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1、第第4章章 连续系统连续系统振振振振 动动动动 理理理理 论论论论 及及及及 其其其其 应应应应 用用用用4.1 引言引言 4.2 弦振动弦振动4.3 杆的纵向振动杆的纵向振动4.4 杆的扭转振动杆的扭转振动 4.5 梁的横向振动梁的横向振动4.6 薄板的横向振动薄板的横向振动4.7 展开定理展开定理 4.8 瑞利商瑞利商4.9 响应分析响应分析4.10 有限元法简介有限元法简介 第第第第4 4章章章章 连续系统连续系统连续系统连续系统 4.1 引言引言力学模型的组成力学模型的组成 连续系统的力学模型由具由分布质量、分布弹性和分布阻尼元件组成。连续系统的力学模型由具由分布质量、分布弹性和分布阻
2、尼元件组成。连续系统与离散系统的关系连续系统与离散系统的关系连续系统连续系统离散系统离散系统简化、离散化简化、离散化自由度自由度n 趋向于无穷趋向于无穷连续系统与离散系统的区别连续系统与离散系统的区别 连续系统连续系统离散系统离散系统自由度自由度连续系统与离散系统是连续系统与离散系统是同一物理系统同一物理系统的的两个数学模型两个数学模型。描述系统的变量描述系统的变量有限个有限个无穷多个无穷多个时间时间时间和空间位置时间和空间位置微分方程微分方程二阶常微分方程组二阶常微分方程组偏微分方程组偏微分方程组方方程程消消去去时时间变量后间变量后代数方程组代数方程组微分方程的边值问题微分方程的边值问题概述
3、 任何机器的零部件都是由质量和刚度连续分布的物体所组成的，也就是说这些零部件都是弹性体（连续系统continuous system）。但是在很多情况下，为了使问题简化，计算简便，常常将它们简化成多自由度的离散系统来分析。然而，在有些工程实践中，却要求对弹性体振动作严密的分析，这时就不能对它进行离散化处理。因此，对工程上常用的连续弹性体（如杆、轴、梁、板、壳，以及它们的组合系统）进行振动分析，求出它们的固有频率和主振型，计算它们的动力相应，这在实用上和理论研究上都有非常重要的意义。多自由度系统（离散系统）和弹性体（连续系统）是对同一个客观事物（机器零部件）的不同分析方法，因此它们之间必然存在一定
4、的联系和明显的区别。从动力学模型上看，多自由度系统是将零部件看成由质量、刚度集中在若干点上的离散元件所组成。如图（a）所示，它是把一个零件分成若干段，每段的质量分成两半，分别加在两端的集中质量上。两个质量之间则用不计质量、只计刚度的弹性元件相联结。这样就形成了具有n个集中质量（m1、m2、mn）和n-1个弹簧（k1、k2、kn）所组成的n个自由度的集中参数模型，其广义坐标用振动位移yi(t)表示。弹性体则将零部件看成由质量、刚度联系分布的物体所组成，如图（b）所示。当一个零件的分段数时n时，离散系统就变成联系系统，其横坐标x也从一个离散值（x1、x2、xn）变为连续函数。因此系统的广义坐标要用
5、一个由截面位置x和时间t所表达的二元函数y(x,t)来表示。这就是说，弹性体有无穷多个广义坐标，而且它们之间有一定的相互关系。从运动方程来看，多自由度系统用一个方程数与自由度相等的常系数线性微分方程组来描述；而弹性体则要用偏微分方程式来描述，其阶数决定于所研究的对象和振动形态。在本章中，我们只研究弹性体的最简单情况，即等截面的杆、轴、梁的振动。而且假设弹性体的质量和刚度均匀分布，在振动过程中弹性体不产生裂纹，即要求广义坐标的变化是连续的。此外，我们的讨论只局限在行星范围内，即认为弹性体的应力应变关系服从虎克定律（Hookes law），而且是均质各向同性的。图:多自由度系统和弹性体的动力学分析
6、(b)(a)第第第第4 4章章章章 连续系统连续系统连续系统连续系统 4.2 弦振动弦振动振动微分方程振动微分方程 由离散系统方程导出由离散系统方程导出将将连连续续的的弦弦作作离离散散系系统统考考虑虑，即即由由无无质质量量的的弦弦联联接接n个离散的质量个离散的质量m i。每个质量上所受的力为。每个质量上所受的力为F i质量质量m i的受力分析如图。的受力分析如图。对对质质量量m i在在y方方向向的的受受力力和和加速度运用牛顿第二定律：加速度运用牛顿第二定律：或或由于弦两端固定，因此有由于弦两端固定，因此有设设或或第第第第4 4章章章章 连续系统连续系统连续系统连续系统 4.2 弦振动弦振动振动
