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1、第七章 应力和应变分析 强度理论1第1页，本讲稿共103页 7.1 7.1 应力状态概述应力状态概述 由杆件的基本变形分析可知，一般情况下，不同截面存在不同由杆件的基本变形分析可知，一般情况下，不同截面存在不同的应力，同一截面上，不同的点应力也不一样，即使同一点，不的应力，同一截面上，不同的点应力也不一样，即使同一点，不同的方向上应力也不一样。同的方向上应力也不一样。无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值，无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值，为了找到构件内最大应力的位置和方向，需要对各点的应力为了找到构件内最大应力的位置和方向，需要对各点的应力情况做出分析，一个点在各个
2、方向上的应力分布就是点的应情况做出分析，一个点在各个方向上的应力分布就是点的应力状态。力状态。2第2页，本讲稿共103页n设杆的横截面面积为设杆的横截面面积为A，则斜截面面积为：则斜截面面积为：这是斜截面上与这是斜截面上与轴线平行的应力轴线平行的应力NPmmpA直杆轴向拉伸与压缩时斜截面上的应力直杆轴向拉伸与压缩时斜截面上的应力为横截面正应力为横截面正应力 杆件截面上各点的应力会随点在截面的位置不同和截面的方向不同，应力的数值将发生发生变化研究截面上任一点在各个不同方位的应力情况点的应力状态点的应力状态3第3页，本讲稿共103页一、一点的应力状态一、一点的应力状态 1.一一点点的的应应力力状状
3、态态：通通过过受受力力构构件件一一点点处处各各个个不不同同截截面面上的应力情况上的应力情况。2.研研究究应应力力状状态态的的目目的的：找找出出该该点点的的最最大大正正应应力力和和剪剪应应力力数数值值及所在截面的方位，以便研究构件破坏原因并进行失效分析。及所在截面的方位，以便研究构件破坏原因并进行失效分析。二、研究应力状态的方法二、研究应力状态的方法单元体法单元体法 1.单元体：单元体：围围绕绕构构件件内内一一所所截截取的微小正六面体。取的微小正六面体。dzdxdyXYZO y y z z zy yz yz zy yx yx xy xy x x zx xz zx xzxOzy4第4页，本讲稿共1
4、03页 （1）应应力力分分量量的的角角标标规规定定：第第一一角角标标表表示示应应力力作作用用面面，第第二二角标表示应力平行的轴，两角标相同时，只用一个角标表示。角标表示应力平行的轴，两角标相同时，只用一个角标表示。（2）面的方位用其法线方向表示）面的方位用其法线方向表示3.截取原始单元体的方法、原则截取原始单元体的方法、原则用三个坐标轴用三个坐标轴(笛卡尔坐标和极坐标，依问题和构件形状笛卡尔坐标和极坐标，依问题和构件形状 而定而定)在一点截取，因其微小，统一看成微小正六面体在一点截取，因其微小，统一看成微小正六面体 单元体各个面上的应力已知或可求；单元体各个面上的应力已知或可求；几种受力情况下
5、截取单元体方法：几种受力情况下截取单元体方法：2.单元体上的应力分量单元体上的应力分量 单元体的边长单元体的边长 dx,dy,dz 均为无穷小量；均为无穷小量；4.单元体的单元体的特点特点 单元体的每一个面上，应力均匀分布；单元体的每一个面上，应力均匀分布；单元体中相互平行的两个面上，应力相同。单元体中相互平行的两个面上，应力相同。dzdxdyXYZO y y z z zy yz yz zy yx yx xy xy x x zx xz zx xz5第5页，本讲稿共103页PPMeMec)同同b)，但从上表面截取，但从上表面截取C b)横截面，周向面，直径面各一对横截面，周向面，直径面各一对Ba
6、)一对横截面，两对纵截面一对横截面，两对纵截面A=P/A=M=Me/WnABPMeMeCB BC C C CA A ACABPd)从从A、B、C三点截取三点截取6第6页，本讲稿共103页5.主应力及应力状态的分类主应力及应力状态的分类 主应力和主平面主应力和主平面切应力全为零时的正应力称为切应力全为零时的正应力称为主应力主应力；主应力所在的平面称为主应力所在的平面称为主平面主平面；主平面的外法线方向称为主平面的外法线方向称为主方向主方向。主应力用主应力用1,2,3 表示表示(1 2 3)。应力状态分类应力状态分类 单向应力状态单向应力状态qlDEBACDACBE 二向应力状态二向应力状态(平面
