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1、*第四节 平面场的复势一、用复变函数表示平面向量场二、平面流速场的复势三、静电场的复势四、小结与思考1一、一、用复变函数表示平面向量场用复变函数表示平面向量场平面定常向量场平面定常向量场:向量场中的向量都平向量场中的向量都平行于某一个平面行于某一个平面S,而且在而且在垂直于垂直于S 的任何一条直线的任何一条直线上的所有点处的向量都是上的所有点处的向量都是相等的相等的;场中的向量也都场中的向量也都与时间无关与时间无关.显然显然,向量场在所有平行于向量场在所有平行于S 的平面内的分布情的平面内的分布情况是完全相同的况是完全相同的,可以用可以用So 平面内的场表示平面内的场表示.23例如例如,一个平
2、面定常流速场一个平面定常流速场(如河水的表面如河水的表面)平面电场强度向量为平面电场强度向量为4二、平面流速场的复势二、平面流速场的复势1.流函数流函数:如果它在单连域如果它在单连域 B 内是无源场内是无源场(即管量场即管量场),5流线流线62.势函数势函数:等势线等势线(或等位线或等位线)7平面流速场的复平面流速场的复势函数势函数(复势复势)柯西柯西 黎曼黎曼方程方程3.平面流速场的复势函数平面流速场的复势函数:在单连域内可以作一个解析函数在单连域内可以作一个解析函数8 给定一个单连域内的无源无旋平面流速场给定一个单连域内的无源无旋平面流速场,就可以构造一个解析函数就可以构造一个解析函数它的
3、复势与之对它的复势与之对应应;反之反之,如果在某一区域如果在某一区域(不管是否单连不管是否单连)内给内给定一个解析函数定一个解析函数,就有以它为复势的平面流速就有以它为复势的平面流速场对应场对应,并可以写出该场的流函数和势函数并可以写出该场的流函数和势函数,得得到流线与等势线方程到流线与等势线方程,画出流线和等势线的图画出流线和等势线的图形形,即得描绘该场的流动图象即得描绘该场的流动图象.9例例1 1解解10例例2 2解解由对称性由对称性,11因为流体不可压缩因为流体不可压缩,12流过圆周的流量为流过圆周的流量为13蓝色为等势线蓝色为等势线,红色为流线红色为流线.(流动图象如下流动图象如下)1
4、4解解例例3 3与例与例2类似类似,沿圆周的环流量为沿圆周的环流量为1516对比例对比例1和例和例2的结果的结果,因此因此,只须将例只须将例2图中流线与等势线位置互换图中流线与等势线位置互换,即可得涡点所形成的场的流动图象即可得涡点所形成的场的流动图象.蓝色为流线蓝色为流线,红色为等势线红色为等势线.17三、三、静电场的复势静电场的复势当场内没有带电物体时当场内没有带电物体时,静电场无源无旋静电场无源无旋.18与讨论流速场一样与讨论流速场一样,就是说就是说,等值线就是向量线等值线就是向量线,即场中电力线即场中电力线.1920静电场的复势静电场的复势(复电位复电位)在在B内可决定一个解析函数内可
5、决定一个解析函数 利用静电场的复势利用静电场的复势,可以研究场的等势线可以研究场的等势线和电力线的分布情况和电力线的分布情况,描绘出场的图象描绘出场的图象.21例例4 4解解因为导线为无限长因为导线为无限长,因此垂直于因此垂直于 xoy 平面的任平面的任何直线上各点处的电场强度是相等的何直线上各点处的电场强度是相等的.22又因为导线上关于又因为导线上关于 z 平面对称的两带电微元段平面对称的两带电微元段所产生的电场强度的垂直分量相互抵消所产生的电场强度的垂直分量相互抵消,只剩只剩下与下与 xoy 平面平行的分量平面平行的分量.故所产生的静电场为平面场故所产生的静电场为平面场.由库仑定律由库仑定律,232425四、小结与思考四、小结与思考 了解复变函数可表示平面向量场了解复变函数可表示平面向量场,对于某对于某单连通域内给定的平面无源无旋场单连通域内给定的平面无源无旋场,可以作出可以作出一解析函数一解析函数(称为该场的复势称为该场的复势),统一研究该场统一研究该场的分布和变化情况的分布和变化情况.放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.26