7、微分方程振动微分方程 由离散系统方程导出由离散系统方程导出或或或两边除以或两边除以D D xi当质量数无穷多时，当质量数无穷多时，D D xi趋近于零，方程可写成趋近于零，方程可写成其中，其中，由由于于用用x替替换换了了变变量量xi，因因此此对对时时间间的的全全导导数数转转换换成成偏偏导导数数，而而增增量量比用对比用对x的偏导数表示。的偏导数表示。第第第第4 4章章章章 连续系统连续系统连续系统连续系统 4.2 弦振动弦振动振动微分方程振动微分方程 从连续系统直接导出从连续系统直接导出 设长度为设长度为L、两端固定的弦上受均布载荷、两端固定的弦上受均布载荷f(x,t)，弦上，弦上x处的张力与单
8、位长度质量密度分别为处的张力与单位长度质量密度分别为T(x)和和r r(x)。根据牛顿定律，任一瞬时作用在微弦段上根据牛顿定律，任一瞬时作用在微弦段上y 方向的力与微弦段的加速度有如下关系方向的力与微弦段的加速度有如下关系 质量为质量为r r A dx的微段的微段dx，隔离体受力分析图，隔离体受力分析图展开、消去相关的项、略去展开、消去相关的项、略去dx的二次项，然后两边除以的二次项，然后两边除以dx 得得或或第第第第4 4章章章章 连续系统连续系统连续系统连续系统 4.2 弦振动弦振动自由振动自由振动 特征值问题特征值问题方程方程边界条件边界条件用分离变量法，设：用分离变量法，设：代入方程：
9、代入方程：两边同除以两边同除以Y(x)r r(x)F(t)上述方程两边分别依赖于变量上述方程两边分别依赖于变量x 和和 t，因此两边都等于常数。设常数为，因此两边都等于常数。设常数为-w w 2：第第第第4 4章章章章 连续系统连续系统连续系统连续系统 4.2 弦振动弦振动自由振动自由振动 特征值问题特征值问题从关于时间的方程从关于时间的方程 从关于位置从关于位置x 的方程可以确定位移的形状的方程可以确定位移的形状Y(x)，它必须在区间，它必须在区间0 xL 满足方程及边界条件满足方程及边界条件Y(0)=Y(L)=0。解得解得 F(t)上式为包含未知常数上式为包含未知常数w w 2的二阶常微分
10、齐次方程，非平凡解的二阶常微分齐次方程，非平凡解Y(x)存在，存在，且解中有两个积分常数，而已知边界条件只有两个。且解中有两个积分常数，而已知边界条件只有两个。从方程可以看出，如果从方程可以看出，如果 Y(x)是偏微分方程的解，那么是偏微分方程的解，那么a a Y(x)（a a是是任意常数）也是方程的解。任意常数）也是方程的解。这意味着，求解满足边界条件的偏微分方程，就是要找到满足方程这意味着，求解满足边界条件的偏微分方程，就是要找到满足方程的未知常数的未知常数w w i 和对应的函数和对应的函数Y i(x)。与离散系统对应，。与离散系统对应，w w i 2称为特征值称为特征值（即系统的固有圆
11、频率平方），而（即系统的固有圆频率平方），而Y i(x)称为特征函数（称为特征函数（主振型主振型）。）。第第第第4 4章章章章 连续系统连续系统连续系统连续系统 4.2 弦振动弦振动自由振动自由振动 特征值问题特征值问题 同样地，与离散系统对应，若特征函数同样地，与离散系统对应，若特征函数Y i(x)经正则化处理，则它经正则化处理，则它们关于质量密度和张力正交：们关于质量密度和张力正交：对初始扰动的响应对初始扰动的响应 与离散系统类似，利用正交的正则化特征函数集与离散系统类似，利用正交的正则化特征函数集Y i(x)（i=1,2,）的线性组合，可以表示连续系统在初始扰动下的响应。）的线性组合，可
