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1、第一节重积分的概念及其性质第1页，本讲稿共37页重积分重积分三、二重积分的性质三、二重积分的性质 第一节一、引例一、引例 二、二重积分的定义与可积性二、二重积分的定义与可积性 四、曲顶柱体体积的计算四、曲顶柱体体积的计算 二重积分的概念与性质 第十章第十章 第2页，本讲稿共37页重积分重积分解法解法:类似定积分解决问题的思想类似定积分解决问题的思想:一、引例一、引例1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体给定曲顶柱体:底：底：xoy 面上的闭区域面上的闭区域 D顶顶:连续曲面连续曲面侧面：侧面：以以 D 的边界为准线的边界为准线,母线平行于母线平行于 z 轴的柱面轴的柱面求其体积求其体积
2、.“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,求求 极限极限”第3页，本讲稿共37页重积分重积分1)“大化小大化小”用用任意任意曲线网分曲线网分D为为 n 个区域个区域以它们为底把曲顶柱体分为以它们为底把曲顶柱体分为 n 个个2)“常代变常代变”在每个在每个3)3)“近似和近似和”则则中中任取任取一点一点小曲顶柱体小曲顶柱体第4页，本讲稿共37页重积分重积分4)4)“取极限取极限”令令第5页，本讲稿共37页重积分重积分2.平面薄片的质量平面薄片的质量 有一个平面薄片有一个平面薄片,在在 xoy 平面上占有区域平面上占有区域 D,计算该薄片的质量计算该薄片的质量 M.度为度为设设D 的面积为的面
3、积为 ,则则若若非常数非常数,仍可用仍可用其面密其面密“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,求求 极限极限”解决解决.1)“大化小大化小”用用任意任意曲线网分曲线网分D 为为 n 个小区域个小区域相应把薄片也分为小区域相应把薄片也分为小区域.第6页，本讲稿共37页重积分重积分2)“常代变常代变”中中任取任取一点一点3)“近似和近似和”4)“取极限取极限”则第则第 k 小块的质量小块的质量第7页，本讲稿共37页重积分重积分两个问题的两个问题的共性共性：(1)解决问题的步骤相同解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同所求量的结构式相同“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,取极限取极限
4、”曲顶柱体体积曲顶柱体体积:平面薄片的质量平面薄片的质量:第8页，本讲稿共37页重积分重积分二、二重积分的定义及可积性二、二重积分的定义及可积性定义定义:将区域将区域 D 任意任意分成分成 n 个小区域个小区域任取任取一点一点若存在一个常数若存在一个常数 I,使使可积可积,在在D上的上的二重积分二重积分.积分和积分和积分域积分域被积函数被积函数积分表达式积分表达式面积元素面积元素记作记作是定义在有界区域是定义在有界区域 D上的有界函数上的有界函数,第9页，本讲稿共37页重积分重积分引例引例1中曲顶柱体体积中曲顶柱体体积:引例引例2中平面薄板的质量中平面薄板的质量:如果如果 在在D上可积上可积,
5、也常也常二重积分记作二重积分记作分区域分区域D,因此面积元素因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划可用平行坐标轴的直线来划 记作记作这时这时第10页，本讲稿共37页重积分重积分定理定理1.二重积分存在定理二重积分存在定理:若函数若函数定理定理2.(证明略)在在D上可积上可积.限个点或有限条光滑曲线外都连续限个点或有限条光滑曲线外都连续,积积.在有界闭区域在有界闭区域 D上连续上连续,则则若有界函数若有界函数在有界闭区域在有界闭区域 D 上除去有上除去有 例如例如,在在D:上二重积分存在上二重积分存在;在在D 上上 二重积分不存在二重积分不存在.第11页，本讲稿共37页重积分重积分三、二重积分的性
