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1、第七讲分析时代第1页，本讲稿共35页微积分的发展微积分的发展泰勒泰勒(英英,1685-1731),1685-1731)法学博士法学博士进入牛顿和莱布尼茨发明微积分优先权进入牛顿和莱布尼茨发明微积分优先权争论委员会，英国皇家学会秘书争论委员会，英国皇家学会秘书17151715年出版正和反的增量法年出版正和反的增量法泰勒定理的价值由拉格朗日泰勒定理的价值由拉格朗日(法法,1717-,1717-1783)1783)发现，证明由柯西发现，证明由柯西(法法,1789-1851),1789-1851)给出给出与约翰与约翰伯努利伯努利(瑞瑞,1667-1748),1667-1748)关于泰勒关于泰勒公式优先
2、权之争公式优先权之争后期转向宗教和哲学的写作后期转向宗教和哲学的写作 第2页，本讲稿共35页微积分的发展微积分的发展皇家学会会员，爱丁堡大学教授皇家学会会员，爱丁堡大学教授17421742年流数论年流数论墓碑上刻墓碑上刻“曾蒙牛顿推荐曾蒙牛顿推荐”麦克劳林麦克劳林(英英,1698-1746),1698-1746)斯特林斯特林(英英,1692-1770),1692-1770)皇家学会会员皇家学会会员17301730年微分法年微分法第3页，本讲稿共35页微积分的发展微积分的发展16861686到英国到英国,1718,1718年出版机会的学说年出版机会的学说 英国皇家学会会员，进入牛顿和莱布尼茨发明
3、英国皇家学会会员，进入牛顿和莱布尼茨发明微积分优先权争论委员会微积分优先权争论委员会17301730年分析杂论年分析杂论棣莫弗棣莫弗(法法,1667-1754),1667-1754)n 1707-1730 1707-1730年棣莫弗定理年棣莫弗定理第4页，本讲稿共35页微积分的发展微积分的发展第5页，本讲稿共35页伯努利家族伯努利家族微积分的发展微积分的发展第6页，本讲稿共35页伯努利家族伯努利家族微积分的发展微积分的发展尼古拉伯努利雅格布雅格布尼古拉约翰约翰尼古拉尼古拉丹尼尔丹尼尔约翰约翰丹尼尔雅格布第7页，本讲稿共35页雅格布雅格布伯努利伯努利(瑞，瑞，1654-1705)1654-170
4、5)“我违背父亲的意愿，研究星星。我违背父亲的意愿，研究星星。”16871687年巴塞尔大学数学教授年巴塞尔大学数学教授 1717世纪牛顿和莱布尼茨之后最先发世纪牛顿和莱布尼茨之后最先发展微积分的人展微积分的人解析几何、微积分、变分法、概率论解析几何、微积分、变分法、概率论16941694年微分学方法年微分学方法16981698年证明调和级数的发散性年证明调和级数的发散性微积分的发展微积分的发展第8页，本讲稿共35页约翰约翰伯努利伯努利(瑞，瑞，1667-1748)1667-1748)16941694年医学博士年医学博士解析几何、微分方程、变分法解析几何、微分方程、变分法1818世纪初分析学的
5、重要奠基者之一世纪初分析学的重要奠基者之一,欧拉欧拉(瑞瑞,1707-1783)1707-1783)的老师的老师17001700年左右发展了积分法年左右发展了积分法17421742年积分学教程年积分学教程(写于写于1691-1691-1692)1692)洛比达洛比达(法法,1661-1704),1661-1704)法则，法则，16961696年年无穷小分析无穷小分析微积分的发展微积分的发展第9页，本讲稿共35页丹尼尔丹尼尔伯努利伯努利(瑞，瑞，1700-1782)1700-1782)医学博士、植物学教授、生理学教授、医学博士、植物学教授、生理学教授、物理学教授、哲学教授物理学教授、哲学教授圣彼
6、得堡：圣彼得堡：1725172517331733年年巴塞尔：巴塞尔：1733173317821782年年17381738年流体动力学年流体动力学第一个把牛顿和莱布尼茨的微积分思想连第一个把牛顿和莱布尼茨的微积分思想连接起来的人接起来的人把微积分、微分方程应用到物理学，把微积分、微分方程应用到物理学，研究流体力学问题、物体振动和摆动研究流体力学问题、物体振动和摆动问题，为数学物理方法的奠基人问题，为数学物理方法的奠基人微积分的发展微积分的发展第10页，本讲稿共35页欧拉欧拉(瑞瑞,1707-1783),1707-1783)圣彼得堡科学院圣彼得堡科学院(1727-1741,1766-1783)(1