12、以表示连续系统在初始扰动下的响应。代入方程，两边左乘代入方程，两边左乘Y i(x)，并对整个区间，并对整个区间 0,L 积分，利用特征积分，利用特征函数的正交性：函数的正交性：解为解为常数常数C i 和和j j i 由初始条件得到。由初始条件得到。第第第第4 4章章章章 连续系统连续系统连续系统连续系统 4.2 弦振动弦振动自由振动自由振动例例 4.1 图示均匀弦两端固定，弦中的张力为图示均匀弦两端固定，弦中的张力为常数，求解系统的特征值问题，画出系统前常数，求解系统的特征值问题，画出系统前四个特征函数，并验证正交性。四个特征函数，并验证正交性。解解 由题意，系统的由题意，系统的T 和和r r
13、 为常数，因此系统满足如下方程：为常数，因此系统满足如下方程：其中：其中：且有且有从方程可知从方程可知Y (x)是是x的简谐函数，一般可写的简谐函数，一般可写由边界条件由边界条件Y (0)0 可得可得B=0,则则由边界条件由边界条件Y (L)0 可得可得由于由于A 不为零，必有不为零，必有特征方程特征方程特征值为特征值为或或特征函数为特征函数为第第第第4 4章章章章 连续系统连续系统连续系统连续系统 4.2 弦振动弦振动自由振动自由振动例例 4.1 图示均匀弦两端固定，弦中的张力为图示均匀弦两端固定，弦中的张力为常数，求解系统的特征值问题，画出系统前常数，求解系统的特征值问题，画出系统前四个特
14、征函数，并验证正交性。四个特征函数，并验证正交性。特征函数为特征函数为正交性验证正交性验证由正则化要求由正则化要求正则化的特征函数正则化的特征函数第第第第4 4章章章章 连续系统连续系统连续系统连续系统 4.2 弦振动弦振动自由振动自由振动例例 4.1 图示均匀弦两端固定，弦中的张力为图示均匀弦两端固定，弦中的张力为常数，求解系统的特征值问题，画出系统前常数，求解系统的特征值问题，画出系统前四个特征函数，并验证正交性。四个特征函数，并验证正交性。正交性验证正交性验证三角函数积化和差三角函数积化和差积分积分第第第第4 4章章章章 连续系统连续系统连续系统连续系统 4.2 弦振动弦振动自由振动自由
15、振动例例 4.1 图示均匀弦两端固定，弦中的张力为图示均匀弦两端固定，弦中的张力为常数，求解系统的特征值问题，画出系统前常数，求解系统的特征值问题，画出系统前四个特征函数，并验证正交性。四个特征函数，并验证正交性。正交性验证正交性验证三角函数积化和差三角函数积化和差积分积分第第第第4 4章章章章 连续系统连续系统连续系统连续系统 4.3 杆的纵向杆的纵向振动振动振动微分方程振动微分方程 从连续系统直接导出从连续系统直接导出 设长度为设长度为L、两端固定的杆上受均布轴向力、两端固定的杆上受均布轴向力f(x,t)，杆上，杆上x处的轴向刚度与单位长度质量分处的轴向刚度与单位长度质量分别为别为E A
16、(x)和和m(x)。根据材料力学，任一瞬时作用在杆微段两端根据材料力学，任一瞬时作用在杆微段两端的轴向内力与轴的应变成正比的轴向内力与轴的应变成正比 取杆的微段取杆的微段dx，隔离体受力分析图，隔离体受力分析图或或 根据牛顿定律，任一瞬时作用在杆微段上的轴根据牛顿定律，任一瞬时作用在杆微段上的轴向力与杆微段的加速度有如下关系向力与杆微段的加速度有如下关系第第第第4 4章章章章 连续系统连续系统连续系统连续系统 4.3 杆的纵向杆的纵向振动振动自由振动自由振动 特征值问题特征值问题方程方程边界条件边界条件用分离变量法，设：用分离变量法，设：代入方程：代入方程：两边同除以两边同除以U(x)m (x
17、)F(t)上述方程两边分别依赖于变量上述方程两边分别依赖于变量x 和和 t，因此两边都等于常数。设常数为，因此两边都等于常数。设常数为-w w 2：第第第第4 4章章章章 连续系统连续系统连续系统连续系统 4.3 杆的纵向杆的纵向振动振动自由振动自由振动 特征值问题特征值问题从关于时间的方程从关于时间的方程 从关于位置从关于位置x 的方程可以确定位移的形状的方程可以确定位移的形状U(x)，它必须在区间，它必须在区间0 xL 满足方程及边界条件满足方程及边界条件U(0)=U(L)=0。解得解得 F(t)与弦振动的特征值问题作比较与弦振动的特征值问题作比较结论结论只要把弦振动特征值问题中的只要把弦
