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1、第三章控制系统时域分析第1页，本讲稿共65页3.1 时间响应及系统性能指标分析控制系统的第一步是建立模型第一步是建立模型，数学模型一旦建立，第二步第二步 分析控制性能分析控制性能，分析有多种方法，主要有时域分析法，频域分析法，根轨迹法等。每种方法，各有千秋。均有他们的适用范围和对象。本章先讨论时域法。实际上，控制系统的输入信号常常是未知的、随机的，很难用解析的方法表示。只有在一些特殊的情况下是预先知道的，可以用解析的方法或者曲线表示。在分析和设计控制系统时，对各种控制系统性能得有评判、比较的依据。这个依据可以通过对这些系统加上各种输入信号，比较它们对特定的输入信号的响应来建立。许多设计准则就建
2、立在这些典型输入信号的基础上，或者建立在系统对初始条件变化（无任何试验信号）的基础上，因为系统对典型试验信号的响应特性，与系统对实际输入信号的响应特性之间，存在着一定的关系；所以采用试验信号来评价系统性能是合理的。第2页，本讲稿共65页一、典型输入信号 Typical test signals原则：(1)选取的输入信号应尽可能反映系统工作的大部分实际情况 (2)选取的输入信号应尽可能简单，便于分析处理 (3)所选的输入信号能使系统在最不利的情况下工作。突然受到恒定输入作用或突然的扰动，采用阶跃函数较合适。如果控制系统的输入量是随时间逐步变化的函数，则斜坡时间函数是比较合适的。（单位）阶跃函数（
3、Step function）恒温调节系统和水位调节系统（单位）斜坡函数（Ramp function）速度（单位）加速度函数（Acceleration function）抛物线 （单位）脉冲函数（Impulse function）正弦函数（Simusoidal function）Asinut，当输入作用具有周期性变化时。通常运用阶跃函数作为典型输入作用信号，这样可在一个统一的基础上对各种控制系统的特性进行比较和研究。第3页，本讲稿共65页二、时间响应的概念（动态过程和稳态过程)系统时间响应：控制系统在典型输入信号的作用下，输出量随时间变化的过程称为系统时间响应。在典型输入信号作用下时间响应的组成
4、：瞬态响应和稳态响应 （Transient Response&Steady_state Response）由于实际控制系统具有惯性、摩擦、阻尼等原因。1 瞬态响应：指系统从初始状态到最终状态的响应过程。2 稳态响应：是指当时间t趋近于无穷大时，系统的输出状态瞬态响应反映了系统动态性能，而稳态响应则表征系统输出量最终复现输入量的程度（即衡量系统精度）。tC(t)k第4页，本讲稿共65页三、瞬态响应指标延迟时间（Delay Time）响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间。上升时间（Rise Time）对过阻尼系统，响应曲线从稳态值的10%上升到90%（而对欠阻尼系统响应曲线从0上升100%)，
5、所需的时间。上升时间越短，响应速度越快 峰值时间 （Peak Time）：响应曲线达到超调量的第一个峰值所需要的时间。trc(t)第5页，本讲稿共65页动态性能指标调整时间 ：（Settling Time）响应曲线达到并永远保持在一个允许误差范围内，所需的最短时间。用稳态值的百分数（通常取5%或2%）。超调量（Maximum Overshoot）：指响应曲线超出稳态值的最大偏离量 或评价系统的响应速度；同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。评价系统的阻尼程度。c(t)第6页，本讲稿共65页3.2 一阶一阶系统的时间响应系统的时间响应用一阶微分方程描述的控制系统称为一阶系统。所示的RC电路，其
