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1、第三章线性代数方程组的数第1页，本讲稿共57页3.1 引言引言 给定一个线性方程组给定一个线性方程组求解向量求解向量 x。第2页，本讲稿共57页第一类是第一类是直接法直接法。即按求精确。即按求精确 解的方法运算求解。解的方法运算求解。第二类是第二类是迭代法迭代法。其思想是首先把线性方程组。其思想是首先把线性方程组(3-1)等价等价变换为如下形式的方程组：变换为如下形式的方程组：数值解法主要有两大类数值解法主要有两大类：然后构造迭代格式然后构造迭代格式这称为这称为一阶定常迭代格式一阶定常迭代格式，M 称为称为迭代矩阵迭代矩阵。第3页，本讲稿共57页 3.2 解线性方程组的消去法解线性方程组的消去
2、法 3.2.1 高斯消去法与高斯若当消去法高斯消去法与高斯若当消去法 例例1 第一步：先将方程（第一步：先将方程（1）中未知数）中未知数 的系数的系数2 除（除（1）的两）的两边，得到下列方程组：边，得到下列方程组：解：解：1、消元过程、消元过程矩阵的观点矩阵的观点第4页，本讲稿共57页 再将第二个方程减去第一个方程的再将第二个方程减去第一个方程的4倍，第三个方程减去倍，第三个方程减去第一个方程的第一个方程的2倍。倍。第二步：将方程第二步：将方程 中第二个方程的两边除以中第二个方程的两边除以 的系数的系数4 第5页，本讲稿共57页 将第三个方程减去第二个方程：将第三个方程减去第二个方程：第三步
3、：为了一致起见，将第三个方程中的第三步：为了一致起见，将第三个方程中的 系数变为系数变为1，2、回代过程：、回代过程：第6页，本讲稿共57页 下面我们来讨论一般的解下面我们来讨论一般的解n 阶方程组的高斯消去法，且阶方程组的高斯消去法，且就矩阵的形式来介绍这种新的过程：就矩阵的形式来介绍这种新的过程：一、高斯消去法一、高斯消去法第7页，本讲稿共57页高斯消去法高斯消去法：（1）消元过程）消元过程：对对k=1,2,n 依次计算依次计算(2)回代过程回代过程：第8页，本讲稿共57页 例例3.1 试用高斯消去法求解线性方程组试用高斯消去法求解线性方程组 消元过程为消元过程为 解解第9页，本讲稿共57
4、页即把原方程组等价约化为即把原方程组等价约化为 据之回代解得据之回代解得第10页，本讲稿共57页为了避免回代的计算，我们可在消元过程中直接把系数为了避免回代的计算，我们可在消元过程中直接把系数矩阵矩阵A约化为单位矩阵约化为单位矩阵I，从而得到解，即，从而得到解，即 这一无回代的消去法称为这一无回代的消去法称为高斯高斯-若当若当（Jordan）消去法消去法 二、高斯二、高斯-若当若当（Jordan）消去法消去法 第11页，本讲稿共57页解解归一消元归一消元第12页，本讲稿共57页归一归一消元消元归一归一消元消元第13页，本讲稿共57页例例 2 试用高斯试用高斯-若当消去法求解例若当消去法求解例3
5、.1的线性方程组。的线性方程组。因为因为 解解第14页，本讲稿共57页高斯高斯-若当若当（Jordan）消去法消去法 一般公式：一般公式：第15页，本讲稿共57页 高斯约当消去法是一个具有消去过程而无回代过高斯约当消去法是一个具有消去过程而无回代过程的算法。程的算法。以上两种消去法都是沿系数矩阵的主对角线元素以上两种消去法都是沿系数矩阵的主对角线元素进行的，即第进行的，即第k k次消元是用经过前次消元是用经过前k-1k-1次消元之后的系次消元之后的系数阵位于（数阵位于（k,k)k,k)位置的元素作除数，这时的位置的元素作除数，这时的(k,k)(k,k)位位置上的元素可能为置上的元素可能为0 0
6、或非常小，这就可能引起过程中或非常小，这就可能引起过程中断或溢出停机。断或溢出停机。3.2.2 消去法的可行性和计算工作量消去法的可行性和计算工作量 第16页，本讲稿共57页定理定理 3.1 如果的各阶顺序主子式均不为零，即有如果的各阶顺序主子式均不为零，即有即消去法可行。即消去法可行。推论推论 若系数矩阵若系数矩阵严格对角占优严格对角占优，即有，即有 第17页，本讲稿共57页注意：注意：高斯高斯-若当消去法求解矩阵方程和求矩阵的逆矩阵若当消去法求解矩阵方程和求矩阵的逆矩阵例例 3.3 试用高斯试用高斯-若当消去法求解如下矩阵方程若当消去法求解如下矩阵方程解：解：其中其中X是矩阵是矩阵第18页