18、振动特征值问题中的Y(x)、T(x)和和r r(x)换作换作U(x)、EA(x)和和m(x)就得到杆作纵向振动的特征值问题表达式。就得到杆作纵向振动的特征值问题表达式。第第第第4 4章章章章 连续系统连续系统连续系统连续系统 4.3 杆的纵向杆的纵向振动振动自由振动自由振动 特征值问题特征值问题例例 4.2 图示均匀杆两端固定，杆的拉伸刚度为常图示均匀杆两端固定，杆的拉伸刚度为常数，求解系统的特征值问题。数，求解系统的特征值问题。解解 由题意，系统的由题意，系统的EA 和和m为常数，因此系统满足如下方程：为常数，因此系统满足如下方程：其中：其中：且有且有从方程可知从方程可知U (x)是是x的简
19、谐函数，一般可写的简谐函数，一般可写由边界条件由边界条件U (0)0 可得可得b=0,则则由边界条件由边界条件U (L)0 可得可得由于由于a 不为零，必有不为零，必有特征方程特征方程特征值为特征值为或或特征函数为特征函数为第第第第4 4章章章章 连续系统连续系统连续系统连续系统 4.3 杆的纵向杆的纵向振动振动自由振动自由振动 特征值问题特征值问题例例 4.3 图示均匀杆两端自由，杆的拉伸刚度为常图示均匀杆两端自由，杆的拉伸刚度为常数，求解系统的特征值问题。数，求解系统的特征值问题。解解 由题意，系统的由题意，系统的EA 和和m为常数，因此系统满足如下方程：为常数，因此系统满足如下方程：其中
20、：其中：且有且有从方程可知从方程可知U (x)是是x的简谐函数，一般可写的简谐函数，一般可写由由 x=0 处的边界条件处的边界条件可得可得a=0,则则由由x=L 处的处的边界条件可得边界条件可得由于由于b 不为零，必有不为零，必有特征方程特征方程特征值为特征值为或或特征函数为特征函数为第第第第4 4章章章章 连续系统连续系统连续系统连续系统 4.3 杆的纵向杆的纵向振动振动自由振动自由振动 特征值问题特征值问题例例 4.4 图示一端固定，另一端自由均匀杆的拉伸图示一端固定，另一端自由均匀杆的拉伸刚度为常数，求解系统的特征值问题。刚度为常数，求解系统的特征值问题。解解 由题意，系统的由题意，系统
21、的EA 和和m为常数，因此系统满足如下方程：为常数，因此系统满足如下方程：其中：其中：且有且有从方程可知从方程可知U (x)是是x的简谐函数，一般可写的简谐函数，一般可写由边界条件由边界条件U (0)0 可得可得b=0,则则由于由于a 不为零，必有不为零，必有特征方程特征方程特征值为特征值为或或特征函数为特征函数为由由x=L 处的处的边界条件可得边界条件可得第第第第4 4章章章章 连续系统连续系统连续系统连续系统 4.3 杆的纵向杆的纵向振动振动自由振动自由振动 特征值问题特征值问题讨论讨论 作纵向振动杆的边界状况、频率方程和振型函数作纵向振动杆的边界状况、频率方程和振型函数边界状况边界状况频
22、率频率振型函数振型函数两端固定两端固定两端自由两端自由一端固定一端固定一端自由一端自由第第第第4 4章章章章 连续系统连续系统连续系统连续系统 4.3 杆的纵向杆的纵向振动振动自由振动自由振动 特征值问题特征值问题例例 4.5 设图示推进轴系由长度为设图示推进轴系由长度为L、单位长度质量、单位长度质量为为m、拉伸刚度为、拉伸刚度为EA的均匀杆和质量为的均匀杆和质量为M 的螺旋的螺旋桨组成，轴系的一端由推力轴承固定，另一端自由。桨组成，轴系的一端由推力轴承固定，另一端自由。求解轴系作纵向振动时系统的特征值问题。求解轴系作纵向振动时系统的特征值问题。解解 由题意，系统的由题意，系统的EA 和和m为
23、常数，因此系统满足如下方程：为常数，因此系统满足如下方程：其中：其中：或或固定端的边界条件不变，固定端的边界条件不变，U (0)0，而自由端有，而自由端有：代入代入整理得整理得第第第第4 4章章章章 连续系统连续系统连续系统连续系统 4.3 杆的纵向杆的纵向振动振动自由振动自由振动 特征值问题特征值问题例例 4.5 设图示推进轴系由长度为设图示推进轴系由长度为L、单位长度质、单位长度质量为量为m、拉伸刚度为、拉伸刚度为EA的均匀杆和质量为的均匀杆和质量为M 的螺的螺旋桨组成，轴系的一端由推力轴承固定，另一端旋桨组成，轴系的一端由推力轴承固定，另一端自由。求解轴系作纵向振动时系统的特征值问题。自
