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1、合作对策模型第1页，共10页，编辑于2022年，星期六例例7 有有三三个个位位于于某某河河流流同同旁旁的的城城镇镇城城1 1、城城 2 2、城城3(3(如如图图）三三城城镇镇的的污污水水必必须须经经过过处处理理后后方方能能排排入入河河中中，他他们们既既可可以以单单独独建建立立污污水水处处理理厂厂，也也可可以以通通过过管管道道输输送送联联合合建建厂厂。为为了了讨讨论论方方便便起起见见，我我们们再假设污水只能由上游往下游。再假设污水只能由上游往下游。用用Q Q表表示示污污水水量量，单单位位为为米米3 3/秒秒，L L表表示示管管道道长长度度，单单位位为为公公里里，则有经验公式：则有经验公式：建厂费
2、用建厂费用C1=730Q0.712（万元）（万元）管道费用管道费用C2=6.6Q0.51L(万元）万元）已知三城镇的污水量分别为：已知三城镇的污水量分别为：Q Q1 1=5=5米米3 3/秒，秒，Q Q2 2=3=3米米3 3/秒，秒，Q Q3 3=5=5米米3 3/秒，问：秒，问：三城镇应怎样处理污水方可使总开支最少？三城镇应怎样处理污水方可使总开支最少？每一城镇负担的费用应各为多少？每一城镇负担的费用应各为多少？城一城一城二城二城三城三 38公里公里 20公里公里第2页，共10页，编辑于2022年，星期六分析分析 本问题中三城镇处理污水可以有五种方案：本问题中三城镇处理污水可以有五种方案：
3、(1)(1)每城镇各建一个处理厂（单干）。每城镇各建一个处理厂（单干）。(2)(2)城城1,1,城城2 2合建一个合建一个,城城3 3单独建一个单独建一个(1(1、2 2城合作建于城城合作建于城2 2处处)。(3)(3)城城2,2,城城3 3合建一个合建一个,城城1 1单独建一个单独建一个(2(2、3 3城合作建于城城合作建于城3 3处处)。(4)(4)城城3,3,城城1 1合建一个合建一个,城城2 2单独建一个单独建一个(1(1、3 3城合作建于城城合作建于城3 3处处)。(5)(5)三城合建一个污水处理厂（建于城三城合建一个污水处理厂（建于城3 3处）处）城一城一城二城二城三城三 38公里
4、公里 20公里公里 容易计算：容易计算：方案方案总投资总投资(：万元：万元)1 6200 2 5800 3 5950 4 6230 5 5560以三城合作总投资为最少以三城合作总投资为最少 第3页，共10页，编辑于2022年，星期六费用怎么分摊呢？费用怎么分摊呢？建厂费用按三城污水量之比建厂费用按三城污水量之比5 5：3 3：5 5分摊，管道是为城分摊，管道是为城1 1、城城2 2建的，应由两城协商分摊。建的，应由两城协商分摊。城一城一城二城二城三城三 38公里公里 20公里公里建厂处建厂处同意城同意城3 3意见，由城意见，由城22城城3 3的管道费用可的管道费用可按污水量之比按污水量之比5
5、5：3 3：5 5分摊，但城分摊，但城11城城2 2的管道费用应由城的管道费用应由城1 1承担。承担。分摊方案有道理，但得作一分摊方案有道理，但得作一番番 “可行性论证可行性论证”，城城1 1的的“可行性论证可行性论证”：联合建厂费联合建厂费 ：（万元）（万元）城城1 1负担负担 ：（万元）（万元）城城11城城2 2管道费：管道费：（万元）（万元）全部由城全部由城1 1负担负担城城22城城3 3管道费：管道费：（万元）（万元）城城1 1负担负担 ：（万元）（万元）城城1 1的总负担的总负担 ：约为：约为24572457万元万元 城城1 1自己建厂费用自己建厂费用 ：23002300万元万元 合
6、作后城合作后城1 1费用增加！费用增加！差点做了冤大头！差点做了冤大头！第4页，共10页，编辑于2022年，星期六怎样找出一个合理的分摊原则，以保证合作的实现呢？怎样找出一个合理的分摊原则，以保证合作的实现呢？N N人合作对策模型人合作对策模型 设有一个设有一个n n人的集合人的集合I=1,2,I=1,2,n,n，其元素是某一合作的可能参加者。，其元素是某一合作的可能参加者。(1)(1)对于每一子集对于每一子集S IS I，对应地可以确定一个实数，对应地可以确定一个实数V(S)V(S)，此数的实际，此数的实际意义为如果意义为如果S S中的人参加此项合作，则此合作的总获利数为中的人参加此项合作，
