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1、引入引入 正态分布在统计学中是很重要的分布。我们知道，离散型随机变量最多取可列个不同值，它等于某一特定实数的概率可能大于0，人们感兴趣的是它取某些特定值的概率，即感兴趣的是其分布列；连续型随机变量可能取某个区间上的任何值，它等于任何一个实数的概率都为0，所以通常感兴趣的是它落在某个区间的概率。离散型随机变量的概率离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，而连续型随机变量的概率分布规律用分布列描述，而连续型随机变量的概率分布规律用密度函数（曲线）描述。分布规律用密度函数（曲线）描述。第1页/共42页25.38 25.31 25.35 25.32 25.45 25.40 某钢铁加工厂生产内径为的钢
2、管,为了检验产品的质量,从一批产品中任取100件检测,测得它们的实际尺寸如下:第2页/共42页分组分组频数频数频率频率累积频率累积频率频率频率/组距组距25.23525.26510.010.010.000925.26525.29520.020.030.001825.29525.32550.050.080.004525.32525.355120.120.200.010925.35525.385180.180.380.016425.38525.415250.250.630.022725.41525.445160.160.790.014525.44525.475130.130.920.011825.
3、47525.50540.040.960.003625.50525.53520.020.980.001825.53525.56520.021.000.0018合计合计1001.00列出频率分布表列出频率分布表第3页/共42页100件产品尺寸的频率分布直方图产品内径尺寸/mm频率组距o2468频率分布直方图频率分布直方图第4页/共42页200件产品尺寸的频率分布直方图产品内径尺寸/mm频率组距o2468第5页/共42页产品内径尺寸/mm频率组距o2468样本容量增大时样本容量增大时频率分布直方图频率分布直方图总体密度曲线 可可以以看看出出,当当样样本本容容量量无无限限大大,分分组组的的组组距距无无
4、限限缩缩小小时时,这这个个频频率率直直方方图图上上面面的的折折线线就就会会无无限接近于一条光滑曲线限接近于一条光滑曲线-总体密度曲线总体密度曲线.第6页/共42页产品 尺寸(mm)总体密度曲线第7页/共42页 这个试验是英国科学家高尔顿设计的,具体如下:在一块木板上,订上n+1层钉子,第1层2个钉子,第2层3个钉子,第n+1层n+2个钉子,这些钉子所构成的图形跟杨辉三角形差不多.自上端放入一小球,任其自由下落,在下落过程中小球碰到钉子时,从左边落下的概率是p,从右边落下的概率是1-p,碰到下一排也是如此.最后落入底板中的某个格.下面我们来试验一下:第8页/共42页第9页/共42页以格子的编号为
5、横坐标，小球落入各个格子内的频率值为纵坐标，则在各个格子内小球的分布情况大致可用下列频率分布直方图表示.1 1编号频率/组距2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 910101111知识回放第10页/共42页总体密度曲线0YX第11页/共42页知识总结知识总结函数函数称称f(x)的图象称为的图象称为正态曲线。正态曲线。式中的式中的实数实数、(0)是参数，分别表示是参数，分别表示总体的平均数与标准差。总体的平均数与标准差。1、正态曲线的定义：、正态曲线的定义：xy2、标准正态总体标准正态总体的函数表示式的函数表示式012-1-2xy-33=0=1第12页/共42页附：正态总体
6、附：正态总体的函数表示式的函数表示式当=0，=1时标准正态总体标准正态总体的函数表示式的函数表示式012-1-2xy-33=0=1标准正态曲线第13页/共42页（，（，+）（1）当 =时,函数值为最大.(3)的图象关于 对称.（2）的值域为 （4）当 时 为增函数.当 时 为减函数.012-1-2xy-33=0=1标准正态曲线标准正态曲线正态总体正态总体的函数表示式的函数表示式=第14页/共42页3.正态分布正态分布总体的期望总体的期望标准差标准差第15页/共42页 m m 的意义的意义产品 尺寸(mm)x1x2总体平均数总体平均数反映总体随机变量的反映总体随机变量的 平均水平平均水平x3x4
7、平均数x x=第16页/共42页产品 尺寸(mm)总体平均数总体平均数反映总体随机变量的反映总体随机变量的 平均水平平均水平总体标准差总体标准差反映总体随机变量的反映总体随机变量的 集中与分散的程度集中与分散的程度平均数平均数 s s的意义的意义第17页/共42页 3.正态分布第18页/共42页 在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布：从正态分布：在生产中在生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标；在正常生产条件下各种产品的质量指标；在测量中在测量中，测量结果；测量结果；在生物学中在生物学中，同一群体的某一特征；同一群体的某一特征；在气象中在气
8、象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度某地每年七月份的平均气温、平均湿度 以及降雨量等，水文中的水位；以及降雨量等，水文中的水位；总之，正态分布广泛存在于自然界、生总之，正态分布广泛存在于自然界、生产及科学技术的许多领域中。产及科学技术的许多领域中。正态分布在概率和统计中占有重要地位。正态分布在概率和统计中占有重要地位。第19页/共42页(4)正态曲线的性质：上方上方1越小越小越大越大第20页/共42页正态曲线的性质正态曲线的性质012-1-2xy-3=-1=0.5012-1-2xy-33=0=1012-1-2xy-334=1=2具有具有两头低、中间高、左右对称两头低、中间高、左右对称的基本
