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1、会计学1线性代数实践线性代数实践(教师班第教师班第8讲讲二维向量张成的空间二维向量张成的空间n n平面上的任何一点平面上的任何一点 w w1 1;w;w2 2 是不是一定能用是不是一定能用u u和和v v的线性组合来实现？即是不是的线性组合来实现？即是不是一定能找到一组常数一定能找到一组常数 c c1 1,c,c2 2，使得使得n nc c1 1,c,c2 2取所有可能的值，得到的取所有可能的值，得到的w w的集合就是的集合就是u u和和v v张成的子空间，在所给的张成的子空间，在所给的u u和和v v下，它是一个平面。下，它是一个平面。n n若若u u和和v v两个向量的各元素成简单的比例关
2、系，合成的向量只能在一根直线上，两个向量的各元素成简单的比例关系，合成的向量只能在一根直线上，不可能张成整个二维平面。这种情况下，称这两个向量不可能张成整个二维平面。这种情况下，称这两个向量u u和和v v是线性相关的。是线性相关的。第1页/共42页2三维空间中的向量三维空间中的向量 n n若若v v1 1,v,v2 2和和v v3 3都是三维空间的列向量。可以用空间都是三维空间的列向量。可以用空间坐标中的三个点，或从坐标原点引向这三点的箭坐标中的三个点，或从坐标原点引向这三点的箭头来表示。用矩阵代数表示如下头来表示。用矩阵代数表示如下n n如果三个基本向量之间线性无关，那么它们的线如果三个基
3、本向量之间线性无关，那么它们的线性组合可以覆盖（张成）整个三维空间。如果三性组合可以覆盖（张成）整个三维空间。如果三个向量共面，即相关，就不能张成三维空间。判个向量共面，即相关，就不能张成三维空间。判断三个向量的线性相关性，可用行列式。断三个向量的线性相关性，可用行列式。第2页/共42页三维空间向量的相关性三维空间向量的相关性n n即看三向量并列所得矩阵的行列式即看三向量并列所得矩阵的行列式n ndet(det(A A)=0 )=0 相关相关n ndet(det(A A)0 0 不相关不相关n n行列式的几何意义行列式的几何意义:在二维是两个向量组成的平行四边形面积，在在二维是两个向量组成的平
4、行四边形面积，在三维是三个向量组成的平行六面体的体积。三维是三个向量组成的平行六面体的体积。第3页/共42页行列式的几何意义行列式的几何意义n n二维二维n n三维三维det(det(A A)=)=右图平行六右图平行六面体的体积面体的体积(v1,v2)(u1,0)a2+a1,a3张成的平面a1,a3张 成 的平面a3a2a10第4页/共42页n维向量的相关性维向量的相关性n n在进入三维以上的空间时，已经没有可与面积、体积直接相当的概念可用了，所以采用了秩的概念。如果A的行列式为零，也就是它的秩r小于n时，说明这n个向量是线性相关的。n n秩的概念也概括了面积存在（r2）和体积存在（r3）的意
5、义，因此，它是更高度的抽象。第5页/共42页8.2 向量空间和基向量向量空间和基向量n n若若r r个向量是线性无关的，则它们的线性组合的全体个向量是线性无关的，则它们的线性组合的全体V V就构成了就构成了r r维维空间空间R Rr r 。如果它不是空集，则如果它不是空集，则V V称为向量空间。生成称为向量空间。生成V V的的r r个线性无个线性无关的向量关的向量v v称为基向量或基（称为基向量或基（BasisBasis）。）。n n当当r r n n时，给定的时，给定的n n个向量就是一组基。如果个向量就是一组基。如果r r n n，那就要在那就要在n n个向个向量中选出量中选出r r个线性
6、无关的向量。用秩的概念还无法判定哪些向量是个线性无关的向量。用秩的概念还无法判定哪些向量是线性无关的，这时又要藉助于把矩阵简化为阶梯形式的方法。线性无关的，这时又要藉助于把矩阵简化为阶梯形式的方法。第6页/共42页例例8.2 求四个五维向量求四个五维向量的子空间的子空间 n n这四个向量组成的矩阵如右，对它进行行阶梯简化。程序为：A A 4,4,5,5,4,4,1;0,1;0,3,0,1;3,0,1;2,1,2,0;2,1,2,0;5,4,5,3;5,4,5,3;1,4,1,4,1,1,1 1U0,ipU0,ip rref(A)rref(A)得到得到 ip=1,2,4ip=1,2,4其三个枢轴
