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1、排列组合解法 排列组合问题联系实际生排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。的方法来处理。一一.特殊元素和特殊位置优先策略特殊元素和特殊位置优先策略例例1.1.由由0,1,2,3,4,50,1,2,3,4,5可以组成多少个可以组成多少个没有重复数字五位奇数没有重复数字五位奇数.解解:由于末位
2、和首位有特殊要求由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排应该优先安排,以免不合要求的元素占了以免不合要求的元素占了这两个位置这两个位置.先排末位共有先排末位共有然后排首位共有然后排首位共有最后排其它位置共有最后排其它位置共有由分步计数原理得由分步计数原理得位位置置分分析析法法和和元元素素分分析析法法是是解解决决排排列列组组合合问问题题最最常常用用也也是是最最基基本本的的方方法法,若若以以元元素素分分析析为为主主,需需先先安安排排特特殊殊元元素素,再再处处理理其其它它元元素素.若若以以位位置置分分析析为为主主,需需先先满满足足特特殊殊位位置置的的要要求求,再再处处理理其其它它位位置置。若若有有多多
3、个个约约束束条条件件，往往往往是是考考虑虑一一个个约约束束条条件件的的同同时时还还要要兼兼顾顾其其它它条件条件练习题练习题:7:7种不同的花种在排成一列的花种不同的花种在排成一列的花盆里盆里,若两种葵花不种在中间，也不种若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二二.相邻元素捆绑策略相邻元素捆绑策略例例2.72.7人站成一排人站成一排 ,其中甲乙相邻且其中甲乙相邻且丙丁相邻丙丁相邻,共有多少种不同的排法共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个成一个复合元素
4、，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有数原理可得共有 种不同种不同的排法。的排法。要要求求某某几几个个元元素素必必须须排排在在一一起起的的问问题题,可可以以用用捆捆绑绑法法来来解解决决问问题题.即即将将需需要要相相邻邻的的元元素素合合并并为为一一个个元元素素,再再与与其其它它元元素素一一起起作作排排列列,同同时时要要注意合并元素内部也必须排列注意合并元素内部也必须排列.练习题练习题:某人射击某人射击8 8枪，命中枪，命中4 4枪，枪，4 4枪命中恰好枪命中恰好有有
5、3 3枪连在一起的情形的不同种数为枪连在一起的情形的不同种数为?三三.不相邻问题插空策略不相邻问题插空策略例例3.3.一个晚会的节目有一个晚会的节目有4 4个舞蹈个舞蹈,2,2个相个相声声,3,3个独唱个独唱,舞蹈节目不能连续出场舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？则节目的出场顺序有多少种？解解:分两步进行第一步排分两步进行第一步排2 2个相声和个相声和3 3个独唱共有个独唱共有 种，第二步将种，第二步将4 4舞蹈插入第一步排好的舞蹈插入第一步排好的6 6个个元素中间包含首尾两个空位共有元素中间包含首尾两个空位共有 种种不同的方法不同的方法,由分步计数原理由分步计数原理,节目的不同
6、顺序节目的不同顺序共有共有 种。种。练习题：某班新年联欢会原定的练习题：某班新年联欢会原定的5 5个节目已排成节个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为？那么不同插法的种数为？元元素素相相离离问问题题可可先先把把没没有有位位置置要要求求的的元元素素进进行行排队再把不相邻元素插入中间和两端排队再把不相邻元素插入中间和两端四四.重排问题求幂策略重排问题求幂策略例例4.4.把把6 6名实习生分配到名实习生分配到7 7个车间实习个车间实习,
7、共有多少共有多少种不同的分法种不同的分法解解:完成此事共分六步完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有把第一名实习生分配到车间有 7 7 种分法种分法.把第二把第二名实习生分配到车间也有名实习生分配到车间也有7 7种分依此类推种分依此类推,由分步由分步计数原理共有计数原理共有种不同的排法种不同的排法允许重复的排列问题的特点是以元素为研究允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地各个元素的位置，一般地n n不同的元素不同的元素没有没有限制限制地安排在地安排在mm个位置上的排列数为个位置上的排列数为
8、种种练习题：练习题：某班新年联欢会原定的某班新年联欢会原定的5 5个节目已排成节目单，开演前又个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为那么不同插法的种数为?2.2.某某8 8层大楼一楼电梯上来层大楼一楼电梯上来8 8名乘客人名乘客人,他们到各自的一层他们到各自的一层下电梯下电梯,下电梯的方法下电梯的方法?五五.环排问题线排策略环排问题线排策略例例6.86.8人围桌而坐人围桌而坐,共有多少种坐法共有多少种坐法?解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没
9、有首尾之分，所以固定一人坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人 并从此位置把圆形展成直线其余并从此位置把圆形展成直线其余7 7人人 共有（共有（8-18-1）！种排法即）！种排法即 !一一般般地地,n个个不不同同元元素素作作圆圆形形排排列列,共共有有(n-1)!种种排排法法.如如果果从从n个个不不同同元元素素中中取取出出m个个元元素素作作圆形排列共有圆形排列共有练习题：练习题：6 6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈六、数字排序问题查字典策略六、数字排序问题查字典策略 例例6 6由由0 0，1 1，2 2，3 3，4 4，5 5六个数字可以组成多六个数字可以组成多
