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1、多元线性回归分析第1页，共37页，编辑于2022年，星期六33.1 多元线性回归模型多元线性回归模型 一、多元线性回归模型一、多元线性回归模型 二、多元线性回归模型的基本假定二、多元线性回归模型的基本假定 第2页，共37页，编辑于2022年，星期六 一、多元线性回归模型一、多元线性回归模型 多元线性回归模型多元线性回归模型:表现在线性回归模型中的解释变量有多个。一般表现形式一般表现形式：i=1,2,n其中:k为解释变量的数目，j称为回归参数回归参数（regression coefficient）。习习惯惯上上：把常常数数项项看成为一虚虚变变量量的系数，该虚变量的样本观测值始终取1。这样：模型中
2、解释变量的数目为（模型中解释变量的数目为（k+1+1）第3页，共37页，编辑于2022年，星期六也也被被称称为为总总体体回回归归函函数数的的随随机机表表达达形形式式。它它 的的非非随随机表达式机表达式为为:方程表示：方程表示：各变量各变量X X值固定时值固定时Y Y的平均响应的平均响应。j也也被被称称为为偏偏回回归归系系数数，表表示示在在其其他他解解释释变变量量保保持持不不变变的的情情况况下下，Xj每每变变化化1个个单单位位时时，Y的的均均值值E(Y)的变化的变化;或或者者说说j给给出出了了Xj的的单单位位变变化化对对Y均均值值的的“直直接接”或或“净净”（不含其他变量）影响。（不含其他变量）
3、影响。第4页，共37页，编辑于2022年，星期六二、多元线性回归模型的基本假定二、多元线性回归模型的基本假定 假设1，解释变量是非随机的或固定的，且各X之间互不相关（无多重共线性）。假设2，随机误差项具有零均值、同方差及无序列相关性 假设3，解释变量与随机项不相关 假设4，随机项满足正态分布 第5页，共37页，编辑于2022年，星期六33.2 多元线性回归模型的估计多元线性回归模型的估计 估计方法：OLS 一、普通最小二乘估计一、普通最小二乘估计 二、参数估计量的性质二、参数估计量的性质 三、样本容量问题三、样本容量问题 四、估计实例四、估计实例 第6页，共37页，编辑于2022年，星期六一、
4、普通最小二乘估计一、普通最小二乘估计对于随机抽取的n组观测值如果样本函数样本函数的参数估计值已经得到，则有：i=1,2n根据最小二乘原理最小二乘原理，参数估计值应该是下列方程组的解 其中第7页，共37页，编辑于2022年，星期六于是得到关于待估参数估计值的正规方程组正规方程组：第8页，共37页，编辑于2022年，星期六随机误差项随机误差项 的方差的方差 的无偏估计的无偏估计 可以证明，随机误差项的方差的无偏估计量为 第9页，共37页，编辑于2022年，星期六 四、参数估计量的性质四、参数估计量的性质 在满足基本假设的情况下，其结构参数 的普通最小二乘估计、最大或然估计最大或然估计及矩估计矩估计
5、仍具有：线性性线性性、无偏性无偏性、有效性有效性。同时，随着样本容量增加，参数估计量具有：渐近无偏性、渐近有效性、一致性渐近无偏性、渐近有效性、一致性。1、线性性、线性性 其中,C=(XX)-1 X 为一仅与固定的X有关的行向量 第10页，共37页，编辑于2022年，星期六 2、无偏性、无偏性 这里利用了假设:E(X)=0 3、有效性（最小方差性）、有效性（最小方差性）第11页，共37页，编辑于2022年，星期六其中利用了 和第12页，共37页，编辑于2022年，星期六 五、样本容量问题五、样本容量问题 所谓“最小样本容量最小样本容量”，即从最小二乘原理和最大或然原理出发，欲得到参数估计量，不
6、管其质量如何，所要求的样本容量的下限。最小样本容量最小样本容量 样本最小容量必须不少于模型中解释变量的数目样本最小容量必须不少于模型中解释变量的数目（包括常数项）（包括常数项）,即 n k+1因为，无多重共线性要求：秩(X)=k+1第13页，共37页，编辑于2022年，星期六 2 2、满足基本要求的样本容量、满足基本要求的样本容量 从统计检验的角度从统计检验的角度：n30 时，Z检验才能应用；n-k8时,t分布较为稳定 一般经验认为一般经验认为:当n30或者至少n3(k+1)时，才能说满足模型估计的基本要求。模型的良好性质只有在大样本下才能得模型的良好性质只有在大样本下才能得到理论上的证明到理
