应变理论学习.pptx

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1、位移和应变Chapter 4.1 位移 第1页/共151页位移和应变Chapter 4.1 位移的描述 刚体位移刚体位移：整个物体在空间做刚体运动引起的，包：整个物体在空间做刚体运动引起的，包括平动和转动。括平动和转动。变形变形：物体形状变化引起的位移，位移发生时不仅：物体形状变化引起的位移，位移发生时不仅改变物体的绝对位置，而且改变了物体内部各个点改变物体的绝对位置，而且改变了物体内部各个点的相对位置。的相对位置。一般来说，刚体位移和变形是同时出现的。一般来说，刚体位移和变形是同时出现的。第2页/共151页位移和应变Chapter 4.1 位移 第3页/共151页位移和应变Chapter 4

2、.1 位移 分量形式：或第4页/共151页位移和应变Chapter 4.1 单轴应变xdxxABABu(x)u(x+dx)F第5页/共151页位移和应变Chapter 4.1 单轴应变微元的长度变化：Taylor 级数展开：第6页/共151页位移和应变Chapter 4.1 单轴应变略去高阶项：单轴应变（工程应变）定义为：第7页/共151页位移和应变 应变分量 平行六面体(称为微元体)Chapter 4.1第8页/共151页 应变分量Chapter 4.1位移和应变第9页/共151页Chapter 4.1位移和应变第10页/共151页Chapter 4.1 正应变(相对伸长度)位移和应变第11

3、页/共151页Chapter 4.1 切应变(剪应变)位移和应变第12页/共151页Chapter 4.1 工程剪应变位移和应变第13页/共151页位移和应变uyx第14页/共151页由于位移是坐标值的连续函数，所以由于位移是坐标值的连续函数，所以P点在点在x及及y轴上轴上的位移分量为的位移分量为u，v，则，则A点及点及B点的位移分量为点的位移分量为Chapter 4.1位移和应变A:B:A:B:第15页/共151页按照多元函数按照多元函数Taylor级数展开，并利用小变形假设而级数展开，并利用小变形假设而略去二阶以上的无穷小量，则得略去二阶以上的无穷小量，则得A点及点及B点的位移分点的位移分

4、量为量为Chapter 4.1位移和应变第16页/共151页Chapter 4.1位移和应变u适用条件？第17页/共151页Chapter 4.1位移和应变第18页/共151页小应变情况下，应变和位移的关系：小应变情况下，应变和位移的关系：Chapter 4.1 几何方程位移和应变第19页/共151页小应变情况下，应变和位移的关系：小应变情况下，应变和位移的关系：Chapter 4.1 几何方程位移和应变第20页/共151页小应变情况下，工程应变和位移的关系：小应变情况下，工程应变和位移的关系：Chapter 4.1 几何方程位移和应变第21页/共151页应变理论 位移和应变（小应变情况）位移

5、和应变（一般情况）刚体转动 应变协调方程 位移场的单值条件 由应变求位移Chapter 4第22页/共151页Chapter 4.2拉格朗日坐标系（或随体坐标系、物质坐标系）由变形前嵌入物体内的老坐标系随物体质点一起变由变形前嵌入物体内的老坐标系随物体质点一起变形而得到的，所以在变形过程中，质点的坐标值始形而得到的，所以在变形过程中，质点的坐标值始终保持不变。终保持不变。在物体变形中一般变为曲线坐标系。在物体变形中一般变为曲线坐标系。在固体力学中，大多采用拉格朗日坐标系。在固体力学中，大多采用拉格朗日坐标系。位移和应变第23页/共151页Chapter 4.2位移和应变欧拉坐标系（或空间坐标系

6、）固定在空间点上的坐标系，其固定在空间点上的坐标系，其基矢量不随物体变形而变化。基矢量不随物体变形而变化。在流体力学中，一般采用欧拉在流体力学中，一般采用欧拉坐标系。坐标系。第24页/共151页Chapter 4.2位移和应变u第25页/共151页uChapter 4.2P及及P点的矢径分别为：点的矢径分别为：位移和应变第26页/共151页Chapter 4.2根据变形后不开裂或重叠的基本假设，根据变形后不开裂或重叠的基本假设，xi 和和 ai 间应存间应存在一一对应的互逆关系。在一一对应的互逆关系。于是，以上两式的雅可比行列式应不为零，即于是，以上两式的雅可比行列式应不为零，即位移和应变第2

