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1、体积体积= =平顶柱体的体积计算平顶柱体的体积计算底面积底面积高高曲边梯形面积的求法曲边梯形面积的求法“分割、近似、求和、取极限分割、近似、求和、取极限”的思想方法的思想方法曲顶柱体的体积计算曲顶柱体的体积计算以直线代曲线以直线代曲线以平面代曲面以平面代曲面 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、分割、求和、取极限取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示（2 2）近似）近似 ) , (iii ) , 2, , 1(ni ，用以，用以) , (iif 为高，为高， i 为底的平顶柱体的体积为底的平顶柱体的体积iiif ) , (近似代替近似代替个第i 小曲顶柱体的体积，
2、即小曲顶柱体的体积，即 iiiifV ) , () , 2, , 1(ni 。 （1 1）分分割割。 将将D 区区域域任任意意分分成成个 n子子域域：1 ，2，n 。 并并以以i ) , 2, , 1(ni 表表示示个个第第i子子域域的的面面积积。然然后后以以每每个个 子子域域的的边边界界曲曲线线为为准准线线，作作母母线线平平行行于于轴轴 z的的柱柱面面，这这些些 柱柱面面就就把把原原来来的的曲曲顶顶柱柱体体分分成成 n 个个小小的的曲曲顶顶柱柱体体。 iiiifV ) , (xzyoDi ),(ii （4 4）取极限）取极限 设设max1的直径的直径inid ，当，当0d时上面和式的时上面和
3、式的 极限就是曲顶柱体的体积，即极限就是曲顶柱体的体积，即 iniiidfV 10) ,(lim。 （3 3）求求和和 将将这这 n 个个小小平平顶顶柱柱体体的的体体积积相相加加，得得到到原原曲曲顶顶柱柱体体 体体积积的的近近似似值值，即即 iniiiniifVV 11) ,( xzyoD),(yxfz i),(ii2 2平平面面薄薄片片的的质质量量 设设有有一一平平面面薄薄片片在在xoy平平面面上上占占有有区区域域 D，其其面面密密度度 为为 D 上上的的连连续续函函数数) ,(yx ，求求该该平平面面薄薄片片的的质质量量 m。 xyoD 均均匀匀薄薄片片的的质质量量 面面密密度度薄薄片片面
4、面积积 （1 1）分分割割 将将薄薄片片( (即即区区域域 D) )任任意意分分成成 n 个个子子域域：n ,21， 并并以以i ) , 2, , 1(ni 表表示示第第 i 个个子子域域的的面面积积。 （2 2）近近似似 ) , (iii ) , 2, , 1(ni ， 第第i块块薄薄片片的的质质量量的的近近似似值值为为 im) , (ii i 。 xyoD) , (ii i （3 3）求求和和 将将这这 n 个个看看作作质质量量分分布布均均匀匀的的小小块块的的质质量量相相加加，得得到到 整整个个平平面面薄薄片片质质量量的的近近似似值值，即即 iniiiniimm 11) ,( （4 4）取
5、极限）取极限 设设 max 1的直径的直径inid ，当，当0d上面和式的极限上面和式的极限 就是所求薄片的质量，即就是所求薄片的质量，即 iniiidm 10) ,(lim。 3 3二重积分的定义二重积分的定义定义定义 设设) ,(yxf是有界闭区域是有界闭区域 D 上的有界函数。将闭上的有界函数。将闭 区域区域 D 任意分成任意分成 n 个小闭区域个小闭区域: :i ) 3, , 2 , 1( i，并，并 以以i 表示表示个个第第i小闭区域的面积。小闭区域的面积。 ) , (iii ， 作和式作和式 iniiif 1) ,(。若当各小闭区域的最大直径。若当各小闭区域的最大直径 0d时，和式