7、则此合作的总获利数为V(S)V(S)，十分明显，十分明显，V(S)V(S)是定义于是定义于I I的一切子集上的一个集合函数。根据本问题的实际背景，还的一切子集上的一个集合函数。根据本问题的实际背景，还应要求应要求V(S)V(S)满足以下性质满足以下性质:=0=0（没有人参加合作则合作获利不能实现）（没有人参加合作则合作获利不能实现）对一切满足对一切满足 的的S S1 1、S S2 2成立成立具有这种性质的集合函数具有这种性质的集合函数V V（S S）称为）称为I I的特征函数。的特征函数。第5页，共10页，编辑于2022年，星期六 (2)(2)定义合作结果定义合作结果V V（S S）的分配为）
8、的分配为 ，其中，其中 表表示第示第i i人在这种合作下分配到的获利。显然，不同的合作应有不同的分配，人在这种合作下分配到的获利。显然，不同的合作应有不同的分配，问题归结为找出一个合理的分配原则问题归结为找出一个合理的分配原则 来，来，被称为合作对策被称为合作对策 19531953年年Shapley采用逻辑建模方法研究了这一问题。采用逻辑建模方法研究了这一问题。首先，他归纳出了几条合理分配原则首先，他归纳出了几条合理分配原则 应当满足应当满足的基本性质（用公理形式表示），进而证明满足这的基本性质（用公理形式表示），进而证明满足这些基本性质的合作对策些基本性质的合作对策 是唯一存在的，从而妥是唯
9、一存在的，从而妥善地解决了问题。善地解决了问题。是否存在是否存在合理分配原则合理分配原则 第6页，共10页，编辑于2022年，星期六Shapley提出了以下公理：提出了以下公理：设设V是是I上的特征函数，上的特征函数，是合作对策，则有是合作对策，则有公理公理1合作获利对每人的分配与此人的标号无关。合作获利对每人的分配与此人的标号无关。公理公理2 ，即每人分配数的总和等于总获利数。，即每人分配数的总和等于总获利数。公理公理3若对所有包含的若对所有包含的i i的子集的子集S S有：有：V(S-i)=V(S)，=0。即若第即若第i人在他参加的任一合作中均不人在他参加的任一合作中均不作出任何贡献，则他
10、不应从合作中获利作出任何贡献，则他不应从合作中获利 公理公理4若此若此n n个人同时进行两项互不影响的合作，则两个人同时进行两项互不影响的合作，则两项合作的分配也应互不影响，每人的分配额即项合作的分配也应互不影响，每人的分配额即两项合作单独进行时应分配数的和两项合作单独进行时应分配数的和。第7页，共10页，编辑于2022年，星期六利用上述公理可以证明满足公理利用上述公理可以证明满足公理1 14 4的的 是唯一存在的是唯一存在的(证明略证明略)存在存在 的公式吗的公式吗Shapley指出，指出，可按可按下列公式下列公式给出：给出：(11.1)i=1,n Si是是I中包含中包含i的一切子集所成的集
11、合，的一切子集所成的集合，|S|表示集合表示集合S中的元素个数，而中的元素个数，而 (11.2)可视为可视为i在合作在合作S中所作的贡献中所作的贡献 W(|S|)可看作这可看作这种贡献的权因子种贡献的权因子 第8页，共10页，编辑于2022年，星期六合作的获利真的不少于他单干时的获利吗合作的获利真的不少于他单干时的获利吗 对每一对每一iI，有，有 求证求证:证明证明:|S|=K时，包含时，包含i i的子集的子集S共有共有 个个 即即 个个 故故 =1/n 从而从而 又根据性质，有又根据性质，有 故有故有 第9页，共10页，编辑于2022年，星期六城城1 获利获利 =67+130=197（万元）
12、（万元）承担总费用：承担总费用：2300-197=2103（万元）（万元）1300670W(|S|)V(S)-V(S-I)1/31/61/61/3W(|S|)3221|S|39004000V(S)-V(S-I)250000V(S-I)64004000V(S)1，2，31，31，21S城一城一城二城二城三城三 38公里公里 20公里公里建厂处建厂处 解决三城镇污水处理问题解决三城镇污水处理问题 城城1 1究竟应当承担多少费用究竟应当承担多少费用首先不难看出首先不难看出 ：S1=1,1,2,1,3,1,2,3 计算出与计算出与(11.1)式有关的数据并列成表式有关的数据并列成表 总投资大于单干总投资，总投资大于单干总投资，合作不可能实现，合作合作不可能实现，合作 获利为获利为0 0 城城2 2和城和城3 3应该承担应该承担的费用可类似算出的费用可类似算出我们应该承担的是我们应该承担的是21032103万元！万元！第10页，共10页，编辑于2022年，星期六