7、7页/共151页Chapter 4.2位移和应变第28页/共151页Chapter 4.2定义定义P点的位移矢量：点的位移矢量：即即注注注注:弹性力学中，通常假定位移场足够弹性力学中，通常假定位移场足够光滑光滑，存，存在在三阶三阶以上的连续偏导数。以上的连续偏导数。位移和应变 位移第29页/共151页Chapter 4.2 描述物体位移的方法描述物体位移的方法p 拉格朗日描述法拉格朗日描述法p 欧拉描述法欧拉描述法位移和应变第30页/共151页Chapter 4.2 拉格朗日描述法拉格朗日描述法 以物体变形前的初始构形以物体变形前的初始构形B为参照构形，质点变形为参照构形，质点变形前的坐标前的

8、坐标 ai=(a1,a2,a3)为基本未知量。将变形后物体为基本未知量。将变形后物体的位置的位置 x 表示为表示为 a1,a2,a3 的函数：的函数：位移场位移场 u 用初始坐标用初始坐标 ai 描述描述：位移和应变第31页/共151页Chapter 4.2 欧拉描述法欧拉描述法 以物体变形后的新构形以物体变形后的新构形 B 为参照构形，质点变形为参照构形，质点变形后的坐标后的坐标 xi=(x1,x2,x3)为基本未知量。将变形前物体为基本未知量。将变形前物体的位置的位置 a 表示为表示为 x1,x2,x3 的函数：的函数：位移和应变位移场位移场u用当前坐标用当前坐标 xi 描述：描述：第32

9、页/共151页 变形的描述 考虑变形前的任意线元考虑变形前的任意线元 ，其端点，其端点P(a1,a2,a3）及及Q(a1+da1,a2+da2,a3+da3)的矢径分别为的矢径分别为Chapter 4.2位移和应变第33页/共151页Chapter 4.2变形后，变形后，P、Q两点分别位移至两点分别位移至P和和Q，相应的矢，相应的矢径和线元为径和线元为 位移和应变第34页/共151页Chapter 4.2变形前后，线元变形前后，线元 和和 的长度平方为的长度平方为位移和应变第35页/共151页Chapter 4.2采用拉格朗日描述法，采用拉格朗日描述法，xm=xm(ai)，则则注：一般记注：一

10、般记 ，称为变形梯称为变形梯度张量度张量位移和应变第36页/共151页Chapter 4.2位移和应变第37页/共151页Chapter 4.2记记位移和应变第38页/共151页Chapter 4.2根据商判则，根据商判则，E是二阶张量，称为是二阶张量，称为格林应变张量。格林应变张量。位移和应变第39页/共151页Chapter 4.2将上式改写为将上式改写为 求导 格林应变张量的位移分量表达式格林应变张量的位移分量表达式位移和应变第40页/共151页Chapter 4.2引进笛卡尔坐标系中位移梯度引进笛卡尔坐标系中位移梯度u 和和 u写成实体符号：位移和应变第41页/共151页Chapter

11、 4.2在笛卡尔坐标系中在笛卡尔坐标系中分量形式分量形式为为位移和应变第42页/共151页Chapter 4.2 用格林应变张量表示线元的长度变化用格林应变张量表示线元的长度变化变形前，变形前，长度比：长度比：位移和应变 第43页/共151页Chapter 4.2长度比表示为：长度比表示为：位移和应变其中：其中：第44页/共151页Chapter 4.2 用格林应变张量表示线元方向的改变用格林应变张量表示线元方向的改变变形后，线元方向为变形后，线元方向为位移和应变利用利用任意线元变形后的方向余弦可用位移表示成任意线元变形后的方向余弦可用位移表示成 第45页/共151页位移和应变Chapter

12、4.2 用格林应变表示线元间夹角余弦的变化用格林应变表示线元间夹角余弦的变化 第46页/共151页 用格林应变表示线元间夹角余弦的变化用格林应变表示线元间夹角余弦的变化 变形前的两个任意线元变形前的两个任意线元 和和 ，其单位矢量分别为，其单位矢量分别为 v 和和 t，方向余弦分别为，方向余弦分别为 vi 和和 ti，夹角余弦为，夹角余弦为Chapter 4.2位移和应变第47页/共151页 用格林应变表示线元间夹角余弦的变化用格林应变表示线元间夹角余弦的变化 变形后，其单位矢量分别为变形后，其单位矢量分别为 v 和和 t ，夹角余弦为，夹角余弦为Chapter 4.2位移和应变第48页/共1