6、的极限存在，则称此极限为时，和式的极限存在，则称此极限为) ,(yxf在闭在闭 区域区域 D 上的二重积分，记作上的二重积分，记作 Ddyxf),(，即，即 iniiidDfdyxf 10) ,(lim),( 由由二二重重积积分分的的定定义义，曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积就就是是柱柱体体的的 高高0) ,( yxf在在底底面面区区域域 D 上上的的二二重重积积分分，即即 DdyxfV),(。 非均匀分布的平面薄片的质量，就是它的面密度非均匀分布的平面薄片的质量，就是它的面密度 ) ,(yx 在薄片所占有的区域在薄片所占有的区域 D 上的二重积分，即上的二重积分，即 Ddyxm),(。 积分和积
7、分和被积表达式被积表达式面积元素面积元素.),( lim ),( 10iniiidDfdyxf 积积分分区区域域被积函数被积函数积分变量积分变量 （1 1）当当0) ,( yxf时时，曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积 DdyxfV),(。 xzo),(yxfz yD4.二重积分的几何意义二重积分的几何意义（2 2）当当0) ,( yxf时时，曲曲顶顶柱柱体体在在xoy平平面面的的下下方方， 曲曲柱柱体体的的体体积积 DdyxfV),(，或或 DdyxfV),(。 （3 3）当）当) ,(yxf在在上D有正有负时，若规定在有正有负时，若规定在xoy平面上平面上 方的柱体体积取正号，在方的柱体体积取正
8、号，在xoy平面下方的柱体体积取负号，平面下方的柱体体积取负号， 则则 Ddyxf),(的值就是这些上下方柱体体积的代数和。的值就是这些上下方柱体体积的代数和。 性性质质 1 1 DDdyxfkdyxkf),(),(（k 为为常常数数） 。 性性质质 2 2 DDDdyxgdyxfdyxgyxf),(),(),(),(。 性性质质 4 4 若若在在D上上1) ,( yxf， 的的面面积积为为且且 D， 则则 Dd。 .对对积积分分区区域域具具有有可可加加性性这这一一性性质质表表明明二二重重积积分分9 9. .1 1. .2 2 二二重重积积分分的的性性质质 性质性质 3 3 若若DDD 21，
9、 21DD ，则，则 21),(),(),(DDDdyxfdyxfdyxf。 推推论论： DDdyxfdyxf),(),(。 性性质质 5 5 若若在在D上上) ,() ,(yxgyxf ，则则 DDdyxgdyxf),(),(。 性性质质 6 6若若 M 和和 m 分分别别为为) ,(yxf在在闭闭区区域域 D 上上的的最最大大值值和和 最最小小值值， 为为D的的面面积积，则则 MdyxfmD),(。 ) ,() ,() ,(yxfyxfyxf 设设) ,(yxf在闭区域在闭区域 D 上连续，记上连续，记的的面面积积为为 D ，则在，则在 D上至少存在一点上至少存在一点) ,( ，使得，使得
10、 ),(),(fdyxfD。 证证明明：显显然然0 ，由由性性质质 6 6 中中不不等等式式 MdyxfmD),(， 得得MdyxfmD ),(1， 根根据据闭闭区区域域上上连连续续函函数数的的介介值值定定理理，在在D上上至至少少存存在在一一点点 ) ,( ，使使得得),(),(1 fdyxfD， 从从而而 ),(),(fdyxfD。 通通常常称称 Ddyxf),(1为为) , (yxf在在区区域域 D 上上的的平平均均值值。 性质性质7（二重积分中值定理二重积分中值定理） D： 4222yxx； 或或D： yxyy 40 。 例例题题试试用用二二重重积积分分表表示示由由椭椭圆圆抛抛物物面面222yxz ，抛抛 物物柱柱面面2xy 及及平平面面4 y，0 z所所围围成成的的曲曲顶顶柱柱体体的的 体体积积V，并并用用不不等等式式组组表表示示曲曲顶顶柱柱体体在在xoy面面上上的的底底。 解解： dyxVD )2(22， o4Dxzyxy2xy 4 y2 24Do