10、 少个没有重复的比少个没有重复的比324105324105大的数？大的数？解解:数数字字排排序序问问题题可可用用查查字字典典法法,查查字字典典的的法法应应从从高高位位向向低低位位查查,依依次次求求出出其其符符合合要要求求的的个个数数,根据分类计数原理求出其总数。根据分类计数原理求出其总数。练习：由练习：由0 0，1 1，2 2，3 3这四个数字可以组成这四个数字可以组成没有重复数字且不能被没有重复数字且不能被5 5整除的四位数的个整除的四位数的个数是？数是？七七.多排问题直排策略多排问题直排策略例例7.87.8人排成前后两排人排成前后两排,每排每排4 4人人,其中甲乙在前排其中甲乙在前排,丙在
11、后排丙在后排,共有多少排法共有多少排法解解:8:8人排前后两排人排前后两排,相当于相当于8 8人坐人坐8 8把椅子把椅子,可以把椅子排成可以把椅子排成一排一排.甲乙甲乙2 2 个特殊元素有个特殊元素有 种种,再排后再排后4 4个位置上的特殊个位置上的特殊元素丙有元素丙有 种种,其余的其余的5 5人在人在5 5个位置上任意排列有个位置上任意排列有 种种,则共有则共有 种。种。一般地一般地,元素分成多排的排列问题元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑可归结为一排考虑,再分段研究再分段研究.练习题：有两排座位，练习题：有两排座位，安排安排2323人就坐，人就坐，前排前排1111个座位，后个座位，后
12、排排1212个座位，现个座位，现甲乙甲乙2 2人规定坐在前排，丙丁人规定坐在前排，丙丁2 2人规定坐在人规定坐在后排，那么不同排法的种数为多少？后排，那么不同排法的种数为多少？八八.排列组合混合问题先选后排策略排列组合混合问题先选后排策略例例8.8.有有5 5个不同的小球个不同的小球,装入装入4 4个不同的盒内个不同的盒内,每盒至每盒至少装一个球少装一个球,共有多少不同的装法共有多少不同的装法.解解:第一步从第一步从5 5个球中选出个球中选出2 2个组成复合元素共有个组成复合元素共有 种方法种方法.再把再把4 4个元素个元素(包含一个复合元素包含一个复合元素)装入装入4 4个不个不同的盒内有同
13、的盒内有 种方法，根据分步计数原理种方法，根据分步计数原理装球的方法共有装球的方法共有 解决排列组合混合问题解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导先选后排是最基本的指导思想思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗此法与相邻元素捆绑策略相似吗?练习题：一个班有练习题：一个班有6 6名战士名战士,其中正副班长各其中正副班长各1 1人现从中选人现从中选4 4人完成四种不同的任务人完成四种不同的任务,每人完成每人完成一种任务一种任务,且正副班长有且只有且正副班长有且只有1 1人参加人参加,则不同则不同的选法有多少种？的选法有多少种？九九.平均分组问题除法策略平均分组问题除法策略例例9.69.6本不同的
14、书平均分成本不同的书平均分成3 3堆堆,每堆每堆2 2本共有多少本共有多少分法？分法？解解:分三步取书得分三步取书得 种方法种方法,但这里出现重但这里出现重复计数的现象复计数的现象,不妨记不妨记6 6本书为本书为ABCDEFABCDEF，若第一步，若第一步取取AB,AB,第二步取第二步取CD,CD,第三步取第三步取EFEF该分法记为该分法记为(AB,CD,EF),(AB,CD,EF),则则 中还有中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,
15、AB,CD)CD)共有共有 种取法种取法,而这些分法仅是而这些分法仅是(AB,CD,EF)(AB,CD,EF)一种分法一种分法,故共有故共有 种分法。种分法。平均分成的组平均分成的组,不管它们的顺序如何不管它们的顺序如何,都是一种情况都是一种情况,所以分所以分组后要一定要除以组后要一定要除以 (n (n为均分的组数为均分的组数)避免重复计数。避免重复计数。练习题：练习题：1 1 将将1313个球队分成个球队分成3 3组组,一组一组5 5个队个队,其它两组其它两组4 4个队个队,有多少分法？有多少分法？2.102.10名学生分成名学生分成3 3组组,其中一组其中一组4 4人人,另两组另两组3 3
16、人但正副班长不能分在人但正副班长不能分在同一组同一组,有多少种不同的分组方法有多少种不同的分组方法？3.3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入入4 4名学生，要安排到名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排该年级的两个班级且每班安排2 2名，则不同的安排方案种数为名，则不同的安排方案种数为_十十.元素相同问题隔板策略元素相同问题隔板策略例例10.10.有有1010个运动员名额，分给个运动员名额，分给7 7个班，每班至少一个班，每班至少一个个,有多少种分配方案？有多少种分配方案？解：因为解：因为1010个名额没有差别，把它们排成一排。个名额没有差别，把
17、它们排成一排。相邻名额之间形成个空隙。在个空档中选个相邻名额之间形成个空隙。在个空档中选个位置插个隔板，可把名额分成份，对应地分给位置插个隔板，可把名额分成份，对应地分给个班级，每一种插板方法对应一种分法共有个班级，每一种插板方法对应一种分法共有 种种分法。分法。将将n n个相同的元素分成个相同的元素分成mm份（份（n n，mm为正整数）为正整数）,每份至少一个元素每份至少一个元素,可以用可以用m-1m-1块隔板，插入块隔板，插入n n个个元素排成一排的元素排成一排的n-1n-1个空隙中，所有分法数为个空隙中，所有分法数为 练习题：练习题：1010个相同的球装个相同的球装5 5个盒中个盒中,每盒至少一有多少装法每盒至少一有多少装法？