7、应力状态平面应力状态)三向应力状态三向应力状态(空间应力状态空间应力状态)132123主单元体主单元体7第7页，本讲稿共103页7.2 二向和三向二向和三向应力状态的实例应力状态的实例1 二向应力状态的实例二向应力状态的实例 薄壁圆筒薄壁圆筒端部总压力端部总压力npn D已知：已知：p,D,求求取研究对象如图。取研究对象如图。pnnmmL D CAB8第8页，本讲稿共103页 求求计算计算N力力即：内压力在即：内压力在y方向的投影等于内方向的投影等于内压乘以投影面积。压乘以投影面积。所以所以Lmnmnp pFNFNDyd9第9页，本讲稿共103页可以看出：可以看出：轴向应力轴向应力 是是环向应
8、力环向应力的一半。的一半。对于薄壁圆筒，有：对于薄壁圆筒，有：所以，可以所以，可以忽略忽略内表面受到的内压内表面受到的内压p和外表面受和外表面受到的大气压强，近似作为到的大气压强，近似作为二向应力状态二向应力状态处理。处理。pnnmmL D CAB10第10页，本讲稿共103页2 三向应力状态的实例三向应力状态的实例 滚珠轴承滚珠轴承 3 1 2AA11第11页，本讲稿共103页例例8.1:已知：蒸汽锅炉，已知：蒸汽锅炉，=10mm,D=1m,p=3MPa。解：解：求：三个主应力。求：三个主应力。前面已得到前面已得到pnnmmL D CAB12第12页，本讲稿共103页7.3 二向二向应力状态
9、分析应力状态分析 解析法解析法 二向应力状态的表示二向应力状态的表示 应力状态分析应力状态分析在已知过一点的某些截面上的应力时，在已知过一点的某些截面上的应力时，求出过该点的任一截面上的应力，从而求出过该点的任一截面上的应力，从而求出主应力和主平面。求出主应力和主平面。切应力的下标切应力的下标作用面的法线作用面的法线切应力的方向切应力的方向xyyxxyxxyyyxyxDCBA平面应力状态两向应力状态yxxyxyxxyxyxyyDCBA 正负号规定正负号规定13第13页，本讲稿共103页 切应力切应力使单元体顺时针方向转动使单元体顺时针方向转动为正；反之为负。为正；反之为负。截面的截面的方向角方
10、向角由由x正向正向逆时针逆时针转到截面的转到截面的外法线外法线n的正向的的正向的角为正角为正;反之为负。反之为负。yxxyxxxxyyyyDCBA14第14页，本讲稿共103页计算方向角为计算方向角为的截面上的应力的截面上的应力以单元体的一部分为研究对象。以单元体的一部分为研究对象。由平衡条件由平衡条件yxxyxyxxyxyxyyntDCBAxyxyxyxnt15第15页，本讲稿共103页yxxyxyxxyxyxyyntDCBAxyxyxyxnt16第16页，本讲稿共103页考虑到剪应力互等定理：xy=yx以及利用三角函数关系：xyxyxyxnt17第17页，本讲稿共103页 最大正应力和最小
11、正应力最大正应力和最小正应力令：令：可以看出：当可以看出：当=0 时，时，取极值的正应力为主应力。取极值的正应力为主应力。若若 0 满足上式，则满足上式，则 0+90也满足上式，代入也满足上式，代入公式可得：公式可得：yxxyxyxxyxyxyyntDCBA平面应力状态下的主应力为：平面应力状态下的主应力为：18第18页，本讲稿共103页 正应力的不变量正应力的不变量截面上的正应力为截面上的正应力为:+90 截面上的正应力为截面上的正应力为:任意两个互相垂直的任意两个互相垂直的截面上的截面上的正应力之和正应力之和为为常数常数.19第19页，本讲稿共103页 最大切应力和最小切应力最大切应力和最
12、小切应力令：令：若若 1 满足上式，则满足上式，则 1+90也满足上式，代入也满足上式，代入公式可得：公式可得：yxxyxyxxyxyxyyntDCBA20第20页，本讲稿共103页若若 1 满足上式，则满足上式，则 1+90也满足上式，代入也满足上式，代入公式可得：公式可得：切应力的极值称为切应力的极值称为主切应力主切应力 主切应力所在的平面称为主切应力所在的平面称为主剪平面主剪平面 主剪平面上的正应力主剪平面上的正应力将将 1 和和 1+90 代入公式可得：代入公式可得：即：即：主剪平面上的正应力为主剪平面上的正应力为平均正应力平均正应力。21第21页，本讲稿共103页 主平面主平面与与主
