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1、复变函数与积分变换洛朗级数第1页，共22页，编辑于2022年，星期六 一个以z0为中心的圆域内解析的函数 f(z),可以在该圆域内展开成z-z0的幂级数.如果 f(z)在z0处不解析,则在 z0 的邻域内就不能用z-z0的幂级数来表示.但是这种情况在实际问题中却经常遇到.因此,在本节中将讨论在以 z0 为中心的圆环域内的解析函数的级数表示法.z0R1R2第2页，共22页，编辑于2022年，星期六讨论下列形式的级数:可将其分为两部分考虑:第3页，共22页，编辑于2022年，星期六只有正幂项和负幂项都收敛才认为原级数收敛于它们的和.正幂项是一幂级数,设其收敛半径为 R2：这是z 的幂级数,设收敛半
2、径为R：对负幂项,如果令z=(z-z0)-1,就得到：则当|z-z0|R1时,即|z|R,因此,只有在R1|z-z0|R2的圆环域,原级数才收敛.第4页，共22页，编辑于2022年，星期六在收敛圆环域内也具有.例如,可以证明,上述级数在收敛域内其和函数是解析的,而且可以逐项求积和逐项求导.幂级数在收敛圆内的许多性质,级数现在反问,在圆环域内解析的函数是否一定能够展开成幂级数?先看下例.第5页，共22页，编辑于2022年，星期六1Oxy第6页，共22页，编辑于2022年，星期六其次,在圆环域:0|z-1|1内也可以展开为z-1的幂级数:1Oxy第7页，共22页，编辑于2022年，星期六定理定理(
3、Laurent展开定理展开定理)设 f(z)在圆环域 R1|z-z0|R2内解析,则C为在圆环域内绕z0的任何一条正向简单闭曲线.第8页，共22页，编辑于2022年，星期六证 设z为圆环域内的任一点,在圆环域内作以z0为中心的正向圆周K1与K2,K2的半径R大于K1的半径r,且使z在K1与K2之间.R1R2zrK1zRK2zz0第9页，共22页，编辑于2022年，星期六由多连通域的柯西积分公式得R1R2zrK1zRK2zz0第10页，共22页，编辑于2022年，星期六R1R2zrK1zRK2zz0第11页，共22页，编辑于2022年，星期六第12页，共22页，编辑于2022年，星期六唯一性：一
4、个在某圆环域内解析的函数展开为含有正,负幂项的级数是唯一的。这个级数被称为 f(z)的洛朗级数.根据由正负整次幂项组成的级数的唯一性,一般可以用代数运算,代换,求导和积分等方法去展开,以求得洛朗级数的展开式.第13页，共22页，编辑于2022年，星期六解：函数 f(z)在圆环域 i)0|z|1;ii)1|z|2;iii)2|z|+内是处处解析的,应把 f(z)在这些区域内展开成洛朗级数.xyO1xyO12xyO2第14页，共22页，编辑于2022年，星期六先把 f(z)用部分分式表示:第15页，共22页，编辑于2022年，星期六ii)在1|z|2内：第16页，共22页，编辑于2022年，星期六iii)在2|z|+内:第17页，共22页，编辑于2022年，星期六例2 把函数解 因有第18页，共22页，编辑于2022年，星期六洛朗级数的系数公式（即可利用Laurent系数计算积分）其中C为圆环域R1|z-z0|R2内的任何一条简单闭曲线,f(z)在此圆环域内解析.第19页，共22页，编辑于2022年，星期六例解：第20页，共22页，编辑于2022年，星期六例4 解：第21页，共22页，编辑于2022年，星期六故c-1=-2,第22页，共22页，编辑于2022年，星期六