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1、第一节不定积分的第一节不定积分的概念及其线性性质概念及其线性性质现在学习的是第1页，共32页原函数存在定理：原函数存在定理：简言之：简言之：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数.问题：问题：(1)原函数是否唯一？原函数是否唯一？例例（为任意常数）为任意常数）(2)若不唯一它们之间有什么联系？若不唯一它们之间有什么联系？现在学习的是第2页，共32页关于原函数的说明：关于原函数的说明：（1）若）若F(x)是是 f(x)的一个原函数的一个原函数,则对于任意常数则对于任意常数 C，（2）若）若 和和 都是都是 的原函数，的原函数，则则（为任意常数）为任意常数）证证（为任意常数）为任意常数）现在学习
2、的是第3页，共32页任任意意常常数数积积分分号号被被积积函函数数不定积分的定义：不定积分的定义：被被积积表表达达式式积积分分变变量量若若 是是 在区间在区间 I 内的一个原函数，则内的一个原函数，则现在学习的是第4页，共32页例例1 1 求求解解解解例例2 2 求求现在学习的是第5页，共32页例例3 3 设曲线通过点（设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解解设曲线方程为设曲线方程为根据题意知根据题意知由曲线通过点（由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为所求曲线方程为现在学习的是第6页，共
3、32页显然，求不定积分得到一积分曲线族显然，求不定积分得到一积分曲线族.由不定积分的定义，可知由不定积分的定义，可知结论：结论：微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是互逆互逆互逆互逆的的.现在学习的是第7页，共32页实例实例启示启示能否根据求导公式得出积分公式？能否根据求导公式得出积分公式？结论结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式以根据求导公式得出积分公式.二、二、基本积分表基本积分表现在学习的是第8页，共32页基基本本积积分分表表(1(1)是常数是常数);说明：说明：现在学习的是第9页，共32页现在学习的
4、是第10页，共32页现在学习的是第11页，共32页例例4 4 求积分求积分解解根据积分公式（根据积分公式（2）现在学习的是第12页，共32页证证等式成立等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）三、三、不定积分的性质不定积分的性质现在学习的是第13页，共32页例例5 5 求积分求积分解解现在学习的是第14页，共32页解解:原式原式 例例6.求求现在学习的是第15页，共32页解解:原式原式=例例8.求求解解:原式原式=例例7.求求现在学习的是第16页，共32页例例9 9 求积分求积分解解现在学习的是第17页，共32页解解:原式原式=例例10.求求现
5、在学习的是第18页，共32页例例1111 求积分求积分解解说明：说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表形，才能使用基本积分表.现在学习的是第19页，共32页解解所求曲线方程为所求曲线方程为现在学习的是第20页，共32页1.不定积分的概念不定积分的概念 原函数与不定积分的定义原函数与不定积分的定义 不定积分的性质不定积分的性质 基本积分表基本积分表 2.直接积分法直接积分法:利用利用恒等变形恒等变形,及及 基本积分公式基本积分公式进行积分进行积分.常用恒等变形方法常用恒等变形方法分项积分分项积分加项减项加项减项利用三角公式利用三角公式
6、,代数公式代数公式,积分性质积分性质内容小结内容小结现在学习的是第21页，共32页1.证明证明 2.若若提示提示:思考与练习思考与练习现在学习的是第22页，共32页是是的原函数的原函数,则则提示提示:已知已知3.若若现在学习的是第23页，共32页的导函数为的导函数为则则的一个原函数的一个原函数是是().提示提示:已知已知求求即即B?或由题意或由题意其原函数为其原函数为4.若若现在学习的是第24页，共32页提示提示:5.求下列积分求下列积分:现在学习的是第25页，共32页解：解：6.求不定积分求不定积分现在学习的是第26页，共32页求求 A,B.解解:等式两边对等式两边对 x 求导求导,得得7.已知已知现在学习的是第27页，共32页练习题练习题现在学习的是第28页，共32页现在学习的是第29页，共32页现在学习的是第30页，共32页练习题答案练习题答案现在学习的是第31页，共32页现在学习的是第32页，共32页