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1、第十五章：第十五章：轴对称轴对称 如如果果一一个个图图形形沿沿一一条条直直线线折折叠叠，直直线线两两旁旁的的部部分分能能够够互互相相重重合合，这这个个图图形形就就叫叫做做轴轴对对称称图图形形，这这条直线就是它的条直线就是它的对称轴对称轴。（一）（一）轴对称图形轴对称图形把一个图形沿着某条直把一个图形沿着某条直线翻折过去，如果它能够与另一个线翻折过去，如果它能够与另一个图形完全重合，那么就说这图形完全重合，那么就说这两个图两个图形形关于直线成轴对称。这条直线就关于直线成轴对称。这条直线就是是对称轴对称轴，两个图形中能够重合的，两个图形中能够重合的点叫做点叫做对称点对称点。（二）（二）轴对称轴对称
2、轴对称图形和轴对称的区别与联系轴对称图形和轴对称的区别与联系 轴对称图形轴对称图形轴对称轴对称区别区别联系联系图形图形(1)(1)轴对称图形是指轴对称图形是指()()具具 有特殊形状的图形有特殊形状的图形,只只对对()图图形形而而言言;(2)(2)对称轴对称轴()()只有一条只有一条(1)(1)轴对称是指轴对称是指()()图形图形 的位置关系的位置关系,必须涉及必须涉及 ()()图形图形;(2)(2)只有只有()()对称轴对称轴.如果把轴对称图形沿对称轴如果把轴对称图形沿对称轴 分成两部分分成两部分,那么这两个图形那么这两个图形 就关于这条直线成轴对称就关于这条直线成轴对称.如果把两个成轴对称
3、的图形如果把两个成轴对称的图形 拼在一起看成一个整体拼在一起看成一个整体,那那么它就是一个轴对称图形么它就是一个轴对称图形.一个一个一个一个至少至少两个两个两个两个一条一条 一、知识回顾：一、知识回顾：练习：练习：1 1、国国旗旗是是一一个个国国家家的的象象征征，观观察察下下面面的的国国旗旗，是是轴轴对对称称图形的是（图形的是（）A.A.加拿大、韩国、乌拉圭加拿大、韩国、乌拉圭 B.B.加拿大、瑞典、澳大利亚加拿大、瑞典、澳大利亚C.C.加拿大、瑞典、瑞士加拿大、瑞典、瑞士 D.D.乌拉圭、瑞典、瑞士乌拉圭、瑞典、瑞士 加拿大加拿大 韩国韩国 澳大利亚澳大利亚 乌拉圭乌拉圭 瑞典瑞典 瑞士瑞士
4、C下列图形中有轴对称图形吗？无数条不是轴对称图形不是轴对称图形不是轴对称图形0123 45678908 数字也可以写成轴对称图形！ABCDEFGHMQADCHEM字母也可以写成轴对称图形！B口口 甲甲由由中中日日工工 汉字也可以写成轴对称图形！举出三个汉字来。2.试找出下图每个正多边形对称轴的条试找出下图每个正多边形对称轴的条数，并填入表中：数，并填入表中：边数边数3 34 45 56 67 78 8对称轴条数对称轴条数 根据上表，请就一个根据上表，请就一个n边形对称轴边形对称轴条数作一个猜想。条数作一个猜想。配套练习配套练习对称轴的找法对称轴的找法二、感悟与反思二、感悟与反思角角角角的平分的
5、平分的平分的平分线线的性的性的性的性质质 线线段与角是段与角是段与角是段与角是轴对轴对称称称称图图形；形；形；形；线线段的垂直平分段的垂直平分段的垂直平分段的垂直平分线线的性的性的性的性质质线线线线段的段的段的段的对对对对称称称称轴轴轴轴是是是是 线线线线段的垂直平分段的垂直平分段的垂直平分段的垂直平分线线线线；角的角的角的角的对对对对称称称称轴轴轴轴是是是是 角的平分角的平分角的平分角的平分线线所在的直所在的直所在的直所在的直线线；线线段垂直平分段垂直平分段垂直平分段垂直平分线线上的点上的点上的点上的点到到到到这这条条条条线线段两个端点的距离相等。段两个端点的距离相等。段两个端点的距离相等。
6、段两个端点的距离相等。角的平分角的平分角的平分角的平分线线线线上的点上的点上的点上的点到到到到这这这这个角的两个角的两个角的两个角的两边边边边的距离的距离的距离的距离相等。相等。相等。相等。ABC实践探索 杨洋家住杨洋家住A处处,晓华家住晓华家住B处处,陈凯家住陈凯家住C处处,三人约好三人约好周日一起到购书中心买书周日一起到购书中心买书,现三人正在商量应该在哪里集现三人正在商量应该在哪里集合合,才能使集合地到他们三家的距离相等才能使集合地到他们三家的距离相等?你能在图中帮他们找到集合地吗你能在图中帮他们找到集合地吗?P5、如图：在、如图：在ABC中，中，DE是是AC的垂的垂直平分线，直平分线，