24、由。求解轴系作纵向振动时系统的特征值问题。对于上述超越方程，只要给定系统参数，就能得到系统的特征值对于上述超越方程，只要给定系统参数，就能得到系统的特征值w w i。特征方程特征方程由边界条件由边界条件U (0)0 可得可得b=0,则则从方程可知从方程可知U (x)是是x的简谐函数，一般可写的简谐函数，一般可写边界条件边界条件由由x L 处的处的边界条件得边界条件得或或特征函数为特征函数为U i 为为第第第第4 4章章章章 连续系统连续系统连续系统连续系统 4.3 杆的纵向杆的纵向振动振动自由振动自由振动 特征值问题特征值问题讨论讨论 作纵向振动杆边界条件的讨论作纵向振动杆边界条件的讨论边界状
25、况边界状况左端左端右端右端固定固定自由自由带有弹簧带有弹簧k带有集中质量带有集中质量M第第第第4 4章章章章 连续系统连续系统连续系统连续系统 4.4 杆的扭转杆的扭转振动振动振动微分方程振动微分方程 从连续系统直接导出从连续系统直接导出 设长度为设长度为L、一端固定一端自由的杆上受均、一端固定一端自由的杆上受均布外扭矩布外扭矩M(x,t)与轴的转角与轴的转角q q 同向，杆的扭转刚同向，杆的扭转刚度与单位长度转动惯量分别为度与单位长度转动惯量分别为G IP (x)和和J(x)。根据材料力学，任一瞬时作用在杆微段两端根据材料力学，任一瞬时作用在杆微段两端的扭转内力矩之与轴的剪应变成正比的扭转内
26、力矩之与轴的剪应变成正比 取杆的微段取杆的微段dx，隔离体受力分析图，隔离体受力分析图或或 根据动量矩定律，任一瞬时作用在杆微段根据动量矩定律，任一瞬时作用在杆微段上的内外力矩与杆微段的角加速度有如下关系上的内外力矩与杆微段的角加速度有如下关系:第第第第4 4章章章章 连续系统连续系统连续系统连续系统 4.4 杆的扭转杆的扭转振动振动自由振动自由振动 特征值问题特征值问题方程方程边界条件边界条件用分离变量法，设：用分离变量法，设：代入方程：代入方程：两边同除以两边同除以Q (x)J (x)F(t)上述方程两边分别依赖于变量上述方程两边分别依赖于变量x 和和 t，因此两边都等于常数。设常数为，因
27、此两边都等于常数。设常数为-w w 2：第第第第4 4章章章章 连续系统连续系统连续系统连续系统 4.4 杆的扭转杆的扭转振动振动自由振动自由振动 特征值问题特征值问题从关于时间的方程从关于时间的方程 从关于位置从关于位置x 的方程可以确定位移的形状的方程可以确定位移的形状Q(x)，它必须在区间，它必须在区间0 xL 满足方程及边界条件。满足方程及边界条件。解得解得 F(t)与弦振动的特征值问题作比较与弦振动的特征值问题作比较结论结论只要把弦振动特征值问题中的只要把弦振动特征值问题中的Y(x)、T(x)和和r r(x)换作换作Q(x)、GIP(x)和和J(x)就得到杆作纵向振动的特征值问题表达
28、式。就得到杆作纵向振动的特征值问题表达式。第第第第4 4章章章章 连续系统连续系统连续系统连续系统 4.4 杆的扭转杆的扭转振动振动自由振动自由振动 特征值问题特征值问题例例 4.6 图示一端固定，另一端自由均匀杆的扭转图示一端固定，另一端自由均匀杆的扭转刚度为常数，求解系统的特征值问题。刚度为常数，求解系统的特征值问题。解解 由题意，系统的由题意，系统的GIP和和J为常数，因此系统满足如下方程：为常数，因此系统满足如下方程：其中：其中：且有且有从方程可知从方程可知Q (x)是是x的简谐函数，一般可写的简谐函数，一般可写由边界条件由边界条件Q (0)0 可得可得b=0,则则由于由于a 不为零，
29、必有不为零，必有特征方程特征方程特征值为特征值为或或特征函数为特征函数为由由x=L 处的处的边界条件可得边界条件可得第第第第4 4章章章章 连续系统连续系统连续系统连续系统 4.4 杆的扭转杆的扭转振动振动自由振动自由振动 特征值问题特征值问题例例 4.7 设图示轴系由长度为设图示轴系由长度为L、单位长度转动惯量、单位长度转动惯量为为J、扭转刚度为、扭转刚度为GIP的均匀杆和转动惯量为的均匀杆和转动惯量为J1和和J1的刚性薄圆盘组成，整个轴系在扭转角方向无约束。的刚性薄圆盘组成，整个轴系在扭转角方向无约束。求解轴系作扭转振动时系统的特征值问题。求解轴系作扭转振动时系统的特征值问题。解解 由题意