7、列对应的就是其三个枢轴列对应的就是三个线性无关的列向量。三个线性无关的列向量。第7页/共42页三个向量空间位置演示三个向量空间位置演示程序程序n n三维空间中，为了观察三个向量的空间关系，三维空间中，为了观察三个向量的空间关系，ATLASTATLAST手册还提供手册还提供了一个演示程序了一个演示程序viewsubspaces(viewsubspaces(u,v,wu,v,w)，它用蓝色直线显示向量它用蓝色直线显示向量u u，同同时用红色显示时用红色显示v v和和w w所组张成的平行四边形平面，画在同一张立体所组张成的平行四边形平面，画在同一张立体图上。例如：图上。例如：u u=-1;1;8;v
8、1;1;8;v=5;5;-4;7;w4;7;w=-3;1;3;1;-5;5;viewsubspaces(u,v,wviewsubspaces(u,v,w),grid ongrid on 三个向量的起点都是三个向量的起点都是x x y y z z 0 0的原点。要看清其几何意义，还是需的原点。要看清其几何意义，还是需要一定的空间想象力。要一定的空间想象力。第8页/共42页三个向量的空间关系三个向量的空间关系第9页/共42页例例8.3 w是否在是否在v1,v2,v3的的空间内空间内n n设n nw w是否能由是否能由v v1 1,v,v2 2,v,v3 3的线性组合构成的问题，取决的线性组合构成的
9、问题，取决于线性方程组于线性方程组解的存在性。解的存在性。v1v1=7;7;-4;4;-2;9;v22;9;v2=-4;5;4;5;-1;1;-7;7;v3v3=9;4;4;9;4;4;-7;w7;w=-9;7;1;9;7;1;-4;4;v v=v1,v2,v3;cv1,v2,v3;c=vw vw%把基向量组成矩阵把基向量组成矩阵v v求解求解也可以按也可以按det(det(v v)是否为零进行判别是否为零进行判别 第10页/共42页8.3 向量的内积和正交向量的内积和正交性性 n n在三维空间中，x和y两个向量的内积定义为x,yx1y1 x2y2 x3y3。m维情况可以写成n n这是一个标量
10、。向量x与自己求内积：n n得到的是其各分量的平方和，其平方根就等于向量的长度（或模、或范数norm）。第11页/共42页内积的几何意义内积的几何意义n n在平面情况，两向量的内积除以它们的长度是它们夹在平面情况，两向量的内积除以它们的长度是它们夹角的余弦，可以利用下图证明。角的余弦，可以利用下图证明。n n根据余弦定律，根据余弦定律，n n最后得到最后得到n n此结果可推广到高维空间，只是此结果可推广到高维空间，只是 被抽象化了：被抽象化了：第12页/共42页例例8.4 基向量长度规一化和夹角基向量长度规一化和夹角n n例例8.4 8.4 求例求例8.38.3中的单位基向量中的单位基向量v1
11、0,v20,v30v10,v20,v30，并分别求它们之间的夹并分别求它们之间的夹角。角。n n解：解题的程序为解：解题的程序为ag822ag822：v10=v1/norm(v1),v10=v1/norm(v1),v20=v2/norm(v2),v20=v2/norm(v2),v30=v3/norm(v1),v30=v3/norm(v1),theta12=acos(v1*v2)/(norm(v1)*norm(v2)theta12=acos(v1*v2)/(norm(v1)*norm(v2)theta13=acos(v1*v3)/(norm(v1)*norm(v3)theta13=acos(v1