7、论上的证明第14页，共37页，编辑于2022年，星期六 六、多元线性回归模型的参数估计实例六、多元线性回归模型的参数估计实例 例例3.3,投资函数模型-多元线性模型。解释变量：时间解释变量：时间 x1 1-16 实际GNP x2被解释变量y：实际投资第15页，共37页，编辑于2022年，星期六Eviews软件估计结果 Dependent Variable:YMethod:Least SquaresDate:10/15/12 Time:10:50Sample:1968 1983Included observations:16VariableCoefficientStd.Errort-Statis
8、ticProb.C-0.4864630.053836-9.0359360.0000X1-0.0165930.001819-9.1226060.0000X20.6391170.05289612.082620.0000R-squared0.958362 Mean dependent var0.203750Adjusted R-squared0.951957 S.D.dependent var0.033061S.E.of regression0.007246 Akaike info criterion-6.849241Sum squared resid0.000683 Schwarz criteri
9、on-6.704381Log likelihood57.79393 F-statistic149.6088Durbin-Watson stat1.313453 Prob(F-statistic)0.000000第16页，共37页，编辑于2022年，星期六33.3 多元线性回归模型的统计检验多元线性回归模型的统计检验 一、拟合优度检验一、拟合优度检验 二、方程的显著性检验二、方程的显著性检验(F(F检验检验)三、变量的显著性检验（三、变量的显著性检验（t t检验）检验）四、参数的置信区间四、参数的置信区间 第17页，共37页，编辑于2022年，星期六 一、拟合优度检验一、拟合优度检验 1、可决系
10、数与调整的可决系数、可决系数与调整的可决系数则 总离差平方和的分解总离差平方和的分解第18页，共37页，编辑于2022年，星期六由于=0所以有：注意：注意：一个有趣的现象一个有趣的现象第19页，共37页，编辑于2022年，星期六 可决系数可决系数该统计量越接近于1，模型的拟合优度越高。问题：问题：在应用过程中发现，如果在模型中增加一个解释变量，R2往往增大。这就给人一个错觉一个错觉：要使得模型拟合得好，只要要使得模型拟合得好，只要增加解释变量即可增加解释变量即可。但是，现实情况往往是，由增加解释变量个数引起的R2的增大与拟合好坏无关，R2需调整需调整。第20页，共37页，编辑于2022年，星期
11、六 调整的可决系数调整的可决系数（adjusted coefficient of determination）在样本容量一定的情况下，增加解释变量必定使得自由度减少，所以调整的思路是:将残差平方和与总离将残差平方和与总离差平方和分别除以各自的自由度，以剔除变量个数对拟合差平方和分别除以各自的自由度，以剔除变量个数对拟合优度的影响优度的影响:其中：n-k-1为残差平方和的自由度，n-1为总体平方和的自由度。第21页，共37页，编辑于2022年，星期六第22页，共37页，编辑于2022年，星期六 二、方程的显著性检验二、方程的显著性检验(F检验检验)方程的显著性检验，旨在对模型中被解释变量与方程的
12、显著性检验，旨在对模型中被解释变量与解释变量之间的线性关系解释变量之间的线性关系在总体上在总体上是否显著成立作是否显著成立作出推断。出推断。1、方程显著性的、方程显著性的F检验检验 即检验模型 Yi=0+1X1i+2X2i+kXki+i i=1,2,n中的参数j是否显著不为0。可提出如下原假设与备择假设：H0：0=1=2=k=0 H1：j不全为0第23页，共37页，编辑于2022年，星期六 F F检验的思想检验的思想来自于总离差平方和的分解式：TSS=ESS+RSS 如果这个比值较大，则X的联合体对Y的解释程度高，可认为总体存在线性关系，反之总体上可能不存在线性关系。因此因此,可通过该比值的大