13、51页Chapter 4.2于是上式简化为于是上式简化为可知，应变张量给出了物体变形状态的全部信息可知，应变张量给出了物体变形状态的全部信息。位移和应变 用格林应变表示线元间夹角余弦的变化用格林应变表示线元间夹角余弦的变化 第49页/共151页Chapter 4.2以上介绍了拉格朗日描述法的推导过程和结果。类似以上介绍了拉格朗日描述法的推导过程和结果。类似地，若采用欧拉描述法将导出地，若采用欧拉描述法将导出称为称为阿尔曼西阿尔曼西(Almansi,E.)应变张量应变张量 位移和应变第50页/共151页Chapter 4.2上两式表明，若上两式表明，若Eij 0，或，或eij 0，则，则dS=d

14、S0。所以物。所以物体无变形（仅作刚体运动）的充分必要条件是应变张量体无变形（仅作刚体运动）的充分必要条件是应变张量Eij（或（或eij）处处为零。）处处为零。位移和应变第51页/共151页Chapter 4.2Green应变张量：应变张量：长度比：位移和应变夹角变化：第52页/共151页Chapter 4.2Green应变张量：应变张量：Almansi应变张量：位移和应变小应变张量：第53页/共151页Chapter 4.2 小应变张量定义和意义定义和意义对于小变形情况（位移比物体最小尺寸对于小变形情况（位移比物体最小尺寸小小得多）：得多）：由小变形假设略去二阶小量由小变形假设略去二阶小量

15、位移和应变第54页/共151页Chapter 4.2在小变形情况下，格林应变张量和阿尔曼西应变张量在小变形情况下，格林应变张量和阿尔曼西应变张量简化为简化为ij 称为称为柯西应变张量柯西应变张量或或小应变张量小应变张量。实体形式为实体形式为 位移和应变第55页/共151页Chapter 4.2在笛卡尔坐标系中，应变位移关系或几何方程为指标形式为指标形式为:位移和应变第56页/共151页Chapter 4.2 小变形情况下结果的简化小变形情况下结果的简化长度比长度比 定义定义 为为 方向线元的方向线元的工程正应变工程正应变.位移和应变第57页/共151页Chapter 4.2 线元的转动线元的转

16、动 变形后线元的方向余弦：变形后线元的方向余弦：位移和应变第58页/共151页Chapter 4.2对变形前与坐标轴对变形前与坐标轴 a1 平行的线元有平行的线元有 位移和应变变形后线元的方向余弦：变形后线元的方向余弦：第59页/共151页Chapter 4.2变形后的单位矢量变形后的单位矢量 2很小很小位移和应变第60页/共151页Chapter 4.2同理同理 上述两式说明，变形前与上述两式说明，变形前与a2和和 a3轴垂直的线元，变形轴垂直的线元，变形后分别向后分别向a2和和 a3轴旋转了轴旋转了 和和 角。同理，沿角。同理，沿a2和和 a3轴的线元变形后也将发生转动。轴的线元变形后也将

17、发生转动。位移和应变第61页/共151页a1a3a2位移和应变Chapter 4.2第62页/共151页Chapter 4.2 两线元间的夹角变化两线元间的夹角变化 变形后，线元的夹角表示为位移和应变其中：第63页/共151页Chapter 4.2略去二阶小量，可得略去二阶小量，可得若变形前两线元互相垂直若变形前两线元互相垂直令令为变形后线元间直角的减小量，则为变形后线元间直角的减小量，则 位移和应变第64页/共151页Chapter 4.2工程剪应变工程剪应变 定义为两正交线元间的直角减小量定义为两正交线元间的直角减小量若若v,t为坐标轴方向的单位矢量，例如为坐标轴方向的单位矢量，例如,vi

18、=1,tj=1(ij),其余的方向余弦均为零，则由上式得其余的方向余弦均为零，则由上式得位移和应变第65页/共151页Chapter 4.2位移和应变小应变张量 的几何意义是：当指标i=j i=j 时，表示沿坐标轴i i方向的线元工程正应变，以伸长为正，缩短为负；当指标(ijij)时，的两倍表示坐标轴 i i 与 j j 方向两个正交线元间的工程剪应变。以锐化（直角减小）为正，钝化（直角增加）为负。第66页/共151页Chapter 4.2小应变张量的性质小应变张量的性质 新老坐标中的应变张量分量新老坐标中的应变张量分量 与与 满足转轴满足转轴公式公式由此可根据应变分量由此可根据应变分量 ij