6、微分方程为 其中C(t)为电路输出电压，r(t)为电路输入电压，T=RC为时间常数。当初使条件为零时，其传递函数为 这种系统实际上是一个非周期性的惯性环节。下面分别就不同的典型输入信号，分析该系统的时域响应。第7页，本讲稿共65页3.2.1 一阶系统单位阶跃响应Unit-Step Response of First-order System 因为单位阶跃函数的拉氏变换为，则系统的输出由下式可知为 对上式取拉氏反变换，得 注*：R(s)的极点形成系统响应的稳态分量。传递函数的极点是产生系统响应的瞬态分量。这一个结论不仅适用于一阶线性定常系统，而且也适用于高阶线性定常系统。响应曲线在时的斜率为，如
7、果系统输出响应的速度恒为，则只要tT时，输出c(t)就能达到其终值。-trt1t2tsts第8页，本讲稿共65页由于c(t)的终值为1，因而系统阶跃输入时的稳态误差为零。动态性能指标：时间常数T是一阶系统的重要参数，反映系统过渡过程快慢的指标，从响应曲线可知T越大，系统对信号的输出响应越慢，惯性越大，相反T越小，系统响应越快 T1T2T3tc(t)1由此而得：T1T2T3 第9页，本讲稿共65页3.2.2 一阶系统的单位脉冲响应一阶系统的单位脉冲响应Unit-impulse response of first-order systems当输入信号为理想单位脉冲函数时，R(s)1，输出量的拉氏变
8、换与系统的传递函数相同，即 这时相同的输出称为脉冲响应记作c(t)，因为,其表达式为 T4T3T2TtC(t)一阶系统单位脉冲响应1/T第10页，本讲稿共65页3.2.3 一阶一阶系统的单位斜坡响应系统的单位斜坡响应Unit-ramp Response of first-order Systems当 对上式求拉氏反变换，得：因为所以一阶系统跟踪单位斜坡信号的稳态误差为上式表明：一阶系统能跟踪斜坡输入信号。稳态时，输入和输出信号的变化率完全相同 由于系统存在惯性，从 0上升到1时，对应的输出信号在数值上要滞后于输入信号一个常量T，这就是稳态误差产生的原因。减少时间常数T不仅可以加快瞬态响应的速度
9、，还可减少系统跟踪斜坡信号的稳态误差。第11页，本讲稿共65页表3-1一阶系统对典型输入信号的响应输入信号时域输入信号频域输出响应传递函数11(t)t微分微分等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分；积分常数由零初始条件确定。第12页，本讲稿共65页eg：某温度计用1/(Ts+1)的传递函数描述其特性，现用此温度计测量盛在容器内的水温，测量数据表明，需要1分钟的时间才能指示实际温度98的数值，试求温度计指示实际水温从10变化到90所需要的时间（即求tr）解：误差0.02 第13页，本讲稿共65页3.3 3.
10、3 二阶系统的时间响应二阶系统的时间响应Time Response Analysis of Second-order Systems二阶系统：凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统。一二阶系统的数学模型一二阶系统的数学模型Mx(t)y(t)kf质量弹簧阻尼系统，其系统加入外力为输入x(t)，质量块位移为输出y(t)，其输入和输出之间的关系可以表示为 系统固有频率 系统阻尼比 第14页，本讲稿共65页二阶系统的标准形式，其相应的方块图如图所示自然频率（或无阻尼振荡频率）阻尼比（相对阻尼系数）二阶系统的动态特性，可以用和加以描述,二阶系统的特征方程：二二阶系统的单位阶跃响应二二阶系统的单位阶跃
11、响应 （Unit-Step Response of Second-Order systemUnit-Step Response of Second-Order system）第15页，本讲稿共65页两个正实部的特征根 发散，闭环极点为共扼复根，位于左半S平面，欠阻尼系统，为两个相等的根，虚轴上，瞬态响应变为等幅振荡，两个不相等的根二阶系统极点分布第16页，本讲稿共65页Case 1 欠阻尼()二阶系统的单位阶跃响应令衰减系数 阻尼振荡频率对上式取拉氏反变换，得单位阶跃响应为稳态分量 瞬态分量第17页，本讲稿共65页稳态分量为1，表明二阶系统在单位阶跃函数作用下，不存在稳态位置误差；瞬态分量为阻