7、AC=5厘米，厘米，ABDABD的周长的周长等于等于13厘米，则厘米，则ABCABC的周长是的周长是 。6、如图：在、如图：在ABC中，中，C=900，AD平分平分 BAC，DEAB交交AB于于E，BC=30，BD：CD=3：2，则，则DE=。ABDECCD18厘米厘米ABE124.4.如如图图，在在ABCABC中中，AB=AC=16cmAB=AC=16cm，ABAB的的垂垂直直平平分分线线交交ACAC于于D D，如如果果BC=10cmBC=10cm，那那么么BCDBCD的周长是的周长是_cm._cm.26 某一个星期六，某一个星期六，某一个星期六，某一个星期六，某中学某中学某中学某中学初初初
8、初一一一一年级年级年级年级的同学参加的同学参加的同学参加的同学参加义务劳动义务劳动，其中有四个班的同学分其中有四个班的同学分其中有四个班的同学分其中有四个班的同学分别别在在在在MM、NN两两两两处处参加参加参加参加劳动劳动，另外四个班的，另外四个班的，另外四个班的，另外四个班的同学分同学分同学分同学分别别在道路在道路在道路在道路ABAB、ACAC两两两两处劳处劳动动，现现要在道路要在道路要在道路要在道路ABAB、ACAC的交叉的交叉的交叉的交叉区域内区域内区域内区域内设设一茶水供一茶水供一茶水供一茶水供应应点点点点P P ，使，使，使，使P P到两条道路的距离相等，且使到两条道路的距离相等，且
9、使到两条道路的距离相等，且使到两条道路的距离相等，且使 PM=PNPM=PN，请请你找出点你找出点你找出点你找出点P P的位置，的位置，的位置，的位置，并并并并说说明理由。明理由。明理由。明理由。AMBNC拓展练习拓展练习P点点P即为所求即为所求知识回顾知识回顾轴对称主要有哪些性质？轴对称主要有哪些性质？1、对应线段相等,对应角相等。2、那么对应点所连的线段被对称 轴垂直平分；3、它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上。如果两个图形关于某直线对称，如果两个图形关于某直线对称，ABCABC与与DEFDEF关于直线关于直线L L成轴对称，成轴对称，则则C C是多少度？是多少度？L650
10、750 1.1.如如图，是齐新新同学照镜子时看到的图，是齐新新同学照镜子时看到的 对面墙上钟表指针的情况，你能告诉对面墙上钟表指针的情况，你能告诉 他当时的时间大约是几点几分吗？他当时的时间大约是几点几分吗？、答：当时的时间大约是四点十分。答：当时的时间大约是四点十分。2.小小明明照照镜镜子子的的时时候候，发发现现T恤恤上上的的英英文文单单词词在在镜镜子子中中呈呈现现“”的的样样子子，请你判断这个英文单词是（请你判断这个英文单词是（）(A)(B)(C)(D)A1、过点、过点A作直线作直线l的垂线，垂足的垂线，垂足为点为点O，在垂线上截取在垂线上截取OA=OA，例例1：如图，已知：如图，已知AB
11、C和直线和直线l，作出与，作出与ABC关于直线关于直线l对称的图形。对称的图形。BAC分析：分析：ABC可以由三个可以由三个顶点的位置确定，只要能分别作顶点的位置确定，只要能分别作出这三个顶点关于直线出这三个顶点关于直线l的对称点，的对称点，连接这些对称点，就能得到要作连接这些对称点，就能得到要作的图形。的图形。l作法：作法：2、类似地，分别作出点、类似地，分别作出点B、C关关于直线于直线l的对称点的对称点B、C；3、连接、连接AB、BC、CA。ABC即为所求。即为所求。ABCO点点A就是点就是点A关于直线关于直线l的对称的对称点；点；我行了我行了：如图，已知如图，已知ABC和直线和直线l，作