12、*v3)/(norm(v1)*norm(v3)theta23=acos(v3*v2)/(norm(v3)*norm(v2)theta23=acos(v3*v2)/(norm(v3)*norm(v2)第13页/共42页正交基向量的生成正交基向量的生成n n两向量两向量x x，y y正交的条件是它们的内积为零。正交的条件是它们的内积为零。给出向量求正交基常用施密特算法，给出向量求正交基常用施密特算法，ATLASTATLAST手册中手册中给出了相应的程序给出了相应的程序gschmidtgschmidt。调用时键入调用时键入 Q,RQ,R=gschmidt(=gschmidt(v v)，QQ就是单位正
13、交基向量就是单位正交基向量e e。n nMATLABMATLAB中不用施密特算法，而用更好的算法编中不用施密特算法，而用更好的算法编成了正交分解子程序成了正交分解子程序qr.mqr.m，它将它将v v分解为分解为QQ和和R R两两个矩阵的乘积。调用方法为：个矩阵的乘积。调用方法为：QQ,R R qr(qr(v v)n nQQ就是就是mm mm单位正交矩阵。单位正交矩阵。第14页/共42页基向量正交化的基向量正交化的schmidt公式公式n n得到得到q qi i(i(i 1,2,k)1,2,k)后，再把它们除以后，再把它们除以norm(qnorm(qi i)，就可归一化为单位向就可归一化为单位
14、向量量e ek k。第15页/共42页基向量正交化的基向量正交化的schmidt子程序子程序n nfunction Q,R=gschmidt(V)function Q,R=gschmidt(V)m,n=size(V);R=zeros(n);m,n=size(V);R=zeros(n);R(1,1)=norm(V(:,1);R(1,1)=norm(V(:,1);Q(:,1)=V(:,1)/R(1,1);Q(:,1)=V(:,1)/R(1,1);for k=2:nfor k=2:n R(1:kR(1:k 1,k)=Q(:,1:k1,k)=Q(:,1:k 1)*V(:,k);1)*V(:,k);Q(
15、:,k)=V(:,k)Q(:,k)=V(:,k)Q(:,1:kQ(:,1:k 1)*R(1:k1)*R(1:k 1,k);1,k);R(k,k)=norm(Q(:,k);R(k,k)=norm(Q(:,k);Q(:,k)=Q(:,k)/R(k,k);Q(:,k)=Q(:,k)/R(k,k);endend第16页/共42页求单位正交基向量的例求单位正交基向量的例例例8.5 8.5 对于例对于例8.38.3的数据，求其规范化正交基向量的数据，求其规范化正交基向量e e1 1,e,e2 2,e,en n。解：程序为解：程序为V V 7,7,4,9;4,9;4,5,4;4,5,4;2,2,1,4;9,
16、1,4;9,7,7,7 7Q,RQ,R qr(v)qr(v)%或或 Q,RQ,R gschmidt(v)gschmidt(v)e e Q(:,1:3)Q(:,1:3)n n得到：得到：第17页/共42页8.4 齐次方程齐次方程Ax=0的解的解空间空间n n设有设有mm个方程和个方程和n n个变量，个变量，A A的秩是的秩是r r，则经过行则经过行简化后得到的行阶梯矩阵简化后得到的行阶梯矩阵UU的有的有r r个枢轴元素，非个枢轴元素，非枢轴元素有枢轴元素有n n r r个。因此该方程的全解将等于个。因此该方程的全解将等于AxAx b b 的一个特解加上其齐次方程的一个特解加上其齐次方程AxAx
17、0 0的通解。的通解。本节将从向量空间的视点来讨论它的解，因为通本节将从向量空间的视点来讨论它的解，因为通解是解是n n r r阶的无穷的集合，所以要研究解所张成阶的无穷的集合，所以要研究解所张成的向量空间。的向量空间。n nAxAx 0 0意味着这些解意味着这些解x x的集合经过矩阵的集合经过矩阵A A变换后都变换后都映射到像空间的零点，所以英文把此解所张成的映射到像空间的零点，所以英文把此解所张成的空间称为空间称为Null SpaceNull Space，直译为直译为 零空间零空间。我国。我国的通用译名为的通用译名为 解空间解空间 或或 基础解系基础解系，我们，我们觉得用觉得用 齐次解空间