13、剪平面主剪平面的关系的关系由由 0 和和 1 的公式可得：的公式可得：即：即：主平面主平面与与主剪平面主剪平面的夹角为的夹角为45。22第22页，本讲稿共103页75Mpa25Mpa40Mpax 例7.3:图示单元体，试求：主应力并确定主平面的位置。解：解：根据应力的符号规定的规则：将分别代入公式得：23第23页，本讲稿共103页主应力按大小顺序排列为：75Mpa25Mpa40Mpaxx01324第24页，本讲稿共103页例例7.4:已知：已知：圆轴受扭转。圆轴受扭转。求：应力状态及分析铸铁件受扭时的求：应力状态及分析铸铁件受扭时的破坏现象。破坏现象。解：解：最大切应力最大切应力 取单元体取单
14、元体ABCD纯切应力状态纯切应力状态 ABCDx45o-45oTTDCBA 3 3 1 1 1 1 3 3 主应力主应力 主方向主方向或或25第25页，本讲稿共103页 主应力主应力 主方向主方向或或 主应力排序主应力排序 ABCDx45o-45o 3 3 1 1 1 1 3 3圆轴扭转时，横截面为纯剪切应力状态，最大拉、压应力在与轴线圆轴扭转时，横截面为纯剪切应力状态，最大拉、压应力在与轴线成成45o斜截面上，它们数值相斜截面上，它们数值相 等，均等于横截面上的剪应力；等，均等于横截面上的剪应力；对于塑性材料对于塑性材料(如低碳钢如低碳钢)抗剪能力差，扭转破坏时，通常是横截面抗剪能力差，扭转
15、破坏时，通常是横截面上的最大剪应力使圆轴沿横截面剪断上的最大剪应力使圆轴沿横截面剪断对于脆性材料对于脆性材料(如铸铁粉笔如铸铁粉笔)抗拉性能差，扭转破坏时，通常沿与轴抗拉性能差，扭转破坏时，通常沿与轴线成线成45o的螺旋面发生拉断。的螺旋面发生拉断。26第26页，本讲稿共103页例(p256)7.11 如图所示的简支梁由36a工字钢组F=140KN,L=4m。A点所在的截面在集中F的左侧，且无限靠近F力作用的截面，试求：1).A点在指点截面上的应力。2).A的主应力及主平面位置LL/2FA30h/4解：解：1.计算集中F且无限靠近F力作用的截面的左侧的弯矩为：查表：查表：27第27页，本讲稿共
16、103页x=79.75Mpayxx=20.56MPaxxyyA=6028第28页，本讲稿共103页x=79.75Mpayxx=20.56MPaxxyyA=6029第29页，本讲稿共103页30第30页，本讲稿共103页主应力 主平面 主方向角1=13.60 xyxxyyAx13331第31页，本讲稿共103页例例 图示梁，求得图示梁，求得m-m截面上的截面上的k点处的正应力大小点处的正应力大小70MPa,剪应力剪应力大小为大小为50MPa。试确定。试确定k点的主应力及主平面的方位，点的主应力及主平面的方位，并讨论同一并讨论同一横截面上其他点的应力状态。横截面上其他点的应力状态。KqBAlamm
17、MKKQ解：解：1、切取单元体，确定、切取单元体，确定A的应力状态，如图所示。的应力状态，如图所示。2、应力状态分析：、应力状态分析：计算主应力的大小及位置计算主应力的大小及位置32第32页，本讲稿共103页 例：例：试画图示拉弯构件点试画图示拉弯构件点A的单元体，并求的单元体，并求A 点点-60o斜截面上的应力。斜截面上的应力。解解 (1)构件发生构件发生拉扭组合变形，构拉扭组合变形，构件横截面上有拉伸件横截面上有拉伸引起的正应力，和引起的正应力，和扭转引起的剪应力。扭转引起的剪应力。其原始单元体如图其原始单元体如图（c）、）、(d)所示：所示：PPMMd300600APNMTA(b)x x
18、 yA(c)xA33第33页，本讲稿共103页(2)求求A点指定点指定-600斜截面上的应力斜截面上的应力PPMMd300600AxxyA(d)60034第34页，本讲稿共103页(3)求梁的主应力及主平面方位角：求梁的主应力及主平面方位角：(4)画点的主应力单元体如图（画点的主应力单元体如图（e）所示。）所示。33.930(e)A1335第35页，本讲稿共103页例例7.4 已知已知:A点应力点应力=-70MPa,=50MPa。解：解：求：求：A点主应力和主平面，及点主应力和主平面，及其它点的应力状态。其它点的应力状态。A点单元体点单元体 取取x轴如图所示轴如图所示x70Mpa50MpaAq
19、lamm A点的主应力点的主应力mmA36第36页，本讲稿共103页 主应力主应力 主方向角主方向角或或x70Mpa50MpaA37第37页，本讲稿共103页单向拉伸单向拉伸单向压缩单向压缩纯剪切纯剪切 其它几点的应力状态其它几点的应力状态x70Mpa50MpaAmmAqlamm38第38页，本讲稿共103页主拉应力主拉应力1迹线迹线 主应力迹线主应力迹线主压应力主压应力3迹线迹线q 主应力迹线主应力迹线主应力方向线的包络线主应力方向线的包络线 曲线上每一点的切线都指示着该点的主拉应力（或主压应曲线上每一点的切线都指示着该点的主拉应力（或主压应力）方位力）方位39第39页，本讲稿共103页例(