7、，本讲稿共57页 3.2.3 选主元素的消去法选主元素的消去法 主元素的选取通常采用两种方法：主元素的选取通常采用两种方法：一种是一种是全主元消去法全主元消去法；另一种是；另一种是列主元消去法列主元消去法。下面以例介绍选主元的算法思想下面以例介绍选主元的算法思想例例 3.4 试用选主元消去法解线性方程组试用选主元消去法解线性方程组 第19页，本讲稿共57页（1）用全主元高斯消去法）用全主元高斯消去法 回代解出：还原得：解解第20页，本讲稿共57页故得解为故得解为 （2）用全主元高斯）用全主元高斯-若当消去法若当消去法 归一、消元归一、消元主元主元主元归一、消元归一、消元归一、消元归一、消元第2
8、1页，本讲稿共57页 （3）用列主元高斯消去法）用列主元高斯消去法 回代解得 第22页，本讲稿共57页 3.3 解线性方程组的矩阵分解法解线性方程组的矩阵分解法 一、一、非对称矩阵的三角分解法非对称矩阵的三角分解法 矩阵分解法的基本思想是：矩阵分解法的基本思想是：可逆下三角矩阵可逆下三角矩阵可逆上三角矩阵可逆上三角矩阵对于给定的线性方程组对于给定的线性方程组 （1）分解分解解两个三角形方程组。解两个三角形方程组。第23页，本讲稿共57页定理定理3.3注意注意第24页，本讲稿共57页矩阵的矩阵的Crout分解的计算公式分解的计算公式第25页，本讲稿共57页(3-12)Crout分解的计算公式分解
9、的计算公式第26页，本讲稿共57页Crout分解的分解的计算公计算公式的记式的记忆方法忆方法第27页，本讲稿共57页第28页，本讲稿共57页注：注：第29页，本讲稿共57页 例例3.5 试用克洛特分解法解线性方程组试用克洛特分解法解线性方程组 解解第32页，本讲稿共57页第33页，本讲稿共57页 3.3.3 对称正定矩阵的三角分解对称正定矩阵的三角分解 定义定义 3.1 若若n 阶方矩阵阶方矩阵 A 具有性质具有性质 且对任何且对任何n 维维向量向量 成立成立 ，则称，则称 A 为对称正定矩阵。为对称正定矩阵。定理定理3.4 若若A 为对称正定矩阵，则为对称正定矩阵，则 (1)A的的k阶顺序主
10、子式阶顺序主子式 (2)有且仅有一个单位下三角矩阵有且仅有一个单位下三角矩阵L和对角矩阵和对角矩阵D 使得使得 （3-16）这称为矩阵的这称为矩阵的乔里斯基乔里斯基（Cholesky）分解分解。(3)有且仅有一个下三角矩阵有且仅有一个下三角矩阵 ，使，使 （3-17）这称为分解矩阵的这称为分解矩阵的平方根法平方根法。第34页，本讲稿共57页把平方根法应用于解方程组，则把把平方根法应用于解方程组，则把 Ax=b 化为等价方程化为等价方程 相应的求解公式为相应的求解公式为 第36页，本讲稿共57页把乔里斯基分解法应用于解方程组，则把乔里斯基分解法应用于解方程组，则 Ax=b 化为等价方程化为等价方
11、程 相应的求解公式为相应的求解公式为 第37页，本讲稿共57页j1jj-1由此可建立平方根法的递推计算公式如下：由此可建立平方根法的递推计算公式如下：第38页，本讲稿共57页注：注：平平方方根根法法的的递递推推计计算算记记忆忆法法第39页，本讲稿共57页例例3.8 试用平方根法求解对称线性方程组试用平方根法求解对称线性方程组 解解 (1)第40页，本讲稿共57页由此，可先由上三角形线性方程组由此，可先由上三角形线性方程组 再由下三角形线性方程组再由下三角形线性方程组 第41页，本讲稿共57页类似地，由类似地，由 得得 从而可建立从而可建立乔里斯基分解法的递推计算公式乔里斯基分解法的递推计算公式
12、为为 对于对于 依次计算依次计算第42页，本讲稿共57页例例 3.7 用乔里斯基分解法分解矩阵用乔里斯基分解法分解矩阵 解解由式由式(3-9)第43页，本讲稿共57页第44页，本讲稿共57页 3.4 解线性方程组的迭代法解线性方程组的迭代法 迭代法迭代法思想思想:(1)Ax=b (3-1)(2)建立迭代格式建立迭代格式这称为这称为一阶定常迭代格式一阶定常迭代格式，M 称为称为迭代矩阵迭代矩阵。第47页，本讲稿共57页 3.4.1 雅可比迭代法与高斯雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法塞德尔迭代法 约化便得约化便得 从而可建立迭代格式从而可建立迭代格式对对 （3-23）以分量表示即以分量表示即 一、