19、 求出任意方向的正应变和剪求出任意方向的正应变和剪应变。因而小应变张量完全表征了一点的应变状态。应变。因而小应变张量完全表征了一点的应变状态。位移和应变第67页/共151页 应变张量在每点存在三个相互正交的主方向应变张量在每点存在三个相互正交的主方向设设 v 为主方向的单位矢量，则按张量主方向的定义有为主方向的单位矢量，则按张量主方向的定义有标量标量 称为应变张量的主值，即沿主方向称为应变张量的主值，即沿主方向 v 的主应变。的主应变。与主应力类似，主应变也具有实数性，正交性和极值与主应力类似，主应变也具有实数性，正交性和极值性。性。Chapter 4.2位移和应变第68页/共151页Chap

20、ter 4.2 存在第一、第二和第三应变不变量存在第一、第二和第三应变不变量系数行列式为零其中：其中：分别称为第一、第二和第三应变不变量。分别称为第一、第二和第三应变不变量。位移和应变第69页/共151页Chapter 4.2 应变主轴应变主轴沿每点应变主方向的坐标线沿每点应变主方向的坐标线由应变主轴组成的正交曲线坐标系称为由应变主轴组成的正交曲线坐标系称为主应变坐标系主应变坐标系。最大工程剪应变发生在主平面内，其值为最大与最大工程剪应变发生在主平面内，其值为最大与最小主应变之差。最小主应变之差。等倾线元正应变（又称八面体正应变）等于平均等倾线元正应变（又称八面体正应变）等于平均正应变正应变0

21、。位移和应变第70页/共151页Chapter 4.2 八面体剪应变八面体剪应变是等倾面法线与等倾面上任意线元是等倾面法线与等倾面上任意线元间之剪应变的最大值间之剪应变的最大值。位移和应变第71页/共151页Chapter 4.2 应变张量可分解为应变球量和应变偏量之和应变张量可分解为应变球量和应变偏量之和 即即称为称为球形应变张量球形应变张量，0 为平均正应变。为平均正应变。位移和应变第72页/共151页Chapter 4.2将将0ij代入上述两式可得代入上述两式可得 因此应变球量表示等向体积膨胀或收缩，它不产生形因此应变球量表示等向体积膨胀或收缩，它不产生形状畸变。状畸变。位移和应变第73

22、页/共151页Chapter 4.2 称为称为应变偏量应变偏量。即应变偏量即应变偏量不产生体积不产生体积变化，仅表变化，仅表示形状畸变。示形状畸变。位移和应变第74页/共151页Chapter 4.2 几种特殊的应变场 刚体位移刚体位移位移和应变第75页/共151页Chapter 4.2于是可得于是可得位移和应变第76页/共151页Chapter 4.2 纯变形纯变形存在全微分存在全微分存在全微分存在全微分位移和应变第77页/共151页Chapter 4.2常正应变状态常正应变状态是纯变形的一例是纯变形的一例位移和应变第78页/共151页Chapter 4.2 均匀变形状态均匀变形状态位移和应

23、变第79页/共151页Chapter 4.2 直线在变形后仍为直线；相同方向的直线以同样比例伸缩；互相平行的直线变形后仍平行；平面在变形后仍为平面；平行平面变形后仍平行；球面变形后成为椭球面。均匀变形状态的性质：均匀变形状态的性质：位移和应变第80页/共151页应变理论 位移和应变 刚体转动 应变协调方程 位移场的单值条件 由应变求位移 正交曲线坐标系中的几何方程Chapter 4第81页/共151页Chapter 4.3刚体转动位移场位移场u 变形变形=刚体运动刚体运动 +刚体运动刚体运动刚体平移刚体平移=刚体转动刚体转动 +第82页/共151页考虑线元考虑线元PQ，变形前其端点位，变形前其

