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1、场论基础第1页，共21页，编辑于2022年，星期六1.1 1.1 场与坐标系场与坐标系 如果对应于某一几何空间或某一部分几何空间中的每一点都对应着物如果对应于某一几何空间或某一部分几何空间中的每一点都对应着物理量的一个确定的值，就称为在这个空间上确定了该物理量的一个理量的一个确定的值，就称为在这个空间上确定了该物理量的一个“场场”。如：温度场、浓度场、速度场等。如：温度场、浓度场、速度场等。1.1.1 1.1.1 场、标量、矢量与张量场、标量、矢量与张量 什么是场：什么是场：为什么要研究场？为什么要研究场？第2页，共21页，编辑于2022年，星期六标量标量是一维的量，它只需是一维的量，它只需1
2、 1个数及单位来表示，如温度、密度。个数及单位来表示，如温度、密度。矢矢量量则则不不仅仅有有数数量量的的大大小小，而而且且有有指指定定的的方方向向，它它必必需需由由某某一一空空间间坐坐标标系系的的 3 3 个个坐坐标标轴轴方方向向的的分分量量来来表表示示，因因此此矢矢量量是是三三维维的的量。量。三三维维空空间间中中的的二二阶阶张张量量是是一一个个9 9维维的的量量，必必须须用用9 9个个分分量量才才可可完完整整的的表示，如应力，变形速率。表示，如应力，变形速率。三维空间中的三维空间中的 n n 阶张量阶张量由由 3 3n n 个分量组成。个分量组成。标量和矢量均可看作低阶张量，标量为零阶张量，
3、而矢量为一阶张量。标量和矢量均可看作低阶张量，标量为零阶张量，而矢量为一阶张量。第3页，共21页，编辑于2022年，星期六场本身与坐标系无关，但是研究一个具体的场则需要在具体的坐标系中进行。场本身与坐标系无关，但是研究一个具体的场则需要在具体的坐标系中进行。凡具有三个坐标变量凡具有三个坐标变量 ，且其坐标单位矢量，且其坐标单位矢量 相正交，称为正交相正交，称为正交坐标系，且坐标系，且 ，符合右手定则。，符合右手定则。1.1.2 1.1.2 坐标系坐标系a a 直角坐标系直角坐标系第4页，共21页，编辑于2022年，星期六c c 球坐标系球坐标系b b 园柱坐标系园柱坐标系第5页，共21页，编辑
4、于2022年，星期六三个方向上的单位矢量：三个方向上的单位矢量：d d 空间正交曲线坐标系空间正交曲线坐标系第6页，共21页，编辑于2022年，星期六（1 1）.向径的微分、拉梅系数：向径的微分、拉梅系数：方向导数的模、拉梅系数：方向导数的模、拉梅系数：第7页，共21页，编辑于2022年，星期六关键是如何确定拉梅系数和单位矢量：关键是如何确定拉梅系数和单位矢量：拉梅系数：拉梅系数：第8页，共21页，编辑于2022年，星期六单位矢量：单位矢量：第9页，共21页，编辑于2022年，星期六本章作业本章作业1:1:写出空间正交曲线坐标系下单位矢量对坐标的偏导数写出空间正交曲线坐标系下单位矢量对坐标的偏
5、导数第10页，共21页，编辑于2022年，星期六（2 2）.微元弧长：微元弧长：在三个方向上的投影为：在三个方向上的投影为：（3 3）.微元面积：微元面积：（4 4）.微元体积：微元体积：第11页，共21页，编辑于2022年，星期六1.2 1.2 梯度、散度与旋度梯度、散度与旋度 标量场标量场的梯度是一个向量，它的方向即为的梯度是一个向量，它的方向即为变化率最大的方变化率最大的方向，而其大小则为这个最大变化率的数值。它是标量场不均匀向，而其大小则为这个最大变化率的数值。它是标量场不均匀性的量度，记为性的量度，记为grad,或或 :1.2.1 1.2.1 标量场的梯度标量场的梯度直角坐标下直角坐
6、标下:第12页，共21页，编辑于2022年，星期六园柱坐标下园柱坐标下:球坐标下球坐标下:第13页，共21页，编辑于2022年，星期六梯度的物理意义梯度的物理意义:1.1.是函数是函数 在空间的最大变化率在空间的最大变化率.2.2.的方向一定与函数的等值面相垂直的方向一定与函数的等值面相垂直:若若 则则第14页，共21页，编辑于2022年，星期六 矢量场矢量场 中任意一点中任意一点M,包围包围M作一微小体积作一微小体积 ,其表面积为其表面积为 ,若极限若极限 存在存在,称为矢量场称为矢量场A在点在点M的散度的散度,记为记为 ,或或 .散度为矢量散度为矢量A通过界面通过界面 的通量并除以的通量并
7、除以微员面积微员面积 .1.2.2 1.2.2 矢量场的散度矢量场的散度直角坐标下直角坐标下:第15页，共21页，编辑于2022年，星期六园柱坐标下园柱坐标下:球坐标下球坐标下:第16页，共21页，编辑于2022年，星期六散度的物理意义散度的物理意义:单位体积的表面流出的通量单位体积的表面流出的通量.第17页，共21页，编辑于2022年，星期六 矢量场矢量场 中任意一点中任意一点M,过过M点任一方向点任一方向 ,以以 为法向作一微为法向作一微小面积小面积 ,其边界为其边界为 ,若极限若极限 存在存在,称称为矢量场为矢量场A在点在点M沿沿 方向上的方向上的环量面密度环量面密度.旋度就是这样一旋度
8、就是这样一个矢量个矢量,它的方向是环量面密度最大的方向它的方向是环量面密度最大的方向,其大小为这个最大其大小为这个最大的环量面密度的值的环量面密度的值,记为记为 ,或或 ,.1.2.3 1.2.3 矢量场的旋度矢量场的旋度第18页，共21页，编辑于2022年，星期六园柱坐标下园柱坐标下:球坐标下球坐标下:直角坐标下直角坐标下:第19页，共21页，编辑于2022年，星期六1.2.4 1.2.4 基本运算式基本运算式 (P19)P19)微分公式微分公式:积分公式积分公式:（本章作业（本章作业2 2）第20页，共21页，编辑于2022年，星期六本章作业本章作业3:3:写出矢量函数的梯度写出矢量函数的梯度第21页，共21页，编辑于2022年，星期六