13、小对总体线性关系进行推断可通过该比值的大小对总体线性关系进行推断。第24页，共37页，编辑于2022年，星期六 根据数理统计学中的知识，在原假设H0成立的条件下，统计量 服从自由度为(k，n-k-1)的F分布 给定显著性水平，可得到临界值F(k,n-k-1)，由样本求出统计量F的数值，通过 F F(k,n-k-1)或 FF(k,n-k-1)来拒绝或接受原假设H0，以判定原方程总体上总体上的线性关系是否显著成立。第25页，共37页，编辑于2022年，星期六对于上海居民消费支出的例子：一元模型：F=5216.478 二元模型：F=149.6088给定显著性水平=0.05，查分布表，得到临界值：一元
14、例：F(1,21)=4.32 二元例：F(2,19)=3.52显然有 F F(k,n-k-1)即二个模型的线性关系在95%的水平下显著成立。第26页，共37页，编辑于2022年，星期六 2、关于拟合优度检验与方程显著性检验关系的关于拟合优度检验与方程显著性检验关系的讨论讨论 由可推出：与或第27页，共37页，编辑于2022年，星期六在在中国居民人均收入中国居民人均收入-消费消费一元模型一元模型中，中，在在中国居民人均收入中国居民人均收入-消费消费二元模型二元模型中中，第28页，共37页，编辑于2022年，星期六 三、变量的显著性检验（三、变量的显著性检验（t检验）检验）方程的总体线性总体线性关
15、系显著 每个解释变量每个解释变量对被解释变量的影响都是显著的 因此，必须对每个解释变量进行显著性检验，以决定是否作为解释变量被保留在模型中。这一检验是由对变量的这一检验是由对变量的 t t 检验完成的检验完成的。第29页，共37页，编辑于2022年，星期六 1、t统计量统计量 由于 以cii表示矩阵(XX)-1 主对角线上的第i个元素，于是参数估计量的方差为：其中2为随机误差项的方差，在实际计算时，用它的估计量代替:第30页，共37页，编辑于2022年，星期六因此，可构造如下t统计量 第31页，共37页，编辑于2022年，星期六 2、t检验检验 设计原假设与备择假设：H1：i0 给定显著性水平
16、，可得到临界值t/2(n-k-1)，由样本求出统计量t的数值，通过|t|t/2(n-k-1)或|t|t/2(n-k-1)来拒绝或接受原假设H0，从而判定对应的解释变量是判定对应的解释变量是否应包括在模型中。否应包括在模型中。H0：i=0 （i=1,2k）第32页，共37页，编辑于2022年，星期六注意：注意：一元线性回归中，一元线性回归中，t t检验与检验与F F检验一致检验一致 一方面一方面，t检验与F检验都是对相同的原假设H0：1=0=0 进行检验;另一方面另一方面，两个统计量之间有如下关系：第33页，共37页，编辑于2022年，星期六在中中国国居居民民人人均均收收入入-消消费费支支出出二
17、二元元模模型型例中，由应用软件计算出参数的t值：给定显著性水平=0.05，查得相应临界值：t0.025(19)=2.093。可见，计计算算的的所所有有t值值都都大大于于该该临临界界值值，所以拒绝原假设。即:包包括括常常数数项项在在内内的的3个个解解释释变变量量都都在在95%的的水水平平下下显著，都通过了变量显著性检验。显著，都通过了变量显著性检验。第34页，共37页，编辑于2022年，星期六 四、参数的置信区间四、参数的置信区间 参参数数的的置置信信区区间间用来考察：在在一一次次抽抽样样中中所所估估计计的的参数值离参数的真实值有多参数值离参数的真实值有多“近近”。在变量的显著性检验中已经知道：
18、在变量的显著性检验中已经知道：容易推出容易推出：在(1-)的置信水平下i的置信区间是 其中，t/2为显著性水平为、自由度为n-k-1的临界值。第35页，共37页，编辑于2022年，星期六 在上海居民消费支出消费支出二元模型二元模型例中,给定=0.05，查表得临界值：t0.025(13)=2.160计算得参数的置信区间：0：(？,？)1：(？,？)2：(0.5248616,0.753367)从回归计算中已得到：第36页，共37页，编辑于2022年，星期六如何才能缩小置信区间？如何才能缩小置信区间？增大样本容量增大样本容量n n，因为在同样的样本容量下，因为在同样的样本容量下，n n越大，越大，t t分布表中的临界值越小，同时，增大样本容量，还可使样分布表中的临界值越小，同时，增大样本容量，还可使样本参数估计量的标准差减小；本参数估计量的标准差减小；提高模型的拟合优度提高模型的拟合优度，因为样本参数估计量的标准差与，因为样本参数估计量的标准差与残差平方和呈正比，模型优度越高，残差平方和应越小。残差平方和呈正比，模型优度越高，残差平方和应越小。第37页，共37页，编辑于2022年，星期六