第1章场论基础精.ppt

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1、第1章场论基础第1页，本讲稿共67页电子教案使用建议电子教案使用建议 1、在整个教学过程中，始终把握突出物理概念，强调理论推导、在整个教学过程中，始终把握突出物理概念，强调理论推导和计算方法的分析思路；和计算方法的分析思路；2、在教案中提出的、在教案中提出的“问题问题”和公式后出现的问号和公式后出现的问号“？”，教师，教师可按教材内容引导学生进行探讨；可按教材内容引导学生进行探讨；3、电磁场与电磁波的工程应用十分广泛，对教材中应用部分提供的、电磁场与电磁波的工程应用十分广泛，对教材中应用部分提供的阅读材料，可根据教学和专业需要，要求学生自学，教师选讲或补充新阅读材料，可根据教学和专业需要，要求

2、学生自学，教师选讲或补充新的内容。的内容。注：使用中如出现无法识别的乱码，可安装注：使用中如出现无法识别的乱码，可安装MathType 6.0MathType 6.0及以上版本公式编辑器解决。及以上版本公式编辑器解决。第2页，本讲稿共67页常用恒等式和公式常用恒等式和公式1.4场的概念及其表示法场的概念及其表示法1.1场的性质和描述场的性质和描述1.2梯度、散度和旋度的比较梯度、散度和旋度的比较1.3亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理1.5第第1章章 场论基础场论基础第3页，本讲稿共67页概 要 矢量分析主要包含矢量代数、正交坐标系和矢量微积分，场的理论是通过矢量分析来表述的，所以矢量分析与场论密不可分

3、。本章首先介绍场的数学概念和表示方法，进而对场的场域性质和场点性质及其描述方法做了对比讨论，着重讨论了标量场的梯度、矢量场的散度和旋度的物理概念及其运算规律，在此基础上介绍总结矢量场性质的亥姆霍兹定理。第4页，本讲稿共67页1.1 场的概念及其表示法场的概念及其表示法1.1.1 场的分类场的分类场是表征空间区域中各点物理量的时空分布函数场是表征空间区域中各点物理量的时空分布函数。第5页，本讲稿共67页 1.1.2 矢量场的基本运算矢量场的基本运算 图1.1中用箭头指示方向的线段表示矢量A，线段长度表示矢量A的模A，箭头指向表示A的方向。一个模为1的矢量称为单单位矢量位矢量 。图1.1 点P处的

4、矢量(1.1)第6页，本讲稿共67页1矢量加、减法矢量加、减法图1.2表示矢量A和B按平行四边行法则合成矢量C=A+B。图1.2 矢量加法第7页，本讲稿共67页 矢量加法服从交换律和结合律 图1.3表示借助于矢量加法可以实现矢量减法图1.3 矢量减法第8页，本讲稿共67页 2矢量乘法矢量乘法 图1.4表示矢量A和B的点积（或标积）为两个矢量相互投影之值图1.4 矢量点积取值范围为 。矢量点积服从交换律和分配律第9页，本讲稿共67页 图1.5表示矢量A和B的叉积（或矢积）为一个按右旋法则确定的矢量矢量叉积只服从分配律第10页，本讲稿共67页 1.1.3 常用正交坐标系常用正交坐标系 引入坐标系可

5、以将矢量运算中的矢量按坐标投影形式分解为标量，可简化分析与计算。1直角坐标系直角坐标系 图1.6表示直角坐标系，其单位矢量 、和 指向x、y和z增加的方向，且满足右旋关系第11页，本讲稿共67页 矢量A和B的直角分量及其代数运算第12页，本讲稿共67页 点P的位置矢量及其微分 2、圆柱坐标系、圆柱坐标系 图1.7表示圆柱坐标系，其单位矢量 、和 指向 、和z增加的方向，且满足右旋关系第13页，本讲稿共67页第14页，本讲稿共67页 矢量A和B的圆柱坐标分量及其代数运算第15页，本讲稿共67页 点P的位置矢量 圆柱、直角坐标系间的变换关系 3球坐标系球坐标系 图1.8表示球坐标系，其单位矢量 、

6、和 指向r、和 增加的方向，且满足右旋关系第16页，本讲稿共67页第17页，本讲稿共67页 矢量A和B的球坐标分量及其代数运算第18页，本讲稿共67页 球、直角坐标系间的变换关系 点P的位置矢量第19页，本讲稿共67页 1.2 场的性质和描述场的性质和描述 1.2.1 场域性质场域性质 场域域性质是指场在有限区域有限区域的分布状况。1标量场的等值面标量场的等值面 引入等值面可以形象、直观地描述标量场的空间分布状况。等值面在标量场中，使标量函数u(x、y、z)取相同数值的点形成的空间曲面。等值面方程描述给定常数C确定的曲面的轨迹方程第20页，本讲稿共67页 标量场的等值面特性：标量场的等值面特性

