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1、复习不等式证明的常用方法:比较法、综合法、分析法第1页/共19页 反证法：反证法：假设命题结论的反面成立，经过正确的假设命题结论的反面成立，经过正确的推理推理,引出矛盾，因此说明假设错误引出矛盾，因此说明假设错误,从而从而证明原命题成立证明原命题成立,这样的的证明方法叫反这样的的证明方法叫反证法。证法。反证法的思维方法：反证法的思维方法：正难则反正难则反第2页/共19页反证法的基本步骤：反证法的基本步骤：（1 1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成-立；立；（2 2）从这个）从这个假设出发假设出发，经过推理论证，得出，经过推理论证，得出矛盾矛盾；（3
2、 3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结 -论正确论正确归缪矛盾：归缪矛盾：（1 1）与已知条件矛盾；）与已知条件矛盾；（2 2）与已有公理、定理、定义矛盾；）与已有公理、定理、定义矛盾；（3 3）自相矛盾。）自相矛盾。第3页/共19页应用反证法的情形：应用反证法的情形：(1)(1)直接证明困难直接证明困难;(2)(2)需分成很多类进行讨论需分成很多类进行讨论（3)3)结论为结论为“至少至少”、“至多至多”、“有无穷多有无穷多个个”-类命题；类命题；（4 4）结论为结论为 “唯一唯一”类命题；类命题；第4页/共19页例：用反证法证明：例：用反证法证明
3、：如果如果ab0ab0，那么，那么第5页/共19页第6页/共19页例题例2、已知a+b+c 0，ab+bc+ca 0，abc 0，求证：a,b,c 0 证：设a 0,bc 0,则b+c a 0 ab+bc+ca=a(b+c)+bc 0矛盾，必有a 0 同理可证：b 0,c 0第7页/共19页例3、设0 a,b,c 又0 a,b,c 1/4,(1 b)c1/4,(1 c)a1/4,第8页/共19页 在证明不等式过程中，有时为了证明的需要，可对有关式子适当进行放大或缩小，实现证明。例如：要证bc,只须寻找b1使ba,只须寻找b2使bb2且b2a(缩小)这种证明方法,我们称之为放缩法。放缩法的依据就
4、是传递性。放缩法放缩法第9页/共19页例1、若a,b,c,d R+，求证：证：记m=a,b,c,d R+1 m 2 即原式成立第10页/共19页第11页/共19页 法：证明：在时，显然成立.当时，左边 第12页/共19页法：法：法：函数的方法法：函数的方法第13页/共19页第14页/共19页例例4、巳知：、巳知：a、b、c，求证：，求证：略略解解第15页/共19页小结 在证明不等式过程中，有时为了证明的需要，可对有关式子适当进行放大或缩小，实现证明。例如：要证bc,只须寻找b1使ba,只须寻找b2使bb2且b2a(缩小)这种证明方法,我们称之为放缩法。放缩法的依据就是定理2（传递性性质）第16页/共19页课堂练习 1、当 n 2 时，求证：证：n 2 n 2时,第17页/共19页课堂小结 证明不等式的特殊方法:（1）放缩法：对不等式中的有关式子进行 适当的放缩实现证明的方法。（2）反证法：先假设结论的否命题成立，再寻求矛盾，推翻假设，从而证明结 论成立的方法。第18页/共19页感谢您的欣赏第19页/共19页