18、齐次解空间 较为准确。较为准确。第18页/共42页齐次方程齐次方程Ax=0解空间解空间的例的例n n例例8.6 8.6 试求下列系数矩阵的齐次解空间：试求下列系数矩阵的齐次解空间：n n解：输入解：输入A A，并求出它的简化行阶梯形式，键入并求出它的简化行阶梯形式，键入 U0,ipU0,ip rref(A)rref(A)，得到得到ip ip 1,3 1,3 第19页/共42页齐次解空间的例（续）齐次解空间的例（续）n n其通解可以看成三个向量的线性组合其通解可以看成三个向量的线性组合n n这个式子就表示了一个三维的向量空间，在这个空间中所有的向这个式子就表示了一个三维的向量空间，在这个空间中所
19、有的向量都能使量都能使AxAx 0 0。所以它被称为齐次解空间或零空间。所以它被称为齐次解空间或零空间。第20页/共42页求齐次解空间的子程序求齐次解空间的子程序n n这样齐次解空间的这样齐次解空间的m m is is系数矩阵系数矩阵NN可以用下面的程序来自动完成：可以用下面的程序来自动完成：functin N=nulspace(A)functin N=nulspace(A)m,n=size(A);m,n=size(A);U0,ip=rref(A)U0,ip=rref(A)is=1:n;is(ip)=;is=1:n;is(ip)=;N(ip,:)=-U0(1:rank(A),is);N(ip,
20、:)=-U0(1:rank(A),is);N(is,:)=eye(n-rank(A)N(is,:)=eye(n-rank(A)MATLABMATLAB中的子程序为中的子程序为N=null(A).N=null(A).第21页/共42页计算例题计算例题8.7系数矩阵系数矩阵A A如右，如右，求求AxAx 0 0的通解。的通解。解：程序解：程序ag842ag842先输入先输入A A ，再键入再键入v v nulbasis(nulbasis(A A)%)%或或v v=null(=null(A A,r),r)rr表示用有理分式的表示用有理分式的基向量基向量得到都是三个分量并列，得到都是三个分量并列，v
21、v=v v1 1,v,v2 2,v,v3 3 第22页/共42页8.5 解超定方程的思路解超定方程的思路n n有时用向量空间的方法可以更为简捷地推导公式，超定方程的解有时用向量空间的方法可以更为简捷地推导公式，超定方程的解就是一个例子。就是一个例子。n n既然我们已讨论了既然我们已讨论了 适定适定 方程组和方程组和 不定不定 方程组的求解方法，方程组的求解方法，自然会提出如何解自然会提出如何解 超定超定 方程组的问题。方程组的问题。n n工程问题都可以允许方程有误差，把一组解代入方程后，每个方工程问题都可以允许方程有误差，把一组解代入方程后，每个方程都有误差；要找误差在一定意义下的总和为最小的
22、解。在这样程都有误差；要找误差在一定意义下的总和为最小的解。在这样的思路引导下，就产生了超定方程求解的方法。的思路引导下，就产生了超定方程求解的方法。第23页/共42页误差线性方程组的建立误差线性方程组的建立n n引入误差向量引入误差向量e e。e e AxAx b bn n写出其完全的矩阵形式如下写出其完全的矩阵形式如下n n问题是，找到解问题是，找到解x x，使使e e的长度或范数为最小。的长度或范数为最小。第24页/共42页从向量空间的视点分析从向量空间的视点分析 n n研究例研究例6.16.1的超定方程组（的超定方程组（d d）：）：n n改写成改写成简写为简写为n n选择不同的选择不
23、同的x x1 1和和x x2 2将得到不同的合成向量将得到不同的合成向量A A*x*x x x1 1v v1 1 x x2 2v v2 2 q q ，q q必定处于必定处于v v1 1和和v v2 2张成的平张成的平面之内。而方程中的面之内。而方程中的b b则一般不会在这个平面则一般不会在这个平面内，内，第25页/共42页本例的向量空间图本例的向量空间图n n这时最近似的解就这时最近似的解就应该是该平面上与应该是该平面上与b b点最近的点所对应点最近的点所对应的坐标的坐标A*xhatA*xhat。它它应该是应该是b b点向点向v v1 1和和v v2 2张成的平面的投影。张成的平面的投影。所以
