(n)=定义第6页，共41页，编辑于2022年，星期六坐标分量 T(n)=Txex+Tye
3、y+Tzezex，ey和ez表示坐标轴的单位基矢量，Tx、Ty和Tz是应力矢量沿坐标轴分量。法线方向和切线方向分量 沿法线方向的应力分量称为正应力，沿切线方向的应力分量称为剪应力。第7页，共41页，编辑于2022年，星期六性质：同一点的T(n)与所取截面的法线方向n有关，所有这些不同截面上的应力矢量构成该点的应力状态 只有三个面上的应力矢量是独立的；外法线为n微面上的应力矢量为：T(n)=T(n)第8页，共41页，编辑于2022年，星期六应力张量zyzyxxyxz 微六面体 第9页，共41页，编辑于2022年，星期六三个坐标面上的应力矢量 T(ex)xex+xyey+xzez T(ey)yxe
4、x+yey+yzez T(ez)zxex+zyey+zez以上9个分量，构成应力张量在笛卡儿坐标系下的分量第10页，共41页，编辑于2022年，星期六张量表示 用1、2、3取代下标x、y、z，应力正、负号规定 正面上的应力若指向坐标轴正方向为正，否则为负；负面的应力若指向坐标轴负方向为正，否则为负。第11页，共41页，编辑于2022年，星期六张量求和约定哑指标：重复出现两次的指标，累加求和UiVi=U1V1+U2V2+U3V3 ii=11+22+33 自由指标：不重复出现的指标，例如，Aijxi=Bj 其中i是哑指标，而j是自由指标，可以取1，2，3，T(ei)ik ek第12页，共41页，编
5、辑于2022年，星期六Chauchy公式（斜面应力公式）已知三个互相垂直面上的应力矢量，求任意一斜面上的应力矢量，由四面体平衡条件导出。第13页，共41页，编辑于2022年，星期六由微四面体的平衡条件得：T(n)dS+T(ex)ldS+T(ey)mdS+T(ez)ndS+XdhdS/3=0 T(n)T(ex)l+T(ey)m+T(ez)n将斜面应力矢量T(n)沿坐标轴方向分解 T(n)Txex+Tyey+Tzez 斜截面公式Txxl+yxm+zxn Tyxyl+ym+zyn Tzxzl+yzm+zn张量表示 Tj=niij 第14页，共41页，编辑于2022年，星期六求斜截面的各种应力（1）正
6、应力 n=T(n)n=Txl+Tym+Tzn nxl2+ym2+zn2+2xylm+2yzmn+2zxnl ijninj（2)剪应力确定力边界条件第15页，共41页，编辑于2022年，星期六例题求在面上的法向正应力和切向剪应力 解第16页，共41页，编辑于2022年，星期六平衡微分方程第17页，共41页，编辑于2022年，星期六在x=0的面上，应力是x、xy、xz 在x=dx面上的应力 由x方向的平衡 第18页，共41页，编辑于2022年，星期六由y、z方向的平衡力矩平衡：绕z轴 (xydydz)dx(yxdxdz)dy=0 xyyx 绕x和y方向的形心轴取矩 yz=zyxz=zx 第19页，
7、共41页，编辑于2022年，星期六静力学边界条件xl+yxm+zxnxyl+ym+zynxzl+yzm+zn第20页，共41页，编辑于2022年，星期六例1-2 如图所示的楔形体受水压力作用，水的容重为，试写出边界条 件。解：在x=0上，l=1，m=0，(x)x=0(1)+(yx)x=00=y (xy)x=0(1)+(y)x=00=0 (x)x=0=y(xy)x=0 在斜边上 l=cos，m=sin x cos yx sin=0 xycos y sin=0第21页，共41页，编辑于2022年，星期六应力分量的坐标变换 exeyezl1m1n1l2m2n2l3m3n3 面（斜截面）的应力矢量在旧
8、坐标下的分量Txxl1+yxm1+zxn1 Tyxyl1+ym1+zyn1 Tzxzl1+yzm1+zn1 新旧坐标的夹角第22页，共41页，编辑于2022年，星期六 Txl1+Tym1+Tzn1(l1 m1 n1)T第23页，共41页，编辑于2022年，星期六 T 第24页，共41页，编辑于2022年，星期六主应力在主平面上在主平面上 T(n)n或 TxlTy mTzn(x)l+yxm+zxn0 xyl+(y)m+zyn0 xzl+yzm+(z)n0l2+m2+n2=1 非零解条件第25页，共41页，编辑于2022年，星期六特征方程 3I12+I2I3=0不变量I1=x+y+z=kkI2=x
9、y+xz+yz()=(ijij)主应力性质 （1）主平面相互垂直 （2）极值性第26页，共41页，编辑于2022年，星期六最大剪应力在法线为n的斜截面上，应力矢量为 T(n)T(e1)l+T(e2)m+T(e3)nl1e1+m2e2+n3e3 第27页，共41页，编辑于2022年，星期六斜截面上的正应力 n=T(n)n=l21+m22+n23应力矢量的模为 =(l1)2+(m2)2+(n3)2斜截面上的剪应力是 =(l1)2+(m2)2+(n3)2(l21+m22+n23)2 l2m2(12)2+m2n2(23)2+n2l2(31)2 当斜截面方向l、m、n变化时，剪应力n随之变化。求上式的极
10、值可得最大剪应力第28页，共41页，编辑于2022年，星期六约束条件 l2+m2+n2=1条件极值 无条件极值F=(l2+m2+n2 1)为引进拉格朗日乘子 第29页，共41页，编辑于2022年，星期六lmnn0000100002 00003 000第30页，共41页，编辑于2022年，星期六最大剪应力 规定123 所在平面 与2平行而与1和3的角度分别为450 第31页，共41页，编辑于2022年，星期六Mohr应力图每个截面上有正应力和剪应力，建立平面坐标系 截面上的应力对应坐标系的一个点截面上的正应力和剪应力 (l1)2+(m2)2+(n3)2截面上的正应力 n=T(n)n=l21+m2
11、2+n23l2+m2+n2=1以上三个式子联立求解 第32页，共41页，编辑于2022年，星期六 第33页，共41页，编辑于2022年，星期六第34页，共41页，编辑于2022年，星期六应力张量分解静水压力状态偏应力状态定义平均应力 0=(x+y+z)第35页，共41页，编辑于2022年，星期六两种应力状态用张量表示ij=sij+0ij 其中ij是Kronecker符号，定义为 ij=1，当ij ij=0，当ij，第36页，共41页，编辑于2022年，星期六关于静水压力状态 任意一个面都是主平面 主应力值均相等 在应力圆上是一个点 静水压力张量是各向同性张量第37页，共41页，编辑于2022年
12、，星期六偏应力张量sij的主值 s3+J2 s+J3=0 J1=skk=sx+sy+sz=0J2=sijsij=(xy)2+(yz)2+(xz)2+6()第38页，共41页，编辑于2022年，星期六与应力张量主值关系s1=10 s2=20s3=30 两者方向相同第39页，共41页，编辑于2022年，星期六等效应力J2=sijsij/2=(12)2+(23)2+(13)2 单轴拉伸时，应力状态为1=，2=3=0，第40页，共41页，编辑于2022年，星期六八面体 每个面的外法线为 n=le1+me2+ne3=(e1+e2+e3)称为等倾面等倾面上的应力 8=(1+2+3)第41页，共41页，编辑于2022年，星期六