20、p255)7.8：已知矩形截面梁，某截面上的剪力Fs=120 kN及弯矩M=10KN.m。试绘出1、2、3、4点应力状态的单元体，并求出各点的主应力。b=50 mm，h=100 mm。从图中可分析 1、4 点是单向应力状态，2 点在中性轴上为纯剪切应力状态，3点上既有正应力又有切应力。计算各点处主应力 梁截面惯性矩为 1 点处弯曲正应力（压应力）1 点为单向压缩受力状态，所以 10050FsZXy25350421M解：解：140第40页，本讲稿共103页2点的应力计算（纯剪切）241第41页，本讲稿共103页3点的应力计算342第42页，本讲稿共103页500500 x例例(p256)7.15
21、):以绕带焊接成的园管，焊缝为螺旋线，管的内径以绕带焊接成的园管，焊缝为螺旋线，管的内径为为300mm,管的壁厚为管的壁厚为1mm内压为内压为p=0.5Mpa，求沿焊逢斜面上的，求沿焊逢斜面上的正应力和切应力。正应力和切应力。解：解：在焊逢斜面上取一单元体如图：在焊逢斜面上取一单元体如图：轴向应力为：轴向应力为：环向应力为：环向应力为：xy=0焊逢斜面上的正应力和切应力焊逢斜面上的正应力和切应力方向角方向角=40043第43页，本讲稿共103页7.4 二向二向应力状态分析应力状态分析 图解法图解法1 应力圆应力圆(莫尔圆莫尔圆)方程方程由公式由公式平方相加得平方相加得44第44页，本讲稿共10
22、3页这是坐标轴为：这是坐标轴为：、，以以、为变量的为变量的圆的方程圆的方程。园的半径：圆心坐标为：OCR应力园45第45页，本讲稿共103页 应力圆是在以横坐标轴为，纵坐标轴为上画出 应力圆的圆周上的每一个点分别代表着所研究的单元体上某一斜截面上的正应力和切应力 应力圆上的点的纵、横坐标与单元体上的截面的切、正应力，有着一一对应的关系，称为“点面对应点面对应”应力圆的画法步骤：应力圆的画法步骤：1）建立O直角坐标系2）按选定的比例尺，在O坐标系中定出x面上的点D1(x、x)和y面上的点D2(y、y)3）连接两点得到交点，即为应力圆的圆心C2 应力圆的画法应力圆的画法46第46页，本讲稿共103
23、页（y，-y)OntyxxxxxyyyyDCBA具体作法：具体作法：D1D2C（x，x)该圆上的每一点表示单元体上斜面的正应力和切应力如果欲求任意斜截面上的应力只要按斜面的方向从x面转过2倍的角度即可得到该面的应力E2三、主应力和最大切应力三、主应力和最大切应力A1A2maxmaxminG1注意应力圆的A1、A2点和G1点47第47页，本讲稿共103页（y，-y)OD1D2C（x，x)A1A2maxmaxminG1由应力圆的A1点和A2点处切应力为零这两点就是主应力的数值G1点为最大切应力的数值主应力的方向用0表示,它表示从x面的D1点旋转到轴的方向各值为：2048第48页，本讲稿共103页B
24、E a at ta at ta a a at t oD1D2cBE245245 y yBE 单向应力状态的应力圆单向应力状态的应力圆49第49页，本讲稿共103页ot t t tt tD1(0,t t)D2(0,-t t)D2BEc245245 a at t a at tBEl 纯切应力状态的应力圆纯切应力状态的应力圆D150第50页，本讲稿共103页例：例：O 一单元体应力状态如图。已知x=-20MPa，xy=20MPa，y=40MPa，yx=-20MPa。用应力圆求：1）=30斜截面上的应力；2）主应力与主平面的位置3）最大切应力解：解：xxyyyxxyn303030建立O坐标系，选定比例
25、10kNC(-20,20)(40,-20)确定x面上的点D1（-20，20）确定y面上的点D2（40，-20）D1D2过D1、D2作直线得到圆心C点完成应力圆以CD1为起点顺时针旋转60得到E点60EE点的坐标值就是30斜截面上的应力30=-22.3MPa，30=-16MPa求斜截面上的应力求斜截面上的应力51第51页，本讲稿共103页O10kNC(-20,20)(40,-20)D1D260E求求主应力主应力及主平面位置及主平面位置该应力圆上与轴相交的左右点A1和A2即为主应力数值A1A2经测量得到：1=46.1MPa，2=0,3=-26.1MPa20经CD1到CA2（轴）之间的夹角20即是主