24、和所以和b b的连线应该的连线应该和和v v1 1和和v v2 2张成的平面张成的平面垂直，也就是说必垂直，也就是说必须分别与须分别与v v1 1和和v v2 2正交。正交。如图如图8.68.6所示。所示。第26页/共42页最小二乘解的公式推导最小二乘解的公式推导n nA*xhat和b的连线向量应该是这两个向量之差，即，它与v1和v2正交的要求可以分别表示为：和 综合在一起可以写成：最后得到公式第27页/共42页最小二乘解的数字例最小二乘解的数字例n n例例8.8.求题求题6.1(6.1(d)d)方程组的最小二乘解。方程组的最小二乘解。n n解：解：MATLABMATLAB程序程序ag808a
25、g808如下：如下：A=1,1;1,A=1,1;1,1;1;1,2,b=1;3;31,2,b=1;3;3xhat=inv(A*A)*A*bxhat=inv(A*A)*A*be=A*xhate=A*xhat b,norm(e)b,norm(e)运行此程序，得到运行此程序，得到第28页/共42页MATLAB中超定方程中超定方程的解的解n n在在MATLABMATLAB中，把运算中，把运算(A AT TA A)-1-1A AT T单独编成一个单独编成一个子程序，称为子程序，称为pinvpinv函数。求最小二乘解的公式可函数。求最小二乘解的公式可以写成以写成 x x pinv(pinv(A A)*)*
26、b b，与与 适定方程适定方程 的解的解x x invinv(A A)*)*b b非常相似，只是非常相似，只是pinvpinv函数并不要求函数并不要求A A是方阵。是方阵。n n最小二乘解也可用最小二乘解也可用运算符表示，这就把运算符表示，这就把 欠定方程欠定方程、适定方程适定方程 和和 超定方程超定方程 用用统一的运算格式：统一的运算格式：x x A A b b MATLABMATLAB会自动根据系数矩阵会自动根据系数矩阵A A的行数的行数mm和列数和列数n n，来判断采用哪个方法和程序。不过对于欠定方程，来判断采用哪个方法和程序。不过对于欠定方程，这个式子只给出了一个特解，没给通解。这个式
27、子只给出了一个特解，没给通解。第29页/共42页数字实例数字实例8.9：实验数据处理：实验数据处理n n例8.9 设在某一实验中，给某元件加1,2,3,4,5v电压，测得的电流为0.2339，0.3812，0.5759，0.8153，0.9742ma。求此元件的电阻。n n解：设直线的方程为y c(1)x c(2)，待定的系数是c(1)，c(2)。将上述数据分别代入x，y，把这五个方程联立，用矩阵表述：第30页/共42页实验数据处理实例实验数据处理实例写成写成 dataxdatax*c(1)*c(1)ones(N,1)*c(2)ones(N,1)*c(2)dataydatay n n其中其中d
28、ataxdatax ，dataydatay都是都是5 5行数据列向量，这是行数据列向量，这是5 5个一次代数方程，个一次代数方程，含两个未知数，是一个超定方程，解的程序如下含两个未知数，是一个超定方程，解的程序如下：n nA A datax,ones(N,1);B datax,ones(N,1);B datay;c datay;c A B A B第31页/共42页8.6.1 价格平衡模型价格平衡模型 n n单位消耗列向量单位消耗列向量v vi i表示第表示第i i个部门每产出一个单位个部门每产出一个单位产品中，本部门和其他各个部门消耗的百分比。产品中，本部门和其他各个部门消耗的百分比。n n于
29、是总的价格平衡方程可以写成为：于是总的价格平衡方程可以写成为：(I VI V)p p =0=0n n此等式右端常数项为零，是一个齐次方程。它有此等式右端常数项为零，是一个齐次方程。它有非零解的条件是系数行列式等于零。非零解的条件是系数行列式等于零。第32页/共42页8.6.2 宏观经济模型宏观经济模型 n n为了满足外部的最终需求向量d，各生产部门的实际产出x应该是多少，这对于经济计划的制订当然很有价值。因为x=内部需求外部需求d考虑到单位消耗列向量vi和内部需求矩阵V，总的需求方程可以写成为：xVx=d，移项得(I V)x=d 因而x=inv(I V)*d第33页/共42页8.6.3 信号流