30、，系统的由题意，系统的GIP和和J为常数，因此系统满足如下方程：为常数，因此系统满足如下方程：其中：其中：或或两边的边界条件为：两边的边界条件为：第第第第4 4章章章章 连续系统连续系统连续系统连续系统 4.4 杆的扭转杆的扭转振动振动自由振动自由振动 特征值问题特征值问题代入代入整理得整理得例例 4.7边界条件边界条件利用利用第第第第4 4章章章章 连续系统连续系统连续系统连续系统 4.4 杆的扭转杆的扭转振动振动自由振动自由振动 特征值问题特征值问题例例 4.7分离变量后的方程分离变量后的方程从方程可知从方程可知Q (x)是是x的简谐函数，一般可写的简谐函数，一般可写整理：整理：或：或：频
31、率方程：频率方程：设：设：频率为：频率为：振型为：振型为：由边界条由边界条可得：可得：第第第第4 4章章章章 连续系统连续系统连续系统连续系统 4.4 杆的扭转杆的扭转振动振动自由振动自由振动 特征值问题特征值问题例例 4.7 讨论讨论 1频率为：频率为：频率方程为：频率方程为：即：即：相当于两端自由的圆轴作自由振动。相当于两端自由的圆轴作自由振动。振型为：振型为：讨论讨论 2 J 1和和J2 很大很大相当于忽略轴质量的两自由度系统的非零频率。相当于忽略轴质量的两自由度系统的非零频率。例4.8 如图所示的一端固定，一端带有一个圆盘的圆轴，试计算轴系扭转的固有频率和主振型。边界条件是，在固定端转
32、角等于零，带圆盘这一端，则要求轴受到的扭矩M等于转子的惯性力矩。用数学式表达如下：解：扭转解为:代入初始条件得:A=0，即若设圆轴对轴线的转动惯量I为，则有：代入得：即图示系统的频率方程。令 得 作出以下两条曲线：两条曲线的交点 即可求出系统的第阶固有频率 。根据正切函数的性质，我们可以在横坐标上每相隔一个值就可以作出一条的曲线 。因此可以得到曲线y1与y2的许多交点 、，所以即求出系统的各阶固有频率。对应于各阶固有频率 就可以求出系统的各阶主振型：41 设图示轴系由长度为L、单位长度转动惯量为J、扭转刚度为GIP的均匀杆和转动惯量为J2的刚性薄圆盘组成，轴系一端固定。求解轴系作扭转振动时系统
33、的特征值问题。第第第第4 4章章章章 连续系统连续系统连续系统连续系统 习题习题第第第第4 4章章章章 连续系统连续系统连续系统连续系统 4.5 梁的横向振动梁的横向振动振动微分方程振动微分方程 从连续系统直接导出从连续系统直接导出 设长度为设长度为L 的细长梁（梁的长度与截面高度比大于的细长梁（梁的长度与截面高度比大于10）上受上受y方向的均布载荷方向的均布载荷f(x,t)，梁的弯曲刚度与单位长度质，梁的弯曲刚度与单位长度质量分别为量分别为E I (x)和和m(x)。取梁的微段取梁的微段dx，作隔离体受力分析图，作隔离体受力分析图 根据牛顿第二定律，任一瞬时作用在梁微段上根据牛顿第二定律，任
34、一瞬时作用在梁微段上的剪力和外力与梁微段的加速度有如下关系的剪力和外力与梁微段的加速度有如下关系根据梁微段的力矩平衡，有如下关系根据梁微段的力矩平衡，有如下关系当梁的截面尺寸与长度相比较小时，根据材料力学，当梁的截面尺寸与长度相比较小时，根据材料力学，梁的弯矩与变形的关系为梁的弯矩与变形的关系为忽略忽略dx的二次项：的二次项：代入上述力平衡方程，得代入上述力平衡方程，得第第第第4 4章章章章 连续系统连续系统连续系统连续系统 4.5 梁的横向振动梁的横向振动振动微分方程振动微分方程 从连续系统直接导出从连续系统直接导出把弯矩把弯矩M与位移与位移y 的关系代入方程，得的关系代入方程，得 梁的横向
35、振动在梁的横向振动在0至至L的区间应满足上述的区间应满足上述Euler-Bernoulli梁方程梁方程（包含对位置的四阶导数），在边界应满足一定的边界条件。（包含对位置的四阶导数），在边界应满足一定的边界条件。常见的边界条件有：常见的边界条件有：固支固支铰支铰支自由自由梁的运动方程说明：梁的运动方程说明：梁的横向振动是指细长杆作垂直轴线方向的振动。在分析这种梁的横向振动是指细长杆作垂直轴线方向的振动。在分析这种振动时，作出以下几点假设：振动时，作出以下几点假设：（1）梁的各截面的中心主轴在同一平面内，且在次平面内作横向振动。）梁的各截面的中心主轴在同一平面内，且在次平面内作横向振动。（2）梁的
