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1、复变函数课件平面场复变函数课件平面场的复势的复势1第1页，共26页，编辑于2022年，星期六一、一、用复变函数表示平面向量场用复变函数表示平面向量场平面定常向量场平面定常向量场:向量场中的向量都平行向量场中的向量都平行于某一个平面于某一个平面S,而且在垂直而且在垂直于于S 的任何一条直线上的所有的任何一条直线上的所有点处的向量都是相等的点处的向量都是相等的;场中场中的向量也都与时间无关的向量也都与时间无关.显然显然,向量场在所有平行于向量场在所有平行于S 的平面内的分布情况是的平面内的分布情况是完全相同的完全相同的,可以用可以用So 平面内的场表示平面内的场表示.2第2页，共26页，编辑于20
2、22年，星期六3第3页，共26页，编辑于2022年，星期六例如例如,一个平面定常流速场一个平面定常流速场(如河水的表面如河水的表面)平面电场强度向量为平面电场强度向量为4第4页，共26页，编辑于2022年，星期六二、平面流速场的复势二、平面流速场的复势1.流函数流函数:如果它在单连域如果它在单连域 B 内是无源场内是无源场(即管量场即管量场),5第5页，共26页，编辑于2022年，星期六流线流线6第6页，共26页，编辑于2022年，星期六2.势函数势函数:等势线等势线(或等位线或等位线)7第7页，共26页，编辑于2022年，星期六平面流速场的复平面流速场的复势函数势函数(复势复势)柯西柯西 黎
3、曼黎曼方程方程3.平面流速场的复势函数平面流速场的复势函数:在单连域内可以作一个解析函数在单连域内可以作一个解析函数8第8页，共26页，编辑于2022年，星期六 给定一个单连域内的无源无旋平面流速场给定一个单连域内的无源无旋平面流速场,就就可以构造一个解析函数可以构造一个解析函数它的复势与之对应它的复势与之对应;反之反之,如果在某一区域如果在某一区域(不管是否单连不管是否单连)内给定一内给定一个解析函数个解析函数,就有以它为复势的平面流速场对应就有以它为复势的平面流速场对应,并可以写出该场的流函数和势函数并可以写出该场的流函数和势函数,得到流线与得到流线与等势线方程等势线方程,画出流线和等势线
4、的图形画出流线和等势线的图形,即得描即得描绘该场的流动图象绘该场的流动图象.9第9页，共26页，编辑于2022年，星期六例例1 1解解10第10页，共26页，编辑于2022年，星期六例例2 2解解由对称性由对称性,11第11页，共26页，编辑于2022年，星期六因为流体不可压缩因为流体不可压缩,12第12页，共26页，编辑于2022年，星期六流过圆周的流量为流过圆周的流量为13第13页，共26页，编辑于2022年，星期六蓝色为等势线蓝色为等势线,红色为流线红色为流线.(流动图象如下流动图象如下)14第14页，共26页，编辑于2022年，星期六解解例例3 3与例与例2类似类似,沿圆周的环流量为沿
5、圆周的环流量为15第15页，共26页，编辑于2022年，星期六16第16页，共26页，编辑于2022年，星期六对比例对比例1和例和例2的结果的结果,因此因此,只须将例只须将例2图中流线与等势线位置互换图中流线与等势线位置互换,即可得即可得涡点所形成的场的流动图象涡点所形成的场的流动图象.蓝色为流线蓝色为流线,红色为等势线红色为等势线.17第17页，共26页，编辑于2022年，星期六三、三、静电场的复势静电场的复势当场内没有带电物体时当场内没有带电物体时,静电场无源无旋静电场无源无旋.18第18页，共26页，编辑于2022年，星期六与讨论流速场一样与讨论流速场一样,就是说就是说,等值线就是向量线
6、等值线就是向量线,即场中电力线即场中电力线.19第19页，共26页，编辑于2022年，星期六20第20页，共26页，编辑于2022年，星期六静电场的复势静电场的复势(复电位复电位)在在B内可决定一个解析函数内可决定一个解析函数 利用静电场的复势利用静电场的复势,可以研究场的等势线和可以研究场的等势线和电力线的分布情况电力线的分布情况,描绘出场的图象描绘出场的图象.21第21页，共26页，编辑于2022年，星期六例例4 4解解因为导线为无限长因为导线为无限长,因此垂直于因此垂直于 xoy 平面的任何直平面的任何直线上各点处的电场强度是相等的线上各点处的电场强度是相等的.22第22页，共26页，编
7、辑于2022年，星期六又因为导线上关于又因为导线上关于 z 平面对称的两带电微元段所产平面对称的两带电微元段所产生的电场强度的垂直分量相互抵消生的电场强度的垂直分量相互抵消,只剩下与只剩下与 xoy 平平面平行的分量面平行的分量.故所产生的静电场为平面场故所产生的静电场为平面场.由库仑定律由库仑定律,23第23页，共26页，编辑于2022年，星期六24第24页，共26页，编辑于2022年，星期六25第25页，共26页，编辑于2022年，星期六四、小结与思考四、小结与思考 了解复变函数可表示平面向量场了解复变函数可表示平面向量场,对于某单连通域对于某单连通域内给定的平面无源无旋场内给定的平面无源无旋场,可以作出一解析函数可以作出一解析函数(称为称为该场的复势该场的复势),统一研究该场的分布和变化情况统一研究该场的分布和变化情况.放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.第26页，共26页，编辑于2022年，星期六