24、端点位置是置是P(x)和和Q(x+dx)。P点位移为点位移为u(x)，Q点位移为点位移为 其中其中,u(x)是线元随是线元随P点的刚体平点的刚体平移，移，du是是Q点相对点相对于于P点位移的增点位移的增量，其值为量，其值为Chapter 4.3由商判则可知，位移梯度由商判则可知，位移梯度u 为一个为一个二阶张量二阶张量。刚体转动第83页/共151页Chapter 4.3将将u 分解成对称张量与反对称张量之和分解成对称张量与反对称张量之和 对称部分即为小应变张量对称部分即为小应变张量 ，定义反对称部分为，定义反对称部分为 称为转动张量 刚体转动第84页/共151页Chapter 4.3代入刚体转

25、动第85页/共151页Chapter 4.3由反对称张量的性质可知：由反对称张量的性质可知：反对称张量反对称张量 只有只有三个独立分量三个独立分量12,23和和31 指标记号刚体转动第86页/共151页Chapter 4.3转动矢量转动矢量 称为张量称为张量 的的反偶矢量反偶矢量 刚体转动第87页/共151页Chapter 4.3指标形式为：指标形式为：(b)刚体转动第88页/共151页Chapter 4.3刚体平移变 形刚体转动刚体转动第89页/共151页刚体转动Chapter 4.3第91页/共151页Chapter 4.3 对变形体来说，转动矢量对变形体来说，转动矢量 和转动张量和转动张

26、量 都是随点而异的。都是随点而异的。若考虑整个物体作刚体转动（若考虑整个物体作刚体转动（0，=常数）的情况，则常数）的情况，则这就是理论力学中熟知的刚体转动公式：这就是理论力学中熟知的刚体转动公式：刚体转动第92页/共151页Chapter 4.3 小应变假设：小应变假设：所以线性弹性理论仅适用于所以线性弹性理论仅适用于应变和转动都很小应变和转动都很小的情况。的情况。刚体转动第93页/共151页应变理论Chapter 4 位移和应变（小应变情况）位移和应变（一般情况）刚体转动 应变协调方程 位移场的单值条件 由应变求位移第94页/共151页小应变情况下的几何方程：小应变情况下的几何方程：Cha

27、pter 4.4应变协调方程p 任意给定任意给定应变分量后，不一定能由上述方程积分求出应变分量后，不一定能由上述方程积分求出位移，所以需要位移，所以需要补充方程补充方程才能使原问题有解。才能使原问题有解。p 对于连续体，相邻微单元之间的变形必须互相对于连续体，相邻微单元之间的变形必须互相协调。即必须满足某些条件协调。即必须满足某些条件变形的连续条件变形的连续条件。第95页/共151页应变协调方程Chapter 4.4在在 xy 平面内各应分量之间的关系平面内各应分量之间的关系 两式相加后，得两式相加后，得第96页/共151页应变协调方程Chapter 4.4同理可以找出另外两平面内应变分量间的

28、关系式同理可以找出另外两平面内应变分量间的关系式 第97页/共151页应变协调方程Chapter 4.4综合起来可得以下方程：综合起来可得以下方程：第98页/共151页应变协调方程Chapter 4.4不同平面内的应变分量也存在一定的关系不同平面内的应变分量也存在一定的关系,于是下面于是下面推导不同平面内的应变分量之间的关系推导不同平面内的应变分量之间的关系第99页/共151页应变协调方程Chapter 4.4同理，可以求出另外两个关系式：同理，可以求出另外两个关系式：第100页/共151页应变协调方程Chapter 4.4共得到六个共得到六个应变协调方程应变协调方程：第101页/共151页应

29、变协调方程Chapter 4.4p 应变协调方程应变协调方程是单连通域小变形连续的充是单连通域小变形连续的充分必要条件，这样的六个应变分量将不能任意分必要条件，这样的六个应变分量将不能任意给定，他们必须满足以上六个约束方程。给定，他们必须满足以上六个约束方程。p 以上六式不是完全独立的，它们只以上六式不是完全独立的，它们只相当于相当于三个独立的方程三个独立的方程。第102页/共151页应变协调方程应变协调方程的另外一种推导方法应变协调方程的另外一种推导方法 小应变张量小应变张量ij的二阶偏导数为的二阶偏导数为Chapter 4.4指标符号互换：指标符号互换：第103页/共151页同样经过指标对