26、方向角之一经测量得到：20=A2CD1=33.7 0=16.85 xxyyyxxy1390-00G最大切主应力最大切主应力应力圆的最高点G是切应力最大值所在点经测量得到：max=36.1MPa主应力状态主应力状态133152第52页，本讲稿共103页例例8.5:已知：已知：x=80MPa,y=-40MPa,xy=-60MPa,yx=60MPa。解：解：求：用应力圆求主应力和主方向。求：用应力圆求主应力和主方向。作应力圆作应力圆:由由D1点点(80,-60)由由D2点点(-40,60)画出应力圆画出应力圆t tyxyxt txyxy=-60Mpa=-60Mpa x x=80Mpa=80Mpa y
27、=-40Mpa53第53页，本讲稿共103页 圆心坐标圆心坐标 半径半径t tyxyxt txyxy=-60Mpa=-60Mpa x x=80Mpa=80Mpa y=-40MpaO20kNC(-40,60)(80,-60)D2D120A1A2E54第54页，本讲稿共103页 主平面主平面从从D1点点(x轴轴)逆时针转逆时针转45至至A1点，点，由几何关系由几何关系O20kNC(-40,60)(80,-60)D2D120A1A2Et tyxyxt txyxy x x y0=22.5055第55页，本讲稿共103页7.5 三向三向应力状态应力状态 三向应力状态三向应力状态三个主应力均不为零的应力状
28、态。三个主应力均不为零的应力状态。dzdxdyXYZO y y z z zy yz yz zy yx yx xy xy x x zx xz zx xz56第56页，本讲稿共103页 特例特例至少有一个主应力的大小方向为已知。至少有一个主应力的大小方向为已知。zxyxyyx平面应力平面应力状态即为这种特例之一。状态即为这种特例之一。x x y y yx xy Z Z57第57页，本讲稿共103页 三向应力状态的应力圆三向应力状态的应力圆设三个主应力均已知。设三个主应力均已知。IIIIII 3 2 1I平行于平行于 1的方向面其上之应力与的方向面其上之应力与 1无关，无关，于是由于是由 2、3可作
29、出应力圆可作出应力圆 I平行于平行于 2的方向面其上之应力与的方向面其上之应力与 2无关，无关，于是由于是由 1、3可作出应力圆可作出应力圆 II平行于平行于平行于平行于 3 3的方向面其上之应力与的方向面其上之应力与的方向面其上之应力与的方向面其上之应力与 3 3无无无无关，于是由关，于是由关，于是由关，于是由 1 1、2 2可作出应力圆可作出应力圆可作出应力圆可作出应力圆 IIIIIIII 2 1 33III21321 任一方向面上的任一方向面上的任一方向面上的任一方向面上的应力位于阴影区应力位于阴影区应力位于阴影区应力位于阴影区内。内。内。内。1 1 z 2 3 358第58页，本讲稿共
30、103页 最大切应力最大切应力IIIIII 3 21t t max=在三组特殊方向面在三组特殊方向面中都有各自的中都有各自的面内面内最大切应力最大切应力,即：即：59第59页，本讲稿共103页20030050omax 平面应力状态作为三向应力状态的特例平面应力状态作为三向应力状态的特例平面应力状态作为三向应力状态的特例，应平面应力状态作为三向应力状态的特例，应注意注意：(1)可能是可能是1,也可能是也可能是2或或3.(2)按三个主应力的按三个主应力的代数值代数值排序确定排序确定1,2,3。(3)60第60页，本讲稿共103页7.8 广义胡克定律广义胡克定律 1.单向应力状态下的胡克定律单向应力
31、状态下的胡克定律或或 纯剪切应力状态下的剪切胡克定律纯剪切应力状态下的剪切胡克定律或或 横向变形与泊松比横向变形与泊松比yx61第61页，本讲稿共103页 2.广义胡克定律广义胡克定律 三向应力状态三向应力状态可看作是三组单向应力可看作是三组单向应力状态和三组纯剪切的组状态和三组纯剪切的组合。合。叠加原理叠加原理用叠加原理的用叠加原理的条件条件：(1)各向同性材料；各向同性材料；(2)小变形；小变形；(3)变形在线弹性范围内。变形在线弹性范围内。x方向的线应变方向的线应变 x x引起的部分引起的部分:dzdxdyXYZO y y z z zy yz yz zy yx yx xy xy x x