12、出与，作出与ABC关于直线关于直线l对称的图形。对称的图形。BACBAClBCBACABABC即为所求。即为所求。作法：作法：1、分别作出点、分别作出点B、C关于关于直线直线l的对称点的对称点B、C；2、连、连接接AB、BC、CA。BACl作法：作法：1、分别作出点、分别作出点A、B关于关于直线直线l的对称点的对称点A、B；2、连接、连接AB、BC、CA。ABC即为所求。即为所求。归纳归纳几何图形都可以看作由点组成，几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接对应点，就可以得的对应点，再连接对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；到
13、原图形的轴对称图形；对于一些由直线、线段或射线组成对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接对称点，（如线段端点）的对称点，连接对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。就可以得到原图形的轴对称图形。利用轴对称变换作图：利用轴对称变换作图：如图：要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道什么地方，可使所用的输气管道线最短？ABLPB点P即为所求 某中学七（4）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然
14、后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？作法：作法：1.1.作点作点C C关于直线关于直线 OA 的的 对称点点对称点点D,D,2.2.作点作点C C关于直线关于直线 OB 的对称点点的对称点点E,E,3 3.连接连接DEDE分别交直线分别交直线OA.OB于点M.N，则CM+MN+CN最短AOBEDMN.证明：证明：在直线在直线OA 上另外任取一点上另外任取一点G G，连接，连接点点D,D,点点C C关于直线关于直线OAOA对称，对称，点点G.HG.H在在OAOA上，上，DG=CG,DG=CG,DM=CM,DM=CM,同理同理NC=NENC=NE，HC=HE,HC=HE,
15、CM+CN+MN=DM+EN+MN=DE,CM+CN+MN=DM+EN+MN=DE,CG+GH+HC=DG+GH+HE,CG+GH+HC=DG+GH+HE,DG+GH+HEDG+GH+HEDEDE（两点之间，线段最短），（两点之间，线段最短），即即CG+GH+HCCG+GH+HCCM+CN+MNCM+CN+MN即即CM+CN+MNCM+CN+MN最短最短BAO.EDMNGH4.如如图图：C C为为马马厩厩，D D为为帐帐篷篷，牧牧马马人人某某一一天天要要从从马马厩厩牵牵出出马马，先先到到草草地地边边某某一一处处牧牧马马，再再到到河河边边饮饮马马，然然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线，后
16、回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线，作法：作法：1.1.作点作点C C关于直线关于直线 OA 的的 对称点点对称点点F,F,2.2.作点作点D D关于直线关于直线 OB 的对称点点的对称点点E,E,3 3.连接连接EFEF分别交直线分别交直线OA.OB于点G.H，则CG+GH+DH最短FAOBD CEGH三、等腰三角形知识点回顾三、等腰三角形知识点回顾1.1.等腰三角形的等腰三角形的性质性质.等腰三角形的两个底角相等。（等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角等边对等角）.等等腰腰三三角角形形的的顶顶角角平平分分线线、底底边边上上的的中中线线、底底边边上上的的高高互相重合。（互相重合。（三线
17、合一三线合一）2 2、等腰三角形的判定：、等腰三角形的判定：.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个如果一个三角形有两个角相等，那么这两个 角所对的边也相等。（角所对的边也相等。（等角对等边等角对等边）.有两个边相等的三角形为等腰三角形（有两个边相等的三角形为等腰三角形（定义定义）等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（底边上的高互相重合（简写成简写成“三线合一三线合一”）ABCDAB=AC，BD=CD（已知）BAD=CAD，ADBC（三线合一）AB=AC，BAD=CAD（已知）BD=CD，ADBC（三线合一）AB=AC，ADBC（已