30、图模型信号流图模型 n n信号流图是用来表示和分析复杂系统内的信号变信号流图是用来表示和分析复杂系统内的信号变换关系的工具。右图方程如下。换关系的工具。右图方程如下。n n写成矩阵方程写成矩阵方程n n或或x=Qxx=Qx PuPun n移项整理，可以得到求信号向量移项整理，可以得到求信号向量x x的公式。的公式。ux1G1x2G2第34页/共42页信号流图的矩阵解法信号流图的矩阵解法(I Q)x=Pu(I Q)x=Pu，x=x=invinv(I Q)*Pu(I Q)*Pun n定义系统的传递函数定义系统的传递函数WW为输出信号与输入信号之为输出信号与输入信号之比比x/ux/u，则则WW可按下
31、式求得：可按下式求得：W=x/uW=x/u=inv=inv(I Q)*P(I Q)*P因为因为 得到得到第35页/共42页复杂点的信号流图复杂点的信号流图n n按右面的信号流图，按右面的信号流图，照上述方法列出它照上述方法列出它的方程如下：的方程如下：n nx x1 1=-G=-G4 4x x3 3+u+un nx x2 2=G=G1 1x x1 1-G-G5 5x x4 4n nx x3 3=G=G2 2x x2 2n nx x4 4=G=G3 3x x3 3第36页/共42页信号流图的矩阵方程信号流图的矩阵方程n n列出的矩阵方程为：列出的矩阵方程为：n n矩阵中的参数是符号而不是数，矩阵
32、中的参数是符号而不是数，MATLABMATLAB的许多的许多函数函数(特别是求逆特别是求逆)都可以处理符号，带来了极大都可以处理符号，带来了极大的方便。只要在程序第一行注明哪些是符号变量：的方便。只要在程序第一行注明哪些是符号变量：syms G1 G2 syms G1 G2 第37页/共42页用符号运算工具箱求解用符号运算工具箱求解n n矩阵代数方法的最大好处是可用于任意高的阶次矩阵代数方法的最大好处是可用于任意高的阶次的信号流图，实现传递函数推导的自动化的信号流图，实现传递函数推导的自动化 n n如下题的如下题的MATLABMATLAB程序程序ag863ag863syms G1 G2 G3
33、G4 G5syms G1 G2 G3 G4 G5Q=0,0,Q=0,0,G4,0;G1,0,0,G4,0;G1,0,0,G5;0,G2,0,0;0,0,G3,0,G5;0,G2,0,0;0,0,G3,0,P=1;0;0;0P=1;0;0;0W=inv(eye(4)W=inv(eye(4)Q)*PQ)*Ppretty(W(4)pretty(W(4)运行结果为运行结果为第38页/共42页8.6.4 数字滤波器系统函数数字滤波器系统函数n n数字滤波器的网络数字滤波器的网络结构图也是一种信结构图也是一种信号流图。按照图示号流图。按照图示情况，可以写出矩情况，可以写出矩阵形式的方程为阵形式的方程为 ：
34、第39页/共42页数字滤波器的矩阵方程数字滤波器的矩阵方程n n可以写出矩阵形式的方程为可以写出矩阵形式的方程为 ：n n系统函数系统函数WW也可以写成：也可以写成：n n可以用类似的可以用类似的MATLABMATLAB符号运算工具箱求解。符号运算工具箱求解。第40页/共42页矩阵法求矩阵法求数字滤波器系统数字滤波器系统函数函数 程序程序ag864ag864syms qsyms qQ(1,2)Q(1,2)=q;Q(2,3)=3/8*qq;Q(2,3)=3/8*q-1/4;1/4;Q(3,1)=1;Q(3,3)=0;Q(3,1)=1;Q(3,3)=0;P=2;1/4;0P=2;1/4;0W=inv(eye(3)W=inv(eye(3)-Q)*PQ)*Ppretty(W(3)pretty(W(3)程序运行结果为程序运行结果为第41页/共42页