12、尼正弦振荡项，其振荡频率为包络线决定收敛速度阻尼振荡频率 时，这是一条平均值为1的正、余弦形式等幅振荡，其振荡频率为故称为无阻尼振荡频率。由系统本身的结构参数确定 tC(t)1曲线特点：欠阻尼系统单位阶跃响应曲线呈衰减振荡，最后趋于稳定第18页，本讲稿共65页Case 2 临界阻尼()临界阻尼情况下的二阶系统的单位阶跃响应称为临界阻尼响应当时，二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的无超调单调上升过程，tC(t)1曲线特点：响应既无超调也无振荡第19页，本讲稿共65页Case 3过阻尼 tC(t)1曲线特点：响应既无超调也无振荡，但响应曲线变化速度较临界阻尼要慢第20页，本讲稿共65页二阶系统在不
13、同值瞬态响应曲线（1）和共同决定二阶系统的舜态响应，如要得到满意的舜态响应指标，必须综合考虑选取二者参数；不变，而均减小，可提高系统的快速性，因而增大（2）若使有利于提高系统性能第21页，本讲稿共65页三 二阶系统的瞬态响应指标（欠阻尼）从二阶系统瞬态响应中可以看到对系统瞬态响应影响较大下面分析与瞬态响应指标间的关系 在较大的值范围内，近似有 时，亦可用二阶欠阻尼系统瞬态响应曲线第22页，本讲稿共65页 ，求得 一定，即一定，,响应速度越快 对于函数来说其极值点一定是导数为零的点，因此对c(t)求峰值时间tp，令其导数为零，求得根据峰值时间定义，应取第23页，本讲稿共65页超调量在峰值时间发生
14、，故即为最大输出时，时，时时，综合考虑系统相对稳定性和快速性通常取第24页，本讲稿共65页包络线 调整时间tseg1.某单位负反馈控制系统，其开环传递函数为，开环增益（开环放大倍数）k=4，试：（1）确定系统特征参量和（2）求（3）当时，试确定系统开环放大倍数k 和解：（1）求出系统闭环传递函数 二阶系统的标准形式为 第25页，本讲稿共65页（2）（误差5%）（误差0)（）特征方程式的各项系数均为正值（即ai0)第33页，本讲稿共65页（）将各项系数，按下面的格式排列劳斯表计算sn-2行以下系数的规律：每行都是由该行上边两行的数算得，等号右边的二阶行列式中，第一行是上面两行中的第一列的两个数，
15、第二列是被算数的右上肩的两个数，等号右边的分母是上一行中左起第一个数第34页，本讲稿共65页如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根都在如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根都在S S的左半的左半平面，相应的系统是稳定的。平面，相应的系统是稳定的。如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在式的根在S S的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。（）劳斯稳定判据第35页，本讲稿共65页 例已知一调速系统的特征方程式为试用劳斯判据判别系统的稳定性
16、解：列劳斯表该表第一列系数符号不全为正，因而系统是不稳定的；且符号变化了两次，所以该方程中有二个根在S的右半平面。第36页，本讲稿共65页已知某调速系统的特征方程式为 求该系统稳定的K值范围。解：列劳斯表由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列的系数必须全为正值。可得：第37页，本讲稿共65页劳斯判据特殊情况劳斯判据特殊情况 劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零或没有其余项。零或没有其余项。若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等于该方程在等于该方程在S S右半平