18、知）BD=CD，BAD=CAD（三线合一）（等边三角形（等边三角形)知识点回顾知识点回顾1.1.等边三角形的等边三角形的性质：性质：等等边边三三角角形形的的三三个个角角都都相相等等，并并且且每每一一个个角角都都等于等于60600 0 。2 2、等边三角形的判定：、等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形。三个角都相等的三角形是等边三角形。有一个角是有一个角是60600 0的等腰三角形是等边三角形。的等腰三角形是等边三角形。三边相等的三角形是等边三角形三边相等的三角形是等边三角形3.3.在在直直角角三三角角形形中中，如如果果一一个个锐锐角角等等于于3030，那那么么它所对的直角边等于斜
19、边的一半。它所对的直角边等于斜边的一半。如如图图，（1 1）等等腰腰ABCABC中中，AB=ACAB=AC,顶顶角角A=100A=100，那么底角那么底角B=B=，C=C=。B BA AC C（2 2）ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，B=72B=72，那么那么A=A=。（3 3）等腰）等腰ABCABC中有中有一个一个角为角为5050，那么那么另外两个角分别是多少？另外两个角分别是多少？363640404040随堂练习随堂练习3.3.3.3.已知等腰三角形有一个外角等于已知等腰三角形有一个外角等于已知等腰三角形有一个外角等于已知等腰三角形有一个外角等于100100100100，求等腰三
20、角形的三个，求等腰三角形的三个，求等腰三角形的三个，求等腰三角形的三个内角。内角。内角。内角。思考：当外角是思考：当外角是思考：当外角是思考：当外角是80808080时等腰三角形的三个内角又如何呢？时等腰三角形的三个内角又如何呢？时等腰三角形的三个内角又如何呢？时等腰三角形的三个内角又如何呢？等腰三角形的底角都是锐角（等腰三角形的底角都是锐角（等腰三角形的底角都是锐角（等腰三角形的底角都是锐角（）钝角三角形不可能是等腰三角形（）钝角三角形不可能是等腰三角形（）钝角三角形不可能是等腰三角形（）钝角三角形不可能是等腰三角形（）2.2.2.2.等腰三角形若两边长为和，求它的周长。等腰三角形若两边长为
21、和，求它的周长。等腰三角形若两边长为和，求它的周长。等腰三角形若两边长为和，求它的周长。1.1.1.1.判断：判断：判断：判断：等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合。（等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合。（）有一个角是有一个角是6060的等腰三角形，其它两个内角也为的等腰三角形，其它两个内角也为6060。（。（）8 8.如图如图,ABC、ACB的平分线相的平分线相 交于交于F,过过F作作DE/BC交交AB于于D,交交AC于于E,若若AB=9cm,AC=8cm,则则ADE的周长是多的周长是多少少?FEDCBAAC=AE+EC=AE+EFAB=AD+DB=AD+DF如如图图，长长方方形形AB
22、CDABCD沿沿着着AEAE折折叠叠，使使点点D D落落在在BCBC边边上上的的F F点点处处，如如果果BAF=60BAF=600 0求求DAEDAE，AEFAEF的度数。的度数。606010如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠重如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？合部分是一个等腰三角形吗？为什么？ABCDEFA AB BC CE EF FF F1 11 1.在在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，A=36 A=36，BEBE是是ABCABC的的角角平平分分线线，过过E E点点作作EF/ABEF/AB，则则图图中中有有几几个等腰三角形？个等腰三角形？21.在在