32、zx xz zx xz62第62页，本讲稿共103页 x方向的线应变方向的线应变 xx引起的部分引起的部分:y引起的部分引起的部分:z引起的部分引起的部分:叠加得：叠加得：dzdxdyXYZO y y z z zy yz yz zy yx yx xy xy x x zx xz zx xz63第63页，本讲稿共103页叠加得：叠加得：同理可得：同理可得：剪应变为：剪应变为：这六个公式即为这六个公式即为广义胡克定律广义胡克定律。64第64页，本讲稿共103页 用用主应力主应力表示的表示的广义胡克定律广义胡克定律从前三式中可解出三个主应力从前三式中可解出三个主应力65第65页，本讲稿共103页从前三
33、式中可解出三个主应力从前三式中可解出三个主应力例(p2597.27)从钢构件内某一点的周围取一部分如图，根据理论计算已经求得=30Mpa，=15Mpa，材料的E=200Gpa=0.30求对角线AC的长度改变量l。解：构件内的切应力对其线应变不产生影响。AC2566第66页，本讲稿共103页AC25对角线AC的长度改变量l67第67页，本讲稿共103页例例：已知已知:受扭圆轴，受扭圆轴，d,E,测得测得 45。求：外加扭矩的值。求：外加扭矩的值。解：解：在测点取单元体在测点取单元体 纯切应力状态纯切应力状态切应力为切应力为要求出要求出45方向的应变，需方向的应变，需先求出先求出 45方向的应力。
34、方向的应力。45方向为主应力方向方向为主应力方向TTDCBA45 ABCD 3 3 1 1 1 1 3 34568第68页，本讲稿共103页切应力为切应力为45方向为主应力方向方向为主应力方向由广义胡克定律由广义胡克定律 测扭矩的方法测扭矩的方法 ABCD 3 3 1 1 1 1 3 34569第69页，本讲稿共103页 3.体积胡克定律体积胡克定律 单元体单元体变形前体积变形前体积变形后体积变形后体积略去高阶微量略去高阶微量单位体积的改变单位体积的改变dxdydz132123(1+2)dy(1+1)dx(1+3)dZ70第70页，本讲稿共103页单位体积的改变：单位体积的改变：体积应变体积应
35、变将广义胡克定律将广义胡克定律代入上式得代入上式得71第71页，本讲稿共103页单位体积的改变单位体积的改变 体积应变体积应变将广义胡克定律代入上式得将广义胡克定律代入上式得又可写成又可写成记记 体积弹性模量体积弹性模量 体积胡克定律体积胡克定律72第72页，本讲稿共103页例例7.9:已知已知:孔孔:d1=50.01mm柱柱:d2=50mm,P=300kN,钢块不变形。钢块不变形。E=200GPa,=0.3。求：圆柱的主应力。求：圆柱的主应力。解：解：柱受到的压应力柱受到的压应力XZYFP/Appppp径向的应变径向的应变由广义胡克定律由广义胡克定律 可得可得圆柱的主应力为：圆柱的主应力为：
36、73第73页，本讲稿共103页7.9 复杂应力状态的变形比能复杂应力状态的变形比能1 单向应力状态下的比能单向应力状态下的比能 功能原理功能原理2 三向应力状态下的比能三向应力状态下的比能 变形能变形能与与加载方式加载方式无关无关为将为将变形能变形能用主应力表示，将广义胡克定律用主应力表示，将广义胡克定律dy321dxdZ74第74页，本讲稿共103页2 三向应力状态下的比能三向应力状态下的比能为将为将变形能变形能用主应力表示，将广义胡克定律用主应力表示，将广义胡克定律代入上式，化简得代入上式，化简得根据7，8的讨论，单元体上的平均应力为：75第75页，本讲稿共103页3 体积改变比能体积改变
37、比能和和形状改变比能形状改变比能体积改变体积改变,形状不变；形状不变；体积不变体积不变,形状改变形状改变因因体积改变体积改变而贮存的变形能而贮存的变形能 体积改变比能体积改变比能因因形状改变形状改变而贮存的变形能而贮存的变形能 形状改变比能形状改变比能+76第76页，本讲稿共103页 体积改变比能：体积改变比能：77第77页，本讲稿共103页 形状改变比能形状改变比能或或78第78页，本讲稿共103页例例8.10：已知已知:纯剪切应力状态。纯剪切应力状态。试导出试导出E,G,之间的关系。之间的关系。解：解：第第3章已求出纯剪切时章已求出纯剪切时 用本节公式求纯剪时的应变能用本节公式求纯剪时的应