17、面上根的数目，相应的右半平面上根的数目，相应的系统为不稳定系统为不稳定如果第一列如果第一列 上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定不稳定是以一个很小的正数是以一个很小的正数来代替为零的这项来代替为零的这项解决的办法解决的办法据此算出其余的各项，完成劳斯表的排列据此算出其余的各项，完成劳斯表的排列第38页，本讲稿共65页已知系统的特征方程式为试判别相应系统的稳定性。由于表中第一列上面的符号与其下面系数的符号相同，表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统为（临界）不稳定
18、。解：列劳斯表0第39页，本讲稿共65页Eg 已知特征方程为 判别系统的稳定性。解：系统各项系数均大于解：系统各项系数均大于0 列写劳斯表：列写劳斯表：S4S5S3S1S2S01236210()3/20(6-3)/1m1m=1.5-2/(6-3)1.5(6-3)/-第一列含有负数，系统不稳定第一列含有负数，系统不稳定 第40页，本讲稿共65页劳斯表中出现全零行劳斯表中出现全零行 用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行。完成劳斯表的排列。系数为全零的行。
19、完成劳斯表的排列。解决的办法解决的办法这些大小相等、径向位置相反的根可以通过求解这些大小相等、径向位置相反的根可以通过求解这个辅助方程式得到，而且其根的数目总是偶数这个辅助方程式得到，而且其根的数目总是偶数的。相应方程中含有一些大小相等符号相反的实的。相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。根或共轭虚根。相应的相应的系统为不稳定系统为不稳定第41页，本讲稿共65页一个控制系统的特征方程为一个控制系统的特征方程为 列劳斯表显然这个系统处于临界(不)稳定状态。第42页，本讲稿共65页劳斯判据的应用实际系统希望实际系统希望S S左半平面上的根距离虚轴有一定的左半平面上的根距离虚轴有一定的
20、距离。距离。为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该方程中为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该方程中是否有根位于垂线是否有根位于垂线右侧。右侧。此法可以估计一个稳定系统的各根中最靠近右侧的根距离此法可以估计一个稳定系统的各根中最靠近右侧的根距离虚轴有多远，从而了解系统稳定的虚轴有多远，从而了解系统稳定的“程度程度”。代入原方程式中，得到以代入原方程式中，得到以 稳定判据能回答特征方程式的根在稳定判据能回答特征方程式的根在S S平面上的平面上的分布情况，而不能确定根的具体数据。分布情况，而不能确定根的具体数据。解决的办法解决的办法设设第43页，本讲稿共65页用劳斯判据检验下列特征方程用劳
21、斯判据检验下列特征方程是否有根在是否有根在S S的右半平面上，并检验有几个根在垂线的右半平面上，并检验有几个根在垂线的右方。解：列劳斯表 第一列全为正，所有的根均位于左半平面，系统稳定。第一列全为正，所有的根均位于左半平面，系统稳定。-1第44页，本讲稿共65页令代入特征方程：代入特征方程：式中有负号，显然有根在式中有负号，显然有根在的右方。的右方。列劳斯表列劳斯表第一列的系数符号变化了一次，表示原方程第一列的系数符号变化了一次，表示原方程有一个根在垂直直线有一个根在垂直直线的右方。的右方。第45页，本讲稿共65页已知一单位反馈控制系统如图所示，试回答已知一单位反馈控制系统如图所示，试回答 时
22、，闭环系统是否稳定？时，闭环系统是否稳定？时，闭环系统的稳定时，闭环系统的稳定条件是什么？条件是什么？闭环系统的特征方程为排劳斯表排劳斯表 第一列均第一列均为为正正值值，S全部位于左半平面，全部位于左半平面，故故 解：解：系统稳定第46页，本讲稿共65页开环传递函数 闭环闭环特征方程特征方程为为 列劳斯表第47页，本讲稿共65页利用劳斯稳定判据可确定系统一个或两个可利用劳斯稳定判据可确定系统一个或两个可调参数对系统稳定性的影响。调参数对系统稳定性的影响。欲使系统稳定第一列的系数必须全为正值欲使系统稳定第一列的系数必须全为正值 第48页，本讲稿共65页2赫尔维稳定茨判据赫尔维稳定茨判据(Hurw