36、横截面尺寸与其长度之比较小，可忽略转动惯量和剪切变形）梁的横截面尺寸与其长度之比较小，可忽略转动惯量和剪切变形的影响。的影响。（3）梁的横向振动符合小挠度平面弯曲的假设，即横向振动的振幅很）梁的横向振动符合小挠度平面弯曲的假设，即横向振动的振幅很小，在线性范围以内。小，在线性范围以内。这种只考虑由弯曲引起的变形，而不计由剪切引起的变形及转动惯量这种只考虑由弯曲引起的变形，而不计由剪切引起的变形及转动惯量的影响的梁的弯曲振动的力学模型，称为欧拉伯努利梁（的影响的梁的弯曲振动的力学模型，称为欧拉伯努利梁（Eular-Bernoulli beam）。）。第第第第4 4章章章章 连续系统连续系统连续系
37、统连续系统 4.5 梁的横向振动梁的横向振动振动微分方程振动微分方程 旋转惯量与剪切变形的影响旋转惯量与剪切变形的影响 设长度为设长度为L 的等截面梁上受的等截面梁上受y方向的均布载荷方向的均布载荷f(x,t)，梁的弯曲刚度、剪切模量、截面积和质量密度分别为梁的弯曲刚度、剪切模量、截面积和质量密度分别为E I 、G、A和和r r 。当梁被横截面细分成较短的部分时，旋转惯当梁被横截面细分成较短的部分时，旋转惯量与剪切变形对高频振型的影响必须考虑。量与剪切变形对高频振型的影响必须考虑。取梁取梁的微段的微段dx，作隔离体受力分析图。，作隔离体受力分析图。根据根据DAlembert原理，忽略原理，忽略
38、dx的二次项有如下的二次项有如下关系：关系：挠度曲线的斜率是剪力与弯矩共同作用的结果，即：挠度曲线的斜率是剪力与弯矩共同作用的结果，即：式中：式中：y为与截面形状有关的因子。为与截面形状有关的因子。第第第第4 4章章章章 连续系统连续系统连续系统连续系统 4.5 梁的横向振动梁的横向振动振动微分方程振动微分方程 旋转惯量与剪切变形的影响旋转惯量与剪切变形的影响将上述关系综合并整理得：将上述关系综合并整理得：忽略剪切变形，得到仅考虑旋转惯量的方程：忽略剪切变形，得到仅考虑旋转惯量的方程：系统作自由振动时：系统作自由振动时：Timoshenko梁振动方程梁振动方程第第第第4 4章章章章 连续系统连
39、续系统连续系统连续系统 4.5 梁的横向振动梁的横向振动自由振动自由振动 特征值问题特征值问题对细长梁，方程为：对细长梁，方程为：设：设：两边同除以两边同除以Y(x)m (x)F(t)上述方程两边分别依赖于变量上述方程两边分别依赖于变量x 和和 t，因此两边都等于常数。设常数为，因此两边都等于常数。设常数为-w w 2：特征值问题为：特征值问题为：第第第第4 4章章章章 连续系统连续系统连续系统连续系统 4.5 梁的横向振动梁的横向振动自由振动自由振动 特征值问题特征值问题解：解：由题意特征值问题为：由题意特征值问题为：例例 4.9 图示均匀细长梁两端固定，其弯曲刚度图示均匀细长梁两端固定，其
40、弯曲刚度EI为常数，求解系统的特征值问题。为常数，求解系统的特征值问题。其中，其中，方程的解有以下形式：方程的解有以下形式：对固支的梁，边界条件有：对固支的梁，边界条件有：由四个边界条件得：由四个边界条件得：消去消去a、b、c、d、，可得：，可得：特征方程特征方程特征值由数值解获得特征值由数值解获得其中其中特征函数为特征函数为第第第第4 4章章章章 连续系统连续系统连续系统连续系统 4.5 梁的横向振动梁的横向振动自由振动自由振动 特征值问题特征值问题解：解：由题意特征值问题为：由题意特征值问题为：例例 4.10 图示均匀细长悬臂梁一端固定、一端自由，其弯曲图示均匀细长悬臂梁一端固定、一端自由
41、，其弯曲刚度刚度EI为常数，求解系统的特征值问题。为常数，求解系统的特征值问题。其中，其中，方程的解有以下形式：方程的解有以下形式：对悬臂梁，边界条件有：对悬臂梁，边界条件有：由由x=0处的边界条件得：处的边界条件得：则则Y(x)可改写为：可改写为：由由x=L处的边界条件得：处的边界条件得：a和和b有非零解的充要条件为：有非零解的充要条件为：整理得整理得特征方程特征方程：从数值解得到特征值：从数值解得到特征值：第第第第4 4章章章章 连续系统连续系统连续系统连续系统 4.5 梁的横向振动梁的横向振动自由振动自由振动 特征值问题特征值问题例例 4.10 图示均匀悬臂梁一端固定、一端自由，其弯曲刚