7、727-1741,1766-1783)柏林科学院柏林科学院(1741-1766)(1741-1766)17481748年无穷小分析引论、年无穷小分析引论、17551755年微分学原理、年微分学原理、1768-17701768-1770年积分学原理年积分学原理最多产的数学家、欧拉全集最多产的数学家、欧拉全集8484卷卷李善兰译的代数学（李善兰译的代数学（18591859）等著作记载了）等著作记载了欧拉的学说欧拉的学说“读读欧拉，他是我们大家的老师读读欧拉，他是我们大家的老师”“四杰四杰”：阿基米德、牛顿、欧拉、高斯：阿基米德、牛顿、欧拉、高斯微积分的发展微积分的发展n 18 18世纪最伟大的数学
8、家、分析的化身、世纪最伟大的数学家、分析的化身、“数学家之英雄数学家之英雄”第11页，本讲稿共35页瑞士法郎上的欧拉瑞士法郎上的欧拉微积分的发展微积分的发展第12页，本讲稿共35页法国启蒙运动法国启蒙运动n伏尔泰伏尔泰(1694-1778)(1694-1778)、孟德斯鸠、孟德斯鸠(1689-1755)(1689-1755)、卢梭、卢梭(1712-1778)(1712-1778)n狄德罗狄德罗(1713-1784)(1713-1784)的百科全书派的百科全书派n高举人文主义旗帜，把技术、科学、高举人文主义旗帜，把技术、科学、艺术并列为人类知识三大门类艺术并列为人类知识三大门类n17511751
9、1772,171772,17卷正文卷正文,11,11卷图版卷图版,1777,1777年又出年又出5 5卷增补卷卷增补卷基本精神：反对君权神授、主张天赋人基本精神：反对君权神授、主张天赋人权权第13页，本讲稿共35页百科全书派群像百科全书派群像第14页，本讲稿共35页达朗贝尔达朗贝尔(法法,1717-1783),1717-1783)自学成才，进入巴黎科学院：院士、终自学成才，进入巴黎科学院：院士、终身秘书身秘书1751-17571751-1757年与狄德罗年与狄德罗(1713-1784)(1713-1784)共同主共同主编百科全书编百科全书“科学处于科学处于1717世纪的数学时代到世纪的数学时代
10、到1818世纪的力世纪的力学时代，力学应该是数学家的主要兴趣。学时代，力学应该是数学家的主要兴趣。”动力学、数学手册动力学、数学手册 数学分析的重要开拓者之一，其成就仅次于数学分析的重要开拓者之一，其成就仅次于欧拉、拉格朗日、拉普拉斯和丹尼尔欧拉、拉格朗日、拉普拉斯和丹尼尔伯努利伯努利微积分的发展微积分的发展第15页，本讲稿共35页拉格朗日拉格朗日(法法,1736-1813),1736-1813)数学、力学和天文学中都有重大历史性贡献，分数学、力学和天文学中都有重大历史性贡献，分析学中仅次于欧位的最大开拓者，论著超过析学中仅次于欧位的最大开拓者，论著超过500500篇篇17541754年年(1
11、8(18岁岁)发现莱布尼茨公式发现莱布尼茨公式17551755年任数学教授年任数学教授(都灵时期都灵时期:1754-1766):1754-1766)17881788年分析力学年分析力学(柏林时期柏林时期:1766-1787):1766-1787)17971797年解析函数论年解析函数论(巴黎时期巴黎时期:1787-1813):1787-1813)分析力学的创立者、分析力学的创立者、天体力学的奠基者天体力学的奠基者17991799年伯爵，年伯爵，18131813年帝国大十字勋章年帝国大十字勋章 微积分的发展微积分的发展第16页，本讲稿共35页伯克莱主教伯克莱主教（爱尔兰，（爱尔兰，1985198
12、5）微积分的发展：微积分的发展：综述综述 积分技术积分技术 多元函数多元函数l 无穷级数无穷级数l 函数概念函数概念l 分析严格化的尝试分析严格化的尝试伯克莱伯克莱(爱尔兰爱尔兰,1685-1753):,1685-1753):分析学家，或致一分析学家，或致一位不信神的数学家位不信神的数学家(1734)(1734)“这些消失的增量究竟是什么呢？它们既不是有限量，这些消失的增量究竟是什么呢？它们既不是有限量，也不是无限小，又不是零，难道我们不能称它们为消也不是无限小，又不是零，难道我们不能称它们为消逝量的鬼魂吗？逝量的鬼魂吗？”形式化观点形式化观点 极限观点极限观点第17页，本讲稿共35页数学新分