7、：(1)常数C取不同数值时，就得到不同的等值面方程，因而形成充满标量场u所在空间的等值面蔟（见图1.9）；(2)由于u(x,y,z)是坐标的单值函数，场中任意一点只能在一个等值面上，标量场的等值面互不相交；(3)三维标量场退化为二维或一维的标量场时，等值面退化为等值线（曲线或直线）。例如：第21页，本讲稿共67页 2矢量场的矢量线矢量场的矢量线 引入矢量线可以形象、直观地描述矢量场的空间分布状况。矢量线是一种有向曲线：某点矢量场的大小用该点附近矢量线分布的疏密度表示，方向与该点场矢量的方向一致。如图1.12所示。第22页，本讲稿共67页 矢量线方程描述矢量函数 分布曲线中某点P的矢量分布方程，

8、它是由与点P相切（共线）的微分矢量 满足 所确定的矢量线微分方程。第23页，本讲稿共67页 在直角坐标系中，取 则矢量线方程为 图1.13和图1.14表示点电荷的电力线和直线电流的磁力线是两类不同性质的源，它们的场也具有不同的性质。第24页，本讲稿共67页 问题：为什么要同时应用矢量场的通量和环量来描述矢量场的场域问题：为什么要同时应用矢量场的通量和环量来描述矢量场的场域性质？性质？3矢量场的通量和环量矢量场的通量和环量 矢量场的通量 有向曲面S其大小为S、方向沿曲面的垂直方向 的曲面。第25页，本讲稿共67页 未闭合曲面的 指向与其周线走向呈右旋关系（见图1.15）；闭合曲面的 指向其外法向

9、（见图1.16）。有向曲面元 有向曲面S上的微分有向曲面元 。第26页，本讲稿共67页矢量场F穿过有向曲面元dS的通量 曲面S上各面元dS叠加，分别得开曲面和闭曲面的通量 看出矢量场对有向曲面的面积分称为矢量场通过该有向曲面的矢量场对有向曲面的面积分称为矢量场通过该有向曲面的通量通量。第27页，本讲稿共67页 （2）当 时，表示穿出闭合闭曲面S的通量线少于穿入的通量线，闭曲面S内必有汇聚通量线的负通量源负通量源（例如，汇聚静电场力线的负电荷）；讨论：（1）当 时，表示穿出闭合闭曲面S的通量线多于穿入的通量线，闭曲面S内必有发出通量线的正通量源正通量源（例如，发出静电场力线的正电荷）；（3）当

10、时，表示穿出和穿入闭合闭曲面S的通量线相等，闭曲面S无通量源。第28页，本讲稿共67页 看出在有限空间区域内，穿过闭曲面的通量与闭曲面内产生矢量场的源存在相依关系（例如，高斯定理 ）。矢量场的环量 有向曲线 其大小为 ，方向沿 的切线方向 的曲线。有向曲线元 有向曲线 上的微分有向曲线元 （见图1.17）。第29页，本讲稿共67页 看出矢量场沿有向曲线的线积分称为矢量场沿该有向曲线的环量矢量场沿有向曲线的线积分称为矢量场沿该有向曲线的环量。矢量场F沿开曲线和闭曲线切线方向上有向曲线 叠加后的环量 讨论：（1）当 时，表示F与 取向相同，沿闭曲线周线上形成正环量源正环量源；第30页，本讲稿共67

11、页 看出在有限空间区域内，沿闭曲线的环量与闭曲线所界定曲面产生矢量场的源存在相依关系（例如，安培环路定理 ）。（2）当 时，表示F与 取向相反，沿闭曲线周线上形成负环量源负环量源；（3）当 时，表示F与 正交，沿闭曲线周线上不存在环量源。第31页，本讲稿共67页 1.2.2 场点性质场点性质 场点点性质是指场在某点邻域某点邻域的空间变化率。场域性质只能揭示场在有限区域内场与源的相依关系，当场源分布发生变化时不会影响它们的关系。为了揭示有限区域内某点场的物理性质，可以采用取极限的方法，将范围缩小至该点，考查该点的场点性质。1标量场的梯度标量场的梯度 引入方向导数描述标量场中某点在其邻域内沿各个方

