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1、第第4章章 数学的巧妙应用数学的巧妙应用 应用数学解决一些简单问题应用数学解决一些简单问题,初步偿试怎初步偿试怎样把数学应用于解决问题的过程中样把数学应用于解决问题的过程中,通过这些通过这些问题展示数学的奇妙作用问题展示数学的奇妙作用,体会将数学用来解体会将数学用来解决各类实际问题时如何培养和发挥创造性思维决各类实际问题时如何培养和发挥创造性思维能力能力,经常性地联想和经常性地联想和 积累积累,开拓思路开拓思路,更好和更灵活地应用数学去更好和更灵活地应用数学去解决问题。解决问题。1.1.棋子颜色的变化棋子颜色的变化任意拿出黑白两种颜色的棋子共八个,排成如图41所示的一个圆圈.然后在两颗颜色相同
2、的棋子中间放一颗黑色棋子,在两颗颜色不同的棋子中间放一颗白色棋子,放完后撤掉原来所放的棋子.再重复以上的过程,这样放下一圈后就拿走前次的一圈棋子,问这样重复进行下去各棋子的颜色会怎样变化呢?方法1:穷举法方法2:杨辉三角形法分析:放棋子规则:黑黑得黑,白白得黑,黑白得白。有理数乘法:正正得正,负负得正,正负得负。二进制加法:设黑子用+1表示,白子用-1表示。记8颗分别为a1,a2,a8,(ai=+1,-1)第0次:a1a2a2a3a4a5a6a7a8第1次:a1a2a2a3a3a4a7a8a8a1第2次:a1a22a3a2a32a4a8a12a2.第8次:a1a28a328a456a570a6
3、56a728a88a1,问题的推广:对任意 n 颗棋子进行讨论。结论:至多经过8次变换,棋子的颜色全变黑。2.椅子的稳定性4条腿长度相等的椅子放在起伏不平的地面上,问4条腿能否同时着地而放稳?分析:“起伏不平”:地面连续变化.“放稳”:4条腿能否同时着地。将其转化为两对腿是否能同时着地?总有一对腿能同时着地,另一对腿是否也能着地?任意三点共面,三条腿可以同时着地,关键在第四条腿是否也能着地?建立如图所示的坐标系AABBCCDDx令f(x)是AC腿到地面的距离之和g(x)是BD腿到地面的距离之和则f(x)g(x)=0.须证明f(x)-g(x)=0对某一个x成立。h(x)=f(x)-g(x)连续变
4、化1.若f(0)-g(0)=0,则此时椅子已经放稳;2.若f(0)-g(0)0,则此时椅子未放稳.将椅子转动90度,由f(x)和g(x)的定义知,f(90)=g(0),g(90)=f(0)故f(90)-g(90)0。由h(x)=f(x)-g(x)的连续性,在0与90之间必有一个x,使得f(x)-g(x)=0。即此时椅子能放稳。3.若f(0)-g(0)0,可进行类似处理。3.3.七桥问题七桥问题 18世纪,普鲁士哥尼斯堡镇上有一个小岛,岛旁流过一条河的两条支流,如图,七座桥跨在河的两支流上.问一个人能否经过每座桥一次且恰好经过每座桥一次并且最后回到原出发点?抓住问题关键:将七桥图转化为下图:此问
5、题引出一个重要数学分支:图论欧拉解决七桥问题是先考虑一般化问题:如果给定任意一个河道图与任意多座桥,可否判断 每座桥能否恰好走过一次呢?这归结为一笔画问题 考察一笔画的结构特征,有个起点和终点(若起点和终点重合时即为欧拉图).除起点与终点处,一笔画中出现在交点处的边总是一进一出的,故交点的度数总和为偶数,由此欧拉给出一般结论:(1)连接奇数个桥的陆地仅有一个或超过两个以上,不能实现一笔画.(2)连接奇数个桥的陆地仅有两个时,则从两者任一陆地出发,可以实现一笔画而停在另一陆 地.(3)每个陆地都连接有偶数个桥时,则从任一陆地出发都能实现一笔画,而回到出发点.4最短路径问题最短路径问题设有一个半径
6、为设有一个半径为 r 的圆形湖,圆心为的圆形湖,圆心为 O。A、B 位于湖的两侧,位于湖的两侧,AB连线过连线过O,见图。,见图。现拟从现拟从A点步行到点步行到B点,在不得进入湖中的限点,在不得进入湖中的限 制下,问怎样的路径最近制下,问怎样的路径最近?ABOrABOrEFEF 将湖想象成凸出地面的木桩,将湖想象成凸出地面的木桩,在在AB间拉一根软间拉一根软线,当线被拉紧时将得到最短路径。根据这样的想象,线,当线被拉紧时将得到最短路径。根据这样的想象,猜测猜测 可以如下得到最短路径:可以如下得到最短路径:过过A作圆的切线切圆于作圆的切线切圆于E,过,过B作圆的切线切圆作圆的切线切圆 于于F。最
7、短路径为由线。最短路径为由线 段段AE、弧、弧EF和线段和线段FB连接而成连接而成的连续曲线(根据对称性,的连续曲线(根据对称性,AE,弧弧EF,FB连接而连接而成的连续曲线也是)。成的连续曲线也是)。以上只是一种猜测,现在来证明这一猜测是正确的。为此,以上只是一种猜测,现在来证明这一猜测是正确的。为此,先介绍一下凸集与凸集的性质。先介绍一下凸集与凸集的性质。定义定义2.1(凸集凸集)称集合)称集合 R为凸集,若为凸集,若x1、x2R及及0,1,总有总有x1+(1+)x2R。即若。即若x1、x2R,则,则x1、x2的连线必整个地落的连线必整个地落 在在R中。中。定理定理2.2(分离定理分离定理