13、支的形成数学新分支的形成 常微分方程常微分方程 偏微分方程偏微分方程 变分法变分法 微分几何微分几何 概率论概率论第18页，本讲稿共35页常微分方程常微分方程l 莱布尼茨、惠更斯莱布尼茨、惠更斯(荷荷,1629-1695),1629-1695)、约翰、约翰伯努利给出问题的解伯努利给出问题的解q 1690 1690年雅格布年雅格布伯努利伯努利(瑞瑞,1654-1705),1654-1705)提提出悬链线问题出悬链线问题第19页，本讲稿共35页初等解法初等解法常微分方程常微分方程l 包含一个自变量和它的未知函数以及未知函数的导数的等式包含一个自变量和它的未知函数以及未知函数的导数的等式l 形成和发
14、展是与力学、天文学、物理学及其他自然科学技术形成和发展是与力学、天文学、物理学及其他自然科学技术的发展互相促进和互相推动的的发展互相促进和互相推动的q 分离变量法分离变量法q 变量代换法变量代换法q 积分因子法积分因子法q 黎卡提方程黎卡提方程q 降阶法降阶法q 常系数线性方程常系数线性方程2001年9月6日哈勃拍到的星体爆发星系第20页，本讲稿共35页一阶偏微分方程：一阶偏微分方程：17721772年拉格朗日年拉格朗日(法法,1736-1813),1736-1813)和和18191819年柯西年柯西(法法,1789-1857)1789-1857)发现将其转化为一阶常发现将其转化为一阶常微分方
15、程组微分方程组拉格朗日拉格朗日(法国法国,1958),1958)偏微分方程偏微分方程l 包含未知函数以及偏导数的等式包含未知函数以及偏导数的等式l 偏微分方程理论研究一个方程偏微分方程理论研究一个方程(组组)是否有满是否有满足某些补充条件的解足某些补充条件的解,有多少个解有多少个解,解的各种解的各种性质与求解方法性质与求解方法,及其应用及其应用第21页，本讲稿共35页16961696年和年和16971697年约翰年约翰伯努利伯努利(瑞瑞,1667-,1667-1748)1748)提出最速降线问题提出最速降线问题变分法变分法l 研究泛函的极值的方法研究泛函的极值的方法l Calculus of
16、Variationsl 牛顿、莱布尼茨、洛比达、约翰牛顿、莱布尼茨、洛比达、约翰伯努利、雅各布伯努利、雅各布伯努利等解决伯努利等解决第22页，本讲稿共35页欧拉欧拉(瑞士瑞士,1957),1957)变分法变分法n 1759 1759年拉格朗日年拉格朗日(法法,1736-1813),1736-1813)引入变分的概念引入变分的概念17281728年欧拉年欧拉(瑞瑞,1707-1783),1707-1783)解决了测地线问题，解决了测地线问题，17361736年提年提出欧拉方程，出欧拉方程，17441744年发表寻求具有某种极大或极小性质年发表寻求具有某种极大或极小性质的曲线的方法的曲线的方法n
17、1786 1786年起勒让德年起勒让德(法法,1752-1833),1752-1833)讨论了变分的充分条件讨论了变分的充分条件第23页，本讲稿共35页等时曲线等时曲线变分法变分法第24页，本讲稿共35页康熙康熙6161年年(1662(166217221722年年)“康乾盛世康乾盛世康乾盛世康乾盛世”(1661-1795(1661-1795(1661-1795(1661-1795年年年年)雍正雍正1313年年(1723(172317351735年年)乾隆乾隆6060年年(1736(173617951795年年)134134年年康熙南巡图（局部）（王翚康熙南巡图（局部）（王翚,1698）清朝立国
18、（清朝立国（1644164419111911年）年）268 268年年 18世纪的中国数学世纪的中国数学第25页，本讲稿共35页中中国国经经济济18世纪的中国数学世纪的中国数学荷兰格罗宁根大学经济学安格斯荷兰格罗宁根大学经济学安格斯麦迪逊教授统计表麦迪逊教授统计表 第26页，本讲稿共35页“西学中源西学中源”清初清初承前启后、融会中西的数学家承前启后、融会中西的数学家“历算第一名家历算第一名家”、“开山之袓开山之袓”梅氏历算丛书辑要梅氏历算丛书辑要6262卷卷代数、几何、三角代数、几何、三角18世纪的中国数学世纪的中国数学 (清清清清,1633-1721,1633-1721,1633-1721
19、,1633-1721年年年年)第27页，本讲稿共35页q 梅彀成梅彀成(1681-1763)(1681-1763)赤水遗珍赤水遗珍(1761)(1761)引入引入“杜德美杜德美(法法,1668-1720),1668-1720)法法”18世纪的中国数学世纪的中国数学q 明安图明安图(1692-1765)(1692-1765)、陈际新割圆密率捷法、陈际新割圆密率捷法(1763,1774)(1763,1774)格列高里(英,1638-1675)明安图(1692-1765)第28页，本讲稿共35页康熙：康熙：“即西洋算法亦善，原系中国算法，彼称为阿即西洋算法亦善，原系中国算法，彼称为阿尔朱巴尔。阿尔朱