30、换可以得到同样经过指标对换可以得到 Chapter 4.4应变协调方程第104页/共151页当位移场单值连续，并存在三阶以上连续偏导数时，根据当位移场单值连续，并存在三阶以上连续偏导数时，根据偏导数与求导顺序无关，可得偏导数与求导顺序无关，可得 应变协调方程：应变协调方程：Chapter 4.4应变协调方程第105页/共151页Chapter 4.4应变协调方程的个数应变协调方程的个数上式中含有四个自由指标，共表示上式中含有四个自由指标，共表示8181个方程，但其个方程，但其中有不少是恒等式。不难验证下述关系中有不少是恒等式。不难验证下述关系关于关于j，k反对称：反对称：8181 27 27

31、9 96 6应变协调方程关于关于i，l反对称：反对称：关于关于ij，kl对称：对称：Lmn为对称二阶张量为对称二阶张量第108页/共151页Chapter 4.4应变协调方程 应变协调方程的实体表示：应变协调方程的实体表示：第109页/共151页Chapter 4.4应变协调方程第110页/共151页Chapter 4.4在直角坐标系中，表示为：在直角坐标系中，表示为：应变协调方程第111页/共151页应变理论Chapter 4 位移和应变（小应变情况）位移和应变（一般情况）刚体转动 应变协调方程 位移场的单值条件 由应变求位移第113页/共151页Chapter 4.5位移场的单值条件 概念

32、概念 若域内的任意闭曲线能通过在域内的连续变形而若域内的任意闭曲线能通过在域内的连续变形而收缩成一个点，则这种域称为收缩成一个点，则这种域称为单连通域单连通域，否则为，否则为多多连通域连通域。对二维问题，单连通域就是实心域，多连通域为对二维问题，单连通域就是实心域，多连通域为空心域；但这个概念不能简单地推广到三维问题中空心域；但这个概念不能简单地推广到三维问题中去，例如内含空洞的空心球体是一个单连通域，仅去，例如内含空洞的空心球体是一个单连通域，仅当孔洞贯穿三维体成管道时才是多连通域当孔洞贯穿三维体成管道时才是多连通域。第114页/共151页Chapter 4.5单连通域单连通域:多连通域多连

33、通域:位移场的单值条件第115页/共151页Chapter 4.5 n连通域有连通域有n个连接物体相邻部分的通道，如果用横个连接物体相邻部分的通道，如果用横贯通道的截面把贯通道的截面把n-1个通道切断，就化为单连通域，个通道切断，就化为单连通域，简称简称基域基域。这些假想截面称为切口。所以一个。这些假想截面称为切口。所以一个n连通连通域就相当于一个单连通的基域加域就相当于一个单连通的基域加n-1个切口。个切口。位移场的单值条件第116页/共151页Chapter 4.5位移场的单值条件 单连通域上位移场的单值条件单连通域上位移场的单值条件第118页/共151页Chapter 4.5位移场的单值

34、条件第119页/共151页Chapter 4.5x1x2x3Po位移场的单值条件第120页/共151页Chapter 4.5位移场的单值条件x1x2x3Po第121页/共151页Chapter 4.5其中位移场的单值条件x1x2x3Po单值性条件：即：第122页/共151页Chapter 4.5x1x2x3ALdlda由由Stokes 公式：公式：位移场的单值条件第123页/共151页Chapter 4.5位移场的单值条件因此，位移的单值性条件是应变满足协调方程。或：第124页/共151页Chapter 4.5 多连通域位移场的单值条件多连通域位移场的单值条件 对于多连通域的情况，可先用对于多

35、连通域的情况，可先用n1个切口将连通域个切口将连通域化为单连通的化为单连通的基域基域。根据以上讨论，只要满足协调方。根据以上讨论，只要满足协调方程，就能保证基域上位移场的单值连续性。但变形后，程，就能保证基域上位移场的单值连续性。但变形后，在切口处仍可能出现开裂或重叠现象。所以对于多连在切口处仍可能出现开裂或重叠现象。所以对于多连通域，除了满足协调方程外，还应补充保证通域，除了满足协调方程外，还应补充保证切口处位切口处位移单值连续移单值连续的附加条件。的附加条件。位移场的单值条件第126页/共151页Chapter 4.5证证明明：n连连通通域域中中应应附附加加(n-1)个个位位移移场场函函数