12、向的变化规律，如图1.18所示。第32页，本讲稿共67页图1.18 方向导数标量场方向导数的定义 设标量场 中由定点 引出的射线 上有一动点P，相距为 ，当P沿 趋近 时，在 处沿 的方向导数定义为如下比值的极限第33页，本讲稿共67页 看出标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向上对距离的变化率向上对距离的变化率。在标量场中给定点可以发出无限多个射线，不同方向的变化率是不相同的，方向导数具有不确定性。但在无限多个方向中必定只存在一个一个具有最大变化率的方向导数。标量场梯度的定义 设标量场u在点P变化率最大时的方向导为 ，该变化率最大的方向

13、用单位矢量 表示，则u在P的梯度定义为一个矢量式第34页，本讲稿共67页 看出标量场在某点的梯度是一个矢量，其大小为具有最大标量场在某点的梯度是一个矢量，其大小为具有最大变化率的方向导数，其方向为变化率最大的方向变化率的方向导数，其方向为变化率最大的方向。图1.19表示直角坐标系中，分解为三个投影分量 、和 ，有梯度在直角坐标系中的表达式第35页，本讲稿共67页 由几何关系知 ，和 。图1.19 方向导数的直角分量第36页，本讲稿共67页 图1.20表示直角坐标系中两个矢量 和 的点积。其中，为任意方向射线l上的单位矢量，为与u有关的固定固定矢量，表示为由式(1.39a)得第37页，本讲稿共6

14、7页第38页，本讲稿共67页 讨论：（1）当矢量 旋向矢量 时，是 的模，标量场u有最大变化率，就是标量场u的梯度，由式（1.39c）知，梯度在直角坐标系中的表达式 （2）当矢量 旋至与矢量 垂直时 ，标量场u在垂直于矢量 的方向无变化，是等值面所在位置。第39页，本讲稿共67页 图1.21表示方向导数、梯度和等值面的关系。由图看出梯度具有如下特性：（1）标量场u的梯度gradu是一个矢量场，称为梯度场；（3）梯度方向的方向导数 为正值，梯度总是指向标量函数u增大最快的方向；（4）标量场u在点P的梯度垂直于过该点的等值面，即在等值面的法线方向，标量场变化最快。（2）标量场u在给定点P沿 方向的

15、方向导数等于梯度在该方向上的投影（如图1.20所示）；第40页，本讲稿共67页图1.22表示梯度的意义第41页，本讲稿共67页引入矢性微分算符 作用于u 【例例1.1】已知R为场点P（x，y，z）与源点 的距离，和 分别表示对场点和源点求导，如图1.23所示。计算 和 之值，并表示出它们间的关系。第42页，本讲稿共67页第43页，本讲稿共67页 解：解：点P 和P 的位置矢量 则 对场点和源点求导的算符第44页，本讲稿共67页将代入式（1.42），得式中对y，z求导可得类似关系式，故有第45页，本讲稿共67页 同理，对x、y和z做类似微分运算时，必须反号，故得由此可知第46页，本讲稿共67页

16、【例例1.2】如图1.24所示，已知点电荷q在场点P的电位求 的梯度，并讨论E和 的关系。第47页，本讲稿共67页 解：解：按上例的结果可知又因为该点电荷产生的电场强度因此有 图1.24中场点P处的梯度方向指向等位球面之值增加的方向，而电场强度则指向径向方向，刚好等值反向，故上式中出现负号。第48页，本讲稿共67页 2矢量场的散度和旋度矢量场的散度和旋度 矢量场散度的定义 设矢量场F中任一点P由闭曲面S包围，当S所界定的体积 趋近于零时，F在点P处的散度定义为如下比值的极限 看出散度是一个标量，可理解为通过单位体积闭曲面的通量散度是一个标量，可理解为通过单位体积闭曲面的通量（通量体密度或通量源

17、强度）（通量体密度或通量源强度）。图1.25表示散度的意义（流体速度场与静电场比拟）。第49页，本讲稿共67页第50页，本讲稿共67页 散度在直角坐标系中的表达式（证明略）【例例1.3】已知点电荷q产生的电位移矢量 式中，求D的散度，并讨论在 和 处的物理意义。第51页，本讲稿共67页 解：解：由 知 同理，其y，z分量有类似表示式，只需将分子中的换为 和 ，故根据式（1.44）可知第52页，本讲稿共67页 矢量场环量面密度 设矢量场F中任一点P由有向闭曲线 包围，的正向与其所界定面积 的法向矢量 呈右旋关系（见图1.26），当 趋近于零时，F在点P处的环量面密度定义为如下比值的极限 在 处，