20、巴尔者，传自东方之谓也。尔朱巴尔。阿尔朱巴尔者，传自东方之谓也。”康熙康熙康熙康熙(1654-1722(1654-1722年年年年,在位在位在位在位1662-1722)1662-1722)康熙康熙“御定御定”、梅彀成等编纂律历渊源、梅彀成等编纂律历渊源(100(100卷卷)(1721)(1721)其中：其中：数理精蕴数理精蕴(53(53卷卷)(1690-1721)(1690-1721)康熙二十八年康熙二十八年(1689)(1689)：此后每日轮班至养心：此后每日轮班至养心殿，传授天文、数学、测量等西学。殿，传授天文、数学、测量等西学。18世纪的中国数学世纪的中国数学康熙康熙17131713年在
21、蒙养斋创建了算学馆年在蒙养斋创建了算学馆 第29页，本讲稿共35页康熙皇帝康熙皇帝(1654-1722(1654-1722年年)彼得大帝彼得大帝(1672(167217251725年年)18世纪的中国数学世纪的中国数学路易十四路易十四(1638-1715(1638-1715）第30页，本讲稿共35页乾嘉学派乾嘉学派18世纪的中国数学世纪的中国数学乾隆乾隆乾隆乾隆嘉庆嘉庆(1711-1799(1711-1799(1711-1799(1711-1799年年年年)(1760-1820(1760-1820年年)纪晓岚纪晓岚(1724-1805(1724-1805年年)第31页，本讲稿共35页四库全书四
22、库全书(17731781年年)18世纪的中国数学世纪的中国数学四库全书著录的科技文献300余种、存目360余种。以数学、天学、农学、医学、生物学和地学方面的书籍最多。收录有“算经十书”、数书九章、测圆海镜、算法统宗等。四元玉鉴、杨辉算法等未收录。四库全书四库全书(17731781年年)第32页，本讲稿共35页18世纪末的数学家世纪末的数学家n 主导意见主导意见:数学的资源已经枯竭数学的资源已经枯竭.n 1754 1754年狄德罗年狄德罗(法法,1713-1784):,1713-1784):“我敢说我敢说,不出一个世纪不出一个世纪,欧洲就将剩不下欧洲就将剩不下三个大的几何学家了三个大的几何学家了
23、.”n 1781 1781年拉格朗日年拉格朗日(法法,1736-1813),1736-1813)：“在我看来，似乎数学矿井已挖掘很深了，在我看来，似乎数学矿井已挖掘很深了，除非发现新的矿脉，否则势必放弃它除非发现新的矿脉，否则势必放弃它.”“牛顿只有一个牛顿只有一个.”n 1780 1780年法国科学院报告年法国科学院报告:“几乎所有的分支里几乎所有的分支里,人们都被不可克服的困难阻人们都被不可克服的困难阻挡住了挡住了,所有这些困难好象是宣告我们的分析的力量实际上是已经穷竭了所有这些困难好象是宣告我们的分析的力量实际上是已经穷竭了.”n 17811781年孔多塞年孔多塞(法法,1743-179
24、4):,1743-1794):“不应该相信什么我们已经接近了这些科不应该相信什么我们已经接近了这些科学必定会停滞不前的终点学必定会停滞不前的终点,我们应该公开宣称我们应该公开宣称,我们仅仅是迈出了万里征途的我们仅仅是迈出了万里征途的第一步第一步.”外在源泉外在源泉 内部动力内部动力第33页，本讲稿共35页18世纪末的数学问题世纪末的数学问题 高于高于4 4次的代数方程的根式解次的代数方程的根式解 欧几里得几何中平行线公设欧几里得几何中平行线公设 牛顿、莱布尼茨微积分算法的逻辑基础牛顿、莱布尼茨微积分算法的逻辑基础1919世纪的代数、几何与分析世纪的代数、几何与分析 代数学的新生代数学的新生 几何学的变革几何学的变革 分析的严格化分析的严格化进入现代数学时期第34页，本讲稿共35页第七讲思考题第七讲思考题 1 1、谈谈您对于、谈谈您对于“读读欧拉，他是我们大家的老师读读欧拉，他是我们大家的老师”（拉普拉斯语）的看法。（拉普拉斯语）的看法。2 2、为何在、为何在“康乾盛世康乾盛世”中国数学明显落后于西方？中国数学明显落后于西方？3 3、试分析、试分析1818世纪末数学家的主导意见：数学的资源世纪末数学家的主导意见：数学的资源已经枯竭。已经枯竭。第35页，本讲稿共35页