6、质三、二重积分的性质(k 为常数为常数)为为D 的面积的面积,则则 第12页，本讲稿共37页重积分重积分特别特别,由于由于则则5.若在若在D上上6.设设D 的面积为的面积为 ,则有则有第13页，本讲稿共37页重积分重积分7.(二重积分的中值定理二重积分的中值定理)证证:由性质由性质6 可知可知,由连续函数介值定理由连续函数介值定理,至少有一点至少有一点在闭区域在闭区域D上上 为为D 的面积的面积,则至少存在一点则至少存在一点使使使使连续连续,因此因此第14页，本讲稿共37页重积分重积分8.设函数设函数D 位于位于 x 轴上方的部分为轴上方的部分为D1,当区域关于当区域关于 y 轴对称轴对称,函
7、数关于变量函数关于变量 x 有奇偶性时有奇偶性时,仍仍在在 D 上上在闭区域上连续在闭区域上连续,域域D 关于关于x 轴对称轴对称,则则则则有类似结果有类似结果.在第一象限部分在第一象限部分,则有则有第15页，本讲稿共37页重积分重积分例例1.比较下列积分的大小比较下列积分的大小:其中其中解解:积分域积分域 D 的边界为圆周的边界为圆周它与它与 x 轴交于点轴交于点(1,0),而域而域 D 位位从而从而于直线的上方于直线的上方,故在故在 D 上上 第16页，本讲稿共37页重积分重积分例例2.判断积分判断积分的正负号的正负号.解解:分积分域为分积分域为则则原式原式=猜想结果为负猜想结果为负 但不
8、好估计但不好估计.舍去此项舍去此项第17页，本讲稿共37页重积分重积分例例3.估计下列积分之值估计下列积分之值解解:D 的面积为的面积为由于由于积分性质积分性质5即即:1.96 I 2D第18页，本讲稿共37页重积分重积分解解第19页，本讲稿共37页重积分重积分解解第20页，本讲稿共37页重积分重积分解解第21页，本讲稿共37页重积分重积分解解第22页，本讲稿共37页重积分重积分设曲顶柱的底为设曲顶柱的底为任取任取平面平面故曲顶柱体体积为故曲顶柱体体积为截面积为截面积为截柱体的截柱体的四、曲顶柱体体积的计算四、曲顶柱体体积的计算第23页，本讲稿共37页重积分重积分同样同样,曲顶柱的底为曲顶柱的
9、底为则其体积可按如下两次积分计算则其体积可按如下两次积分计算第24页，本讲稿共37页重积分重积分解解:设两个直圆柱方程为设两个直圆柱方程为利用对称性利用对称性,考虑第一卦限部分考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为其曲顶柱体的顶为则所求体积为则所求体积为例例1.求两个底圆半径为求两个底圆半径为R 的直交圆柱面所围的体积的直交圆柱面所围的体积.第25页，本讲稿共37页重积分重积分内容小结内容小结1.二重积分的定义二重积分的定义2.二重积分的性质二重积分的性质(与定积分性质相似与定积分性质相似)3.曲顶柱体体积的计算曲顶柱体体积的计算二次积分法二次积分法第26页，本讲稿共37页重积分重积分被积函数被积
10、函数相同相同,且且非负非负,思考与练习思考与练习解解:由它们的积分域范围可知由它们的积分域范围可知1.比较下列积分值的大小关系比较下列积分值的大小关系:第27页，本讲稿共37页重积分重积分的大小顺序为的大小顺序为()提示提示:因因 0 y 1,故故故在故在D上有上有2.设设D 是第二象限的一个有界闭域，且是第二象限的一个有界闭域，且 0 y 1，则则第28页，本讲稿共37页重积分重积分解解:3.计算计算第29页，本讲稿共37页重积分重积分其中其中D 为为解解:利用题中利用题中 x,y 位置的对称性位置的对称性,有有又又 D 的面积为的面积为 1,故结论成立故结论成立.4.证明证明:第30页，本
11、讲稿共37页重积分重积分例例5 5 计算计算其中其中为圆心在坐标原点，半径为为圆心在坐标原点，半径为 的圆所围成的的圆所围成的园盘区域。园盘区域。解解 由于被积函数由于被积函数 在园盘在园盘 D 上连上连续，续，D D 的面积为的面积为 。由二重积分的积分中值定理。由二重积分的积分中值定理知，在知，在 D D 内存在点内存在点 使使当当 时时于是，所求的极限为于是，所求的极限为第31页，本讲稿共37页重积分重积分其中其中则则(2005考研（三）4分)例例6 设设第32页，本讲稿共37页重积分重积分如图，正方形如图，正方形被其对角线划分为四个区域被其对角线划分为四个区域则则(A);(B);(C);(D)A2009考研一考研一 第33页，本讲稿共37页重积分重积分设区域设区域为为上的正值连续函数，为常数，则上的正值连续函数，为常数，则(A);(B);(C);(D)D2005考研（二）考研（二）第34页，本讲稿共37页重积分重积分练练 习习 题题第35页，本讲稿共37页重积分重积分第36页，本讲稿共37页重积分重积分练习题答案练习题答案第37页，本讲稿共37页