8、)对平面中的凸)对平面中的凸 集集R与与R外的一点外的一点K,存在直线存在直线 l,l 分离分离R与与K,即,即R与与K分别位于分别位于 l 的两侧(注:的两侧(注:对一般的凸对一般的凸 集集R与与R外的一点外的一点K,则存在超平面分,则存在超平面分 离离R与与K),见图。),见图。klR下面证明猜想下面证明猜想猜测证明如下:猜测证明如下:(方法一)(方法一)显然,显然,由由AE、EF、FB及及AE,EF,FB围成围成的区域的区域 R是一凸集。利用是一凸集。利用分离定理分离定理易证最短径不可能经过易证最短径不可能经过R外的点,若不然,设外的点,若不然,设 为最短路径,为最短路径,过过R外的一点
9、外的一点M,则,则必存在直必存在直 线线l分离分离M与与R,由于路径,由于路径是连续曲线,由是连续曲线,由A沿沿到到M,必交,必交l于于M1,由,由M沿沿到到B又必交又必交l于于M2。这样,直线。这样,直线 段段M1M2的长度必小于路的长度必小于路 径径M1MM2的长度,与的长度,与是是A到到B的的最短路径矛盾,至此,我们已证明最短路径必在凸集最短路径矛盾,至此,我们已证明最短路径必在凸集R内。内。不妨设路径经湖的上方到达不妨设路径经湖的上方到达B点,则弧点,则弧EF必在路径必在路径F上,又上,又直线段直线段AE是由是由A至至E的最短路径,直线的最短路径,直线FB是由是由F到到B的最短的最短路
10、径,猜测得证。路径,猜测得证。ABOrEFEFM1M2Ml还可用还可用微积分微积分方法求弧长,根据计算证方法求弧长,根据计算证明满足限止条件的其他连续曲线必具有明满足限止条件的其他连续曲线必具有更大的长度;此外,本猜测也可用更大的长度;此外,本猜测也可用平面平面几何几何知识加以证明等。知识加以证明等。根据猜测不难看出,根据猜测不难看出,本例中的条件可以大大本例中的条件可以大大放松,可以不必放松,可以不必 设设AB过圆心,甚至可不必设过圆心,甚至可不必设湖是圆形的。例如对湖是圆形的。例如对 下图,我们可断定由下图,我们可断定由A至至B的最短路径必的最短路径必 为为l1与与l2之一,其证明也不之一
11、,其证明也不难类似给出。难类似给出。ABl1l2D到此为止,我们的研讨还只局限于平面之中,到此为止,我们的研讨还只局限于平面之中,其实上述猜测可十分自然地推广到一般空间其实上述猜测可十分自然地推广到一般空间中去。中去。1973年,证明了以上结果:年,证明了以上结果:若可行区域的边界是光滑曲面。则最短路径必由下列弧组若可行区域的边界是光滑曲面。则最短路径必由下列弧组成,它们或者是空间中的自然最短曲线,或者是可行区域成,它们或者是空间中的自然最短曲线,或者是可行区域的边界弧。而且,组成最短路径的各段弧在连接点处必定的边界弧。而且,组成最短路径的各段弧在连接点处必定相切。相切。5.5.夫妻过河问题夫
12、妻过河问题有3对夫妻要过河,船至多可载2人,条件是任一女子不能在其丈夫不在场的情况下与另外的男子在一起,问如何安排这3对夫妻过河?与此相关的问题:人、狼、羊、菜渡河问题与此相关的问题:人、狼、羊、菜渡河问题一个摆渡人希望用一条小船把一只狼,一头羊和一篮白菜从一条河的左岸渡到右岸去,而船小只能容纳人、狼、羊、菜中的两个,决不能在无人看守的情况下,留下狼和羊在一起,羊和白菜在一起,应怎样渡河才能将狼、羊、白菜都运过去?用向量(H,W)表示有H个男子和W个女子。0H、W3.状态向量(m,n):左岸的男、女数。可取状态可取状态:一共有10个,它们是:(0,i),(i,i),(3,i),i=0,1,2,
13、3其中(i,i)表示i对夫妻.运载向量(m,n):乘船的男、女数。可取运载可取运载:(-1)k(m,n)其中:0 m+n 2,k=1,2,运算:运算:可取状态与可取运载的向量加法。于是问题归结为:由初始状态(3,3)经多少次(奇数次)可取运算才能转化为状态(0,0).经11次可取运算即可完成:可以用图解法比较方便地解出.在HW平面坐标系中,以“”表可取状态。从A(3,3)经奇数次转移到达O(0,0),其转移规则为:1)第奇数次转移时需向左或下移动2格,而落在一个可取状态上.2)第偶数次转移时需向右或上移动1至2格而落在一个可取状态上.用实线表示第奇数次转移,用虚线表示第偶数次转移,图46给出了一种可实现的转移过程.作业作业棋子颜色的变化棋子颜色的变化任意拿出黑白两种颜色的棋子共n个,排成一个圆圈.然后在两颗颜色相同的棋子中间放一颗黑色棋子,在两颗颜色不同的棋子中间放一颗白色棋子,放完后撤掉原来所放的棋子.再重复以上的过程,这样放下一圈后就拿走前次的一圈棋子,问这样重复进行下去各棋子的颜色会怎样变化呢?