36、数的的单单值值性性条件条件 x1x2x3A+A-LLkLk B-B+位移场的单值条件第127页/共151页Chapter 4.5i=1,2,3,k=1,2n-1位移场的单值条件第128页/共151页Chapter 4.5转动单值性条件转动单值性条件i=1,2,3,k=1,2n-1或或位移场的单值条件第129页/共151页应变理论Chapter 4 位移和应变（小应变情况）位移和应变（一般情况）刚体转动 应变协调方程 位移场的单值条件 由应变求位移第130页/共151页由应变求位移Chapter 4.6本节介绍笛卡尔坐标系中，由应变和几何方程本节介绍笛卡尔坐标系中，由应变和几何方程求位移求位移分

37、量分量u1,u2,u3的方法。的方法。第131页/共151页由应变求位移Chapter 4.6 线积分法线积分法 直接积分法直接积分法 第132页/共151页Chapter 4.6 线积分法线积分法 求位移分量求位移分量 由于因此只要导出因此只要导出u1三个一阶偏导数三个一阶偏导数 用应变分量用应变分量的表达式，就可由上式积分出位移的表达式，就可由上式积分出位移u1。由应变求位移第133页/共151页Chapter 4.6由几何方程得由几何方程得 已用应变分量表示，但已用应变分量表示，但 和和 中还含有未知中还含有未知的位移偏导数。先处理的位移偏导数。先处理由应变求位移第134页/共151页C

38、hapter 4.6。由应变求位移第135页/共151页Chapter 4.6其中其中C1为待定积分常数。为待定积分常数。由应变求位移第136页/共151页Chapter 4.6用同样的思路可求得偏导数用同样的思路可求得偏导数 ，然后代入下式就能积，然后代入下式就能积分出位移分量分出位移分量u1(x1,x2,x3)。只要应变满足协调方程，以上各式中的线积分均只要应变满足协调方程，以上各式中的线积分均与路与路径无关径无关，一般取与坐标轴平行的折线为积分路径。，一般取与坐标轴平行的折线为积分路径。可用同样的方法进一步求得位移分量可用同样的方法进一步求得位移分量u2和和u3。由应变求位移第137页/

39、共151页Chapter 4.6 求位移求位移 u1 的方法：的方法：由应变求位移第138页/共151页Chapter 4.6(2)求位移求位移u2由应变求位移第139页/共151页Chapter 4.6(3)求位移求位移u3由应变求位移六个积分常数六个积分常数 u10,u20,u30 和和 C1,C2,C3 分别相应于刚体分别相应于刚体平移和刚体转动的六个自由度，须由外部约束条件来平移和刚体转动的六个自由度，须由外部约束条件来决定。决定。第140页/共151页Chapter 4.6 直接积分法直接积分法 对某些应变分量表达式较为简单的情况，也可以采用对某些应变分量表达式较为简单的情况，也可以

40、采用直接积分法。下面以无应变状态直接积分法。下面以无应变状态ij=0为例，说明处为例，说明处理积分常数时应注意的问题。当应变不为零时，处理理积分常数时应注意的问题。当应变不为零时，处理过程类似，只是多了一些来自非零应变的积分项。过程类似，只是多了一些来自非零应变的积分项。由应变求位移第141页/共151页Chapter 4.6由正应变表达式由正应变表达式分别对积分分别对积分 x1,x2,x3 一次得一次得代入剪应变表达式代入剪应变表达式由应变求位移第142页/共151页Chapter 4.6得到因因f2与与x2无关，由无关，由(a)式对式对x2求导得求导得由应变求位移第143页/共151页Ch

41、apter 4.6同理由同理由(c)式有式有 代入代入f1表达式得表达式得由应变求位移第144页/共151页Chapter 4.6上式对任意值上式对任意值x2均应成立，因此均应成立，因此由应变求位移第145页/共151页Chapter 4.6同理可由同理可由由由由应变求位移第146页/共151页Chapter 4.6代入由应变求位移第147页/共151页Chapter 4.6对任意对任意x1,x2,x3均应成立均应成立 于是独立常数降为六个。原式简化为于是独立常数降为六个。原式简化为由应变求位移第148页/共151页Chapter 4.6(2)式是前两节得出的刚体转动公式，比较两式可得式是前两节得出的刚体转动公式，比较两式可得积分常数积分常数a0,b0,c0就是刚体平移就是刚体平移u10,u20,u30；而；而a2,b2,c2是刚体转动是刚体转动2，3，1。由应变求位移第149页/共151页Chapter 4.6谢 谢！由应变求位移第150页/共151页感谢您的观看。第151页/共151页