38、变能纯剪切时纯剪切时 3 3 1 1 1 1 3 34579第79页，本讲稿共103页强度理论研究材料失效的判据，从而建立强度条件。强度理论研究材料失效的判据，从而建立强度条件。7.10 强度理论概述强度理论概述 不同材料不同材料在在相同的加载相同的加载情况下，破坏情况下，破坏(失效失效)的形式不同。的形式不同。塑性材料：塑性材料：屈服失效。屈服失效。脆性材料：脆性材料：断裂失效。断裂失效。80第80页，本讲稿共103页 相同材料相同材料在在不同的加载不同的加载情况下，破坏情况下，破坏(失效失效)的形式不同。的形式不同。塑性材料：塑性材料：当有深切槽时，发当有深切槽时，发生断裂。生断裂。应力集
39、中导致根部应力集中导致根部出现三向应力状态。出现三向应力状态。81第81页，本讲稿共103页 脆性材料：脆性材料：82第82页，本讲稿共103页 对对单向应力状态单向应力状态和和纯剪切纯剪切通过实验建立强度通过实验建立强度条件条件 对对复杂应力状态复杂应力状态无法通过实验建立强度条件无法通过实验建立强度条件强度理论强度理论 根据部分实验结果，提出的根据部分实验结果，提出的假说假说。从而可根据从而可根据单向应力状态单向应力状态的实验结果，建立的实验结果，建立复杂应力状态复杂应力状态下的强度下的强度条件。条件。p 1 2PP强度理论分为两类：强度理论分为两类：7.11 四种常用的强度理论四种常用的
40、强度理论 适用于断裂失效情况适用于断裂失效情况 适用于屈服失效情况适用于屈服失效情况83第83页，本讲稿共103页1 最大拉应力理论最大拉应力理论(第一强度理论第一强度理论)基本观点基本观点不论是什么应力状态，只要不论是什么应力状态，只要最大拉应力最大拉应力达到材达到材料的某一极限，就发生料的某一极限，就发生脆性断裂脆性断裂。失效准则失效准则 强度条件强度条件 相当应力相当应力 单向拉伸失效时单向拉伸失效时 复杂应力状态时，令复杂应力状态时，令 适用对象适用对象脆性材料受拉，塑性材料受三向拉伸且脆性材料受拉，塑性材料受三向拉伸且 1、2、3 相相近。近。缺点缺点没有考虑没有考虑 2 和和 3
41、的影响，且无法应用于的影响，且无法应用于没有拉应力的情况。没有拉应力的情况。84第84页，本讲稿共103页2 最大伸长线应变理论最大伸长线应变理论(第二强度理论第二强度理论)基本观点基本观点不论是什么应力状态，只要不论是什么应力状态，只要最大伸长线应变最大伸长线应变达达到材料的某一极限，就发生到材料的某一极限，就发生脆性断裂脆性断裂。失效准则失效准则 单向拉伸失效时单向拉伸失效时 复杂应力状态时令复杂应力状态时令 适用对象适用对象脆性材料受压。脆性材料受压。强度条件强度条件 相当应力相当应力 缺点缺点对脆性材料受拉与试验符合不好。对脆性材料受拉与试验符合不好。85第85页，本讲稿共103页3
42、最大切应力理论最大切应力理论(第三强度理论第三强度理论)基本观点基本观点不论是什么应力状态，只要不论是什么应力状态，只要最大切应力最大切应力达到材达到材料的某一极限，就发生料的某一极限，就发生塑性屈服塑性屈服。失效准则失效准则 单向拉伸失效时单向拉伸失效时 复杂应力状态时复杂应力状态时 强度条件强度条件 适用对象适用对象塑性材料的一般受力状态。塑性材料的一般受力状态。缺点缺点偏于安全；没有考虑偏于安全；没有考虑 2 的影响。的影响。86第86页，本讲稿共103页4 形状改变比能理论形状改变比能理论(第四强度理论第四强度理论)基本观点基本观点不论是什么应力状态，只要不论是什么应力状态，只要形状改
43、变比能形状改变比能达到达到材料的某一极限，就发生材料的某一极限，就发生塑性屈服塑性屈服。失效准则失效准则 单向拉伸失效时单向拉伸失效时代入上式得代入上式得87第87页，本讲稿共103页 复杂应力状态时复杂应力状态时令上式在复杂应力状态时成立，得令上式在复杂应力状态时成立，得 强度条件强度条件 相当应力相当应力 适用对象适用对象塑性材料的一般受力状态。塑性材料的一般受力状态。缺点缺点计算计算相当应力相当应力较麻烦。较麻烦。88第88页，本讲稿共103页5 小结小结 强度条件可统一写为强度条件可统一写为 第一强度理论和第二强度理论适用于第一强度理论和第二强度理论适用于脆性脆性材料材料.脆性材料受脆
44、性材料受拉拉 第三强度理论和第四强度理论适用于第三强度理论和第四强度理论适用于塑性塑性材料材料.脆性材料受脆性材料受压压89第89页，本讲稿共103页 但是，无论是塑性材料还是脆性材料，在三向拉应力但是，无论是塑性材料还是脆性材料，在三向拉应力接近相等状态下，都以断裂形式破坏，宜采用最大拉应力接近相等状态下，都以断裂形式破坏，宜采用最大拉应力理论；在三向压应力接近相等状态下，都引起塑性变形，理论；在三向压应力接近相等状态下，都引起塑性变形，宜采用第三、第四强度理论。宜采用第三、第四强度理论。复杂应力状态下构件的强度条件的另一种形式复杂应力状态下构件的强度条件的另一种形式复杂应力状态下构件的强度