13、一、Jacob迭代法迭代法雅可比雅可比（Jacobi）迭代迭代 第48页，本讲稿共57页则雅可比迭代格式（则雅可比迭代格式（3-24）可用矩阵表示为）可用矩阵表示为 MJf J第49页，本讲稿共57页-雅可比迭代雅可比迭代例如例如解：解：修正修正-高斯高斯-塞德尔迭代塞德尔迭代第50页，本讲稿共57页用矩阵表示为用矩阵表示为 对雅可比迭代格式修改得对雅可比迭代格式修改得高斯高斯-塞德尔塞德尔（Gauss-Seidel）迭代迭代 f G-SMG-S二、二、Gauss-Seidel迭代法迭代法第51页，本讲稿共57页例例3.10 分别用雅可比迭代法和高斯分别用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法求解塞
14、德尔迭代法求解 线性方程组线性方程组 解解 相应的迭代公式为相应的迭代公式为雅可比迭代雅可比迭代高斯高斯-塞德尔迭代塞德尔迭代令令 取四位小数迭代计算取四位小数迭代计算 由雅可比迭代得由雅可比迭代得 由高斯由高斯-塞德尔迭代得塞德尔迭代得 第52页，本讲稿共57页 3.4.2 迭代法的收敛性迭代法的收敛性 定义定义 3.2 设设 n 阶线性方程组阶线性方程组 的精确解为的精确解为 x*相应的一阶定常迭代格式为相应的一阶定常迭代格式为 如果其迭代解如果其迭代解 收敛于精确解收敛于精确解 ，即，即 则称迭代格式（则称迭代格式（3-26）收敛）收敛 命题命题 3.2 记记 的充分必要条件为的充分必要
15、条件为 第53页，本讲稿共57页定理定理 3.5 若一阶定常迭代格式（若一阶定常迭代格式（3-26）的迭代矩阵）的迭代矩阵 满足条件满足条件 则该迭代格式对任何初始向量则该迭代格式对任何初始向量 均收敛。均收敛。则该迭代格式对任何初始向量则该迭代格式对任何初始向量 均收敛。均收敛。定理定理 3.6 若一阶定常迭代格式（若一阶定常迭代格式（3-26）的迭代矩阵）的迭代矩阵 满足条件满足条件 第54页，本讲稿共57页定理定理 3.7 若雅可比迭代法的迭代矩阵若雅可比迭代法的迭代矩阵 满足条满足条件（件（3-28）或（）或（3-29），则雅可比迭代法与相应的高斯），则雅可比迭代法与相应的高斯-塞德塞
16、德尔迭代法对任何初始向量尔迭代法对任何初始向量 均收敛均收敛。推论推论 如果线性代数方程组如果线性代数方程组 A x=b的系数矩阵的系数矩阵 A 为严格对角为严格对角占优矩阵，即占优矩阵，即则相应的雅可比迭代法与高斯则相应的雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法对任何初始向塞德尔迭代法对任何初始向量量 均收敛。均收敛。第55页，本讲稿共57页 定理定理 3.8 一阶定常迭代格式一阶定常迭代格式 对任何初对任何初始向量均收敛的始向量均收敛的充分必要条件充分必要条件为其迭代矩阵的谱半径小于为其迭代矩阵的谱半径小于1，即，即 这里这里 为为 M 的特征值的特征值 定理定理 3.9 若线性方程组（若线性方程
17、组（3-1）的系数矩阵）的系数矩阵A对称正定，则相对称正定，则相应的高斯应的高斯-塞德尔迭代法必收敛塞德尔迭代法必收敛。第56页，本讲稿共57页 3.4.3 迭代法的应用说明迭代法的应用说明 (1)若系数矩阵非严格对角占优，采用等价变换使之约化若系数矩阵非严格对角占优，采用等价变换使之约化为系数矩阵严格对角占优的线性方程组，然后用雅可比迭代为系数矩阵严格对角占优的线性方程组，然后用雅可比迭代法或高斯法或高斯-塞德尔迭代法求解。塞德尔迭代法求解。(2)特殊情况可特殊处理，以减少工作量。特殊情况可特殊处理，以减少工作量。(3)在实际计算时，由于无法知晓在实际计算时，由于无法知晓 x*，因此计算的终止，因此计算的终止原则通常近似地采用以下条件关系式原则通常近似地采用以下条件关系式第57页，本讲稿共57页