23、itz stability criterion)系统稳定的条件：系统的特征根全部位于复平面的左半部分系统稳定的条件：系统的特征根全部位于复平面的左半部分条件：条件：（）特征方程式的各项系数全部为正（）特征方程式的各项系数全部为正（）将特征方程式各项系数排成的行列式各阶主（）将特征方程式各项系数排成的行列式各阶主子式大于子式大于0设系统特征方程为设系统特征方程为 第49页，本讲稿共65页行列式排列如下：行列式排列如下：计算各阶主子式：计算各阶主子式：各阶主子式均大于各阶主子式均大于0，则方程无正根，系统稳则方程无正根，系统稳定。定。第50页，本讲稿共65页Eg已知系统的特征方程如下：判别系统稳定
24、性列写n阶行列式 各阶主子式均大于各阶主子式均大于0，系统稳定，系统稳定 第51页，本讲稿共65页一、误差与稳态误差的基本概念控制系统的性能 动态性能 稳态性能 稳态误差 稳态误差的产生？摩擦，不灵敏区，零位输出等非线性因素 输入函数的形式不同(阶跃、斜坡、或加速度)主要内容原理性稳态误差的计算方法系统结构-系统类型输入作用方式3.6 误差分析与计算第52页，本讲稿共65页1.误差的定义 输出的实际值 输出的希望值 在实际系统中是可以量测的(真值很难得到)如果，输出量的希望值，即为输入量 。由图可得误差传递函数第53页，本讲稿共65页输入形式结构形式给定的稳定系统，当输入信号形式一定时，系统是
25、否存在稳态误差，就取决于开环传递函数所描述的系统结构 利用终值定理，求稳态误差。2.稳态误差影响系统的稳态误差的因素：系统的结构参数和输入信号有关。第54页，本讲稿共65页二、误差计算 1 系统类型令系统开环传递函数为为串联积分环节的数目为串联积分环节的数目 第55页，本讲稿共65页 时 0型系统时型系统 时型系统代入稳态误差公式：输入信号为R(s)时，稳态误差只与开环增益K和开环传递函数中的积分环节有关 当 时系统很难稳定，因而型及其以上型号系统工程上不采用 第56页，本讲稿共65页 2.静态误差系数与稳态误差计算(1).位置误差系数Kp(Static position error cons
26、tant)系统对于单位阶跃输入的稳态误差称为位置误差 KP 静态位置误差系数 令稳态误差对于零型系统 第57页，本讲稿共65页要求对于阶跃作用下不存在稳态误差，则必须选用型及型以上的系统 对于型及其以上型号系统时有不同类型系统稳态误差 但可能导致系统不稳定性 第58页，本讲稿共65页(2)速度误差系数Kv(Static velocity error constant)系统对单位斜坡信号输入的稳态误差称为速度误差。令 Kv 速度误差系数 稳态误差 要消除系统稳态误差开环传递函数为型及以上的系统 第59页，本讲稿共65页(3)加速度误差系数(Static acceleration error co
27、nstant)系统对单位加速度输入的稳态误差称为加速度误差。令加速度误差系数 稳态误差 0型和型系统不能跟踪加速度输入信号，型系统能跟踪加速度信号，但有一定误差其值与开环增益有关 第60页，本讲稿共65页 00型0型0型 输入类型第61页，本讲稿共65页Eg1.控制系统框图如图所示，若输入信号 试求系统的稳态误差。，其中 G2(s)K1(T1s+1)+Y(s)X(s)解：系统开环传递函数为第62页，本讲稿共65页Eg.已知某单位反馈控制系统的开环传递函数分别为（1）（2）求输入信号分别为1(t),t和t2 时系统的稳态误差 解：（1）开环传递函数为型系统 标准形式为 第63页，本讲稿共65页（2）该系统开环传递函数为型系统 第64页，本讲稿共65页作业：3-11 3-133-16(1 4 5 8)3-17(1 4)3-27思考题：；第65页，本讲稿共65页