45、条件的另一种形式复杂应力状态下构件的强度条件的另一种形式式中：式中：n-构件的工作安全系数；构件的工作安全系数；n-构件的许用安全系数；构件的许用安全系数；0-材料的材料的极限应力；极限应力；r-相当应力；相当应力；90第90页，本讲稿共103页（1）通过受力分析确定构件的外力、内力、危险截面。）通过受力分析确定构件的外力、内力、危险截面。（2）通过应力分析确定危险截面上的危险点。）通过应力分析确定危险截面上的危险点。（3）从构件的危险点处截取单元体，计算主应力。）从构件的危险点处截取单元体，计算主应力。（4）选用适当的强度理论计算相当应力）选用适当的强度理论计算相当应力 r。（5）确定材料的
46、许用拉应力）确定材料的许用拉应力 ，将其与，将其与 r比较。比较。3、应用强度理论的解题步骤、应用强度理论的解题步骤91第91页，本讲稿共103页6 几种常见应力状态的相当应力几种常见应力状态的相当应力(1)单向拉伸单向拉伸 即：在单向拉伸应力状态下，各即：在单向拉伸应力状态下，各相当应力相当应力相同。相同。92第92页，本讲稿共103页(2)纯剪切纯剪切 这就是书例这就是书例7.12的主要内容。的主要内容。93第93页，本讲稿共103页(3)弯曲时一般位置处的应力状态弯曲时一般位置处的应力状态 94第94页，本讲稿共103页95第95页，本讲稿共103页4 4、强度理论的应用举例、强度理论的
47、应用举例、强度理论的应用举例、强度理论的应用举例薄壁容器的强度计算薄壁容器的强度计算由横向截面上的静力由横向截面上的静力平衡条件平衡条件由纵向截面上的静力平衡条件由纵向截面上的静力平衡条件pnnmmL 1 2 2 1D CAB96第96页，本讲稿共103页因薄壁圆筒常用塑性材料制成，所以宜采用第三或第四强度理论因薄壁圆筒常用塑性材料制成，所以宜采用第三或第四强度理论因薄壁圆筒常用塑性材料制成，所以宜采用第三或第四强度理论因薄壁圆筒常用塑性材料制成，所以宜采用第三或第四强度理论97第97页，本讲稿共103页例：例：某转轴边缘上某点的应力状态如图所示。试用第三和第四强度理论建立其强度条件解：解：1
48、）首先求出主应力x=x=y=0所以第三强度理论建立的强度条件：第四强度理论建立的强度条件：98第98页，本讲稿共103页先计算先计算先计算先计算 oxy oxy 平面内的主应力，然后平面内的主应力，然后平面内的主应力，然后平面内的主应力，然后计算工作安全系数计算工作安全系数计算工作安全系数计算工作安全系数例例例例 从某构件的危险点处取出一单元体如图所示，已知钢材的屈服从某构件的危险点处取出一单元体如图所示，已知钢材的屈服点点 s=280MPa.试按第三强度条件和第四强度条件计算构件的工作试按第三强度条件和第四强度条件计算构件的工作安全系数。安全系数。（1 1）求主应力）求主应力）求主应力）求主
49、应力 100 MPa 40 MPa 140 MPa1=140Mpa2=114Mpa3=-14Mpa解：解：99第99页，本讲稿共103页（2 2）计算工作安全系数）计算工作安全系数）计算工作安全系数）计算工作安全系数通过计算可知，按最大剪应力理论比按形状改变比能理论所得通过计算可知，按最大剪应力理论比按形状改变比能理论所得通过计算可知，按最大剪应力理论比按形状改变比能理论所得通过计算可知，按最大剪应力理论比按形状改变比能理论所得的工作安全系数要小些。因此，所得的截面尺寸也要大一些。的工作安全系数要小些。因此，所得的截面尺寸也要大一些。的工作安全系数要小些。因此，所得的截面尺寸也要大一些。的工作
50、安全系数要小些。因此，所得的截面尺寸也要大一些。100第100页，本讲稿共103页例例(p256)7.14 求图示单元体的主应力及主平面的位置求图示单元体的主应力及主平面的位置(单位：单位：MPa)解：解：(3)(3)AB的垂直平分线与的垂直平分线与 a a 轴的交点轴的交点 C 即即是圆心，是圆心，以以 C 为圆心，以为圆心，以 AC为为 半径画圆半径画圆 应力圆应力圆(2)(2)在在坐标系内画出点坐标系内画出点 3(MPa)1 2BAC a at ta a(MPa)O20MPa(1)应力坐标系如图应力坐标系如图1500101第101页，本讲稿共103页(4)(4)按按图计算图计算 心标心标