9、特征的基本特征第21页/共42页012-1-2xy-3=-1=0.5012-1-2xy-33=0=1012-1-2xy-334=1=2（1 1）曲线在）曲线在x轴的上方，与轴的上方，与x轴不相交轴不相交.（2）曲线是单峰的）曲线是单峰的,它关于直线它关于直线x=对称对称.正态曲线的性质正态曲线的性质（4）曲线与）曲线与x轴之间的面积为轴之间的面积为1（3）曲线在）曲线在x=处达到峰值处达到峰值(最高点最高点)第22页/共42页5、特殊区间的概率、特殊区间的概率:m m-am m+ax=若XN ,则对于任何实数a0,概率 为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和 而言，该面积随着 的减少而变大。
10、这说明 越小,落在区间 的概率越大，即X集中在 周围概率越大。特别地有特别地有第23页/共42页 我们从上图看到，正态总体在我们从上图看到，正态总体在 以外取值的概率只有以外取值的概率只有4.6，在，在 以外以外取值的概率只有取值的概率只有0.3。由于这些概率值很小（一般不超过由于这些概率值很小（一般不超过5 ），），通常称这些情况发生为通常称这些情况发生为小概率事件小概率事件。第24页/共42页53原则：正态总体几乎取值于区间_之内，而在此区间以外取值的概率只有_，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.X(，)(2，u2)(3，3)P68.26%95.44%99.74%图线例如：在某次
11、大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80,25)，现已知该班同学中成绩在7585分的同学有34人，则该班约有_个人(3,3)50第25页/共42页例1、下列函数是正态密度函数的是（）A.B.C.D.B第26页/共42页2.如图，曲线C1:f（x）=，曲线则 （）D第27页/共42页3已知随机变量服从正态分布N(0，2)，若P(2)，则P(22)()A0.477 B C0.954 D解析：因为随机变量服从正态分布N(0，2)，所以正态曲线关于直线x0对称，又P(2)，所以P(2)，所以P(22)1P(2)P(2)12，故选C.答案：C第28页/共42页服从正态分布的概率计算服从正态分布的概
12、率计算服从正态分布的概率计算服从正态分布的概率计算 第29页/共42页服从正态分布的概率计算服从正态分布的概率计算服从正态分布的概率计算服从正态分布的概率计算 第30页/共42页服从正态分布的概率计算服从正态分布的概率计算服从正态分布的概率计算服从正态分布的概率计算 求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率,只需借助于正态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个区间上第31页/共42页第32页/共42页解:因为XN(5,1),又因为正态密度曲线关于直线 x=5 对称,2.若XN(5,1),求P(6X7).第33页/共42页(1)非负性:曲线 在轴的上方,与x轴不相交.(2)定值性:曲线
13、与x轴围成的面积为1(3)对称性:正态曲线关于直线 x=对称,曲线成“钟形”(4)单调性:在直线 x=的左边,曲线是上升的;在直线 x=的右边,曲线是下降的.1.1.正态曲线的性质正态曲线的性质(5)最值性:当 x=时,取得最大值 .(6)几何性:参数和的统计意义:E(x)=,曲线的位置由决定;D(x)=2,曲线的形状由决定.课堂小结课堂小结第34页/共42页(1)利用3原则,将随机变量的取值转化到三个特殊区间中.熟记 P(X)P(2X2),P(3X3)的值；(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.正态曲线关于直线x对称，从而在关于x对 称的区间上概率相等 P(Xa)1P(xa
14、)，P(X a)P(Xa)2正态分布中的概率计算的常用方法正态分布中的概率计算的常用方法 若随机变量X服从正态分布，则X在一点上的取值概率为0,即P(Xa)0，而Xa并不是不可能事件，所以概率为0的事件不一定是不可能事件，从而P(Xa)(Xa)是成立的，这与离散型随机变量不同3服从正态分布的随机变量服从正态分布的随机变量X X的概率特点的概率特点第35页/共42页第36页/共42页方差相等、均数不等的正态分布图示312=-1=0=1若 固定,随 值的变化而沿x轴平移,故 称为位置参数；第37页/共42页均数相等、方差不等的正态分布图示=0.5=1=2=0若 固定,大时,曲线矮而胖；若 固定,小
15、时,曲线瘦而高,故称 为形状参数。第38页/共42页=0.5012-1-2xy-33X=1=2(6)当当一定时，曲线的形状由一定时，曲线的形状由确定确定.越大，曲线越越大，曲线越“矮胖矮胖”，表示总体的分布越分散；，表示总体的分布越分散；越小，曲线越越小，曲线越“瘦高瘦高”，表示总体的分布越集中，表示总体的分布越集中.（5）当）当 x时时,曲线下降曲线下降.并且当曲线并且当曲线向左、右两边无限延伸时向左、右两边无限延伸时,以以x轴为渐近线轴为渐近线,向它无限靠近向它无限靠近.4 4、正态曲线的性质、正态曲线的性质第39页/共42页正态曲线下的面积规律X轴与正态曲线所夹面积恒等于1。对称区域面积相等。S(-,-X)S(X,)S(-,-X)第40页/共42页正态曲线下的面积规律对称区域面积相等。S(-x1,-x2)-x1 -x2 x2 x1S(x1,x2)=S(-x2,-x1)第41页/共42页感谢您的观看！第42页/共42页