42、度图示均匀悬臂梁一端固定、一端自由，其弯曲刚度EI为常数，求解为常数，求解系统的特征值问题。系统的特征值问题。特征向量为：特征向量为：第第第第4 4章章章章 连续系统连续系统连续系统连续系统 4.5 梁的横向振动梁的横向振动自由振动自由振动 特征值问题特征值问题解：解：由题意特征值问题为：由题意特征值问题为：例例 4.11 图示均匀细长梁两端铰支，其弯曲刚度图示均匀细长梁两端铰支，其弯曲刚度EI为常数，求解系统的特征值问题。为常数，求解系统的特征值问题。其中，其中，方程的解有以下形式：方程的解有以下形式：对铰支的梁，边界条件有：对铰支的梁，边界条件有：由由x=0处的边界条件得：处的边界条件得：
43、特征方程特征方程：则则特征值为特征值为正则化的特征函数为正则化的特征函数为由由x=L处的边界条件得：处的边界条件得：第第第第4 4章章章章 连续系统连续系统连续系统连续系统 4.5 梁的横向振动梁的横向振动自由振动自由振动 特征值问题特征值问题均匀梁的频率方程、特征函数和特征值均匀梁的频率方程、特征函数和特征值边界条件边界条件频率方程、特征函数频率方程、特征函数第第第第4 4章章章章 连续系统连续系统连续系统连续系统 4.5 梁的横向振动梁的横向振动自由振动自由振动 特征值问题特征值问题均匀梁的频率方程、特征函数和特征值均匀梁的频率方程、特征函数和特征值边界条件边界条件频率方程、特征函数频率方
44、程、特征函数第第第第4 4章章章章 连续系统连续系统连续系统连续系统 4.5 梁的横向振动梁的横向振动自由振动自由振动 特征值问题特征值问题均匀梁的频率方程、特征函数和特征值均匀梁的频率方程、特征函数和特征值边界条件边界条件频率方程、特征函数频率方程、特征函数第第第第4 4章章章章 连续系统连续系统连续系统连续系统 4.5 梁的横向振动梁的横向振动连续梁的振动连续梁的振动图示任意相邻两跨连续梁，假定每跨都有均布图示任意相邻两跨连续梁，假定每跨都有均布质量与刚度。对任意跨质量与刚度。对任意跨 i,可利用均匀铰支梁的可利用均匀铰支梁的解写出其振型函数：解写出其振型函数：其对位置的一阶和二阶导数为：
45、其对位置的一阶和二阶导数为：边界条件为：边界条件为：由上述边界条件得：由上述边界条件得：第第第第4 4章章章章 连续系统连续系统连续系统连续系统 4.5 梁的横向振动梁的横向振动连续梁的振动连续梁的振动得：得：将其中如下的两式相加减并代入式将其中如下的两式相加减并代入式或或则则其中其中第第第第4 4章章章章 连续系统连续系统连续系统连续系统 4.5 梁的横向振动梁的横向振动将式将式 的下标增加的下标增加1：连续梁的振动连续梁的振动代入代入得得或或由边界条件由边界条件 和和 得得第第第第4 4章章章章 连续系统连续系统连续系统连续系统 4.5 梁的横向振动梁的横向振动连续梁的振动连续梁的振动将式
46、将式 的下标减的下标减1或加或加1，代入下式：，代入下式：得到动力三弯矩方程：得到动力三弯矩方程：当构件由相同的材料制成，且各跨截面积相等，则动力三弯矩当构件由相同的材料制成，且各跨截面积相等，则动力三弯矩方程可简化成：方程可简化成：梁的横向受迫振动梁的横向受迫振动 研究梁的受迫振动，关键在于求其外界激振力作用研究梁的受迫振动，关键在于求其外界激振力作用下的动力响应，而求弹性体的动力响应也可以用模态分析下的动力响应，而求弹性体的动力响应也可以用模态分析法，这是因为弹性体也存在主振型正交的这一特性。但在法，这是因为弹性体也存在主振型正交的这一特性。但在弹性体中主振型正交性的表达形式却与多自由度相同有所弹性体中主振型正交性的表达形式却与多自由度相同有所不同。下面我们就先来研究弹性体主振型的正交性，然后不同。下面我们就先来研究弹性体主振型的正交性，然后介绍用模态分析法来求梁的动力响应的方法。介绍用模态分析法来求梁的动力响应的方法。