18、场点和源点不重合，表示源点外处处无电荷；在 处，场点和源点重合，表示D之值为无限大，无意义，所以 也不存在。第53页，本讲稿共67页第54页，本讲稿共67页 在矢量场中过给定点可以存在无数方位的有向曲面，其相应法线也有无数个方向，表明 是与方向有关的不确定的标量值。但在无数个方向中必定只存在一个一个具有最大变化率的环量面密度，它是由特定方向确定的矢量。矢量场旋度的定义 设矢量场F在点P 变化率最大时的环量面密为 ，该变化率最大的方向用单位矢量 表示，则F在点P 的旋度定义为一个矢量 ，记为第55页，本讲稿共67页 当 时，与 重合。此时 ，说明 指向环量面密度最大的方向。看出旋度是一个矢量，其

19、大小为沿单位面积上的最大环旋度是一个矢量，其大小为沿单位面积上的最大环量（最大环量面密度或最大环量源强度），其方向为曲面量（最大环量面密度或最大环量源强度），其方向为曲面取向使环量最大时，该曲面的法线方向取向使环量最大时，该曲面的法线方向。旋度用于表示旋涡源产生的旋涡场，其矢量线为包围旋涡源的无头无尾的闭曲线，其绕行方向与旋涡源方向呈右旋关系。由图1.26看出 与 的投影关系第56页，本讲稿共67页例如：旋度在直角坐标系中的表达式（证明略）第57页，本讲稿共67页 【例例1.4】求例1.3中电位移矢量D的旋度。解：解：已知式中，有类似形式，根据式（1.48），有第58页，本讲稿共67页 显然，

20、上式要求满足在 处的条件，结合例1.3可知，点电荷的电位移矢量在无源区 这一特定条件下，是一个无散无旋场。第59页，本讲稿共67页 1.3 梯度、散度和旋度的比较梯度、散度和旋度的比较 1三个度均用于描述某点场的空间变化率，但变化方式不同，三个度均用于描述某点场的空间变化率，但变化方式不同，揭示了场的特性也不同揭示了场的特性也不同。问题：由梯度、散度和旋度的定义式和直角坐标式说明，为问题：由梯度、散度和旋度的定义式和直角坐标式说明，为什么在数学上可以引入矢性微分算符什么在数学上可以引入矢性微分算符“”来统一表示？来统一表示？图1.27表示梯度场、散度场和旋度场变化方式的比较。第60页，本讲稿共

21、67页 2三个度均用于表述某点场与场源的相依关系，不同变化规律的三个度均用于表述某点场与场源的相依关系，不同变化规律的场对应于不同性质的场源场对应于不同性质的场源。3标量场的梯度是矢量函数，矢量场的散度是标量函数，矢量场标量场的梯度是矢量函数，矢量场的散度是标量函数，矢量场的旋度是矢量函数的旋度是矢量函数。这些函数分别表示梯度场、散度场和旋度场。这些函数分别表示梯度场、散度场和旋度场。第61页，本讲稿共67页 1.4 常用恒等式和公式常用恒等式和公式 引入拉普拉斯算符“”，在直角坐标中（1.49a）（1.49b）第62页，本讲稿共67页1微分形式微分形式2积分形式积分形式第63页，本讲稿共67

22、页 1.5 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 亥姆霍兹定理：在无界区域中，某场点的矢量场由其散度和旋度唯亥姆霍兹定理：在无界区域中，某场点的矢量场由其散度和旋度唯一确定一确定。式中纵场Fn表示无旋场，横场 表示无散场。设g和G分别表示通量源（例如 ）和旋涡源（例如J），则无旋场和无散场分别满足方程第64页，本讲稿共67页 对式（1.56）分别取散度和旋度，由式（1.57a、b）知 看出矢量场F由g和G产生的无旋场和无散场唯一确定。若引入标量位 和矢量位A来表示矢量场 和 ，则式（1.51）和 对比，式（1.52）和对比，可得第65页，本讲稿共67页 式（1.59）代入式（1.56）得 亥姆霍兹定理是矢量场的场点性质的判别准则。按场的无旋性和无散性可将场分为如下类型：（1）无散无旋场 ，如无源空间中的静电场；（2）有散无旋场 ，如有源空间 中的静电场；（3）无散有旋场 ，如有源空间 中的静磁场；第66页，本讲稿共67页 （4）有散有源场 ，如有源空间 和时变磁场 中的电场。亥姆霍兹定理总结了矢量场的场点性质，是研究电磁场与电磁波的重要基础。第67页，本讲稿共67页