23、 AFG中，中，AFG=90，AB=BC=CD=DE=EF=FG，则，则 A=_度度例3 如图，A、B、C三点在同一直线上，分别以AB,BC为边在AC同侧作等边ABD和等边BCE，AE交BD于点，DC交BE于点，(1)求证：AE=DCDABECFG证明：ABD、BCE是等边三角形 AB=DB,BE=BC ABD=CBE=60 又 ABE=ABD+DBE DBC=CBE+DBE ABE=DBC在ABE和DCB中 AB=DB ABE=DBC BE=BC ABEDCB AE=DC (2)求证：求证：FG (BFG是等边三角形)(3)求证：求证：FGACDABECFG12345证明：由(1)得 ABD
24、BCE 4=5 ABD、BCE是等边三角形 AB=DB，1=2=60 从而有 3=1=60 在ABF和DBG中 3=1 4=5 AB=DB ABF DBGFG作业作业必做题：教材必做题：教材7474页习题页习题1 1、2 2选做题：教材选做题：教材7575页习题页习题4 4老师寄语：老师寄语：选择了远方，就要风雨兼程选择了远方，就要风雨兼程;选择了大海，就要乘风破浪选择了大海，就要乘风破浪;选择了蓝天，就要展翅翱翔。选择了蓝天，就要展翅翱翔。唤唤醒醒你你所所有有的的潜潜能能,用用信信心心铸铸就就目目标标,用用汗汗水水浇浇灌灌希希望望,用用拼拼搏搏实实现现理理想想,用用奋奋斗斗赢赢得得一一生生！
25、如图，在ABC中，AB=AC，AE=AF，试说明：BE=CF。M解：作AMBC于M,AB=AC,AE=AFBM=CM,EM=FMBMEM=CMFMBE=CF记住:等腰三角形底边上的高是常作的辅助线“有一个等腰三角形的两条边长分别有一个等腰三角形的两条边长分别是是4cm和和8cm，则周长为，则周长为 20cm3 3、若若等等腰腰三三角角形形的的一一个个角角为为40400 0，则另外两个角的度数为则另外两个角的度数为700,700 或或 400，10001、如图，在、如图，在RtABC中，中，B=2A，AB=6cm，则，则BC=_.2、如图，、如图，RtABC中，中，A=3030，AB+BC=12
26、cm，则，则AB=_.ACB3cm8cm3、如图，、如图，RtABC中，中，A=30，BD平分平分ABC，且，且BD=16cm，则，则AC=.D24cm思考：思考：AD=2CD成立吗？成立吗？1)1)等腰三角形一个角为等腰三角形一个角为70,70,它的另它的另外两个角为外两个角为_2)等腰三角形一个角为等腰三角形一个角为120,它的另它的另外两个角为外两个角为_3)在等腰在等腰ABC中，中，AB=5，AC=6,则则ABC的周长的周长=_OE=OF(等角对等边等角对等边)例例2如右图所示，已知，如右图所示，已知，OC平分平分AOB，D是是OC上一上一点，点，DEOA，DFOB，垂足为，垂足为E、
27、F点，那么点，那么(1)DEF与与DFE相等吗相等吗?为什么为什么?(2)OE与与OF相等吗相等吗?为什么为什么?解解:（1）相等）相等。理由：理由：OC平分平分AOB，DEOA，DFOB（已知）（已知）DE=DF1=2(等边对等角等边对等角)（2）相等。）相等。理由为：理由为：DEOA，DFOB3=4DEO=DFO=90 12DEO1=DFO24 4、已知，如图、已知，如图:AB=AC AD=DB=BC:AB=AC AD=DB=BC则则A=A=ABCD360本本 章章 知知 识识 结结 构构生生活活中中的的对对称称轴对称轴对称等边三角形的性质等边三角形的性质等边三角形的判定等边三角形的判定含含30角的直角三角形的性质角的直角三角形的性质两个图形成轴对称两个图形成轴对称轴对称图形轴对称图形等腰三角形的性质等腰三角形的性质等腰三角形的判定等腰三角形的判定等腰三角形等腰三角形等边三角形等边三角形轴对称的性质轴对称的性质中垂线的性质与判定中垂线的性质与判定画画轴轴对对称称图图形形应应用用轴对称的画法轴对称的画法