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1、第2节收敛数列的性质第1页，此课件共33页哦定理2.1(唯一性)若数列收敛,则其极限唯一.证由定义由定义,一、一、收敛数列的基本性质收敛数列的基本性质故极限唯一故极限唯一.教材教材P7 反证法反证法第2页，此课件共33页哦相应的相应的,可以给出有可以给出有下界下界的定义的定义定义2.1(数列有界的定义)若存在一个实数M，对数列所有的项都满足,第3页，此课件共33页哦例如例如,有界有界无界无界一个数列即有上界又有下界一个数列即有上界又有下界,则称为则称为有界数列有界数列.第4页，此课件共33页哦定理定理2.22.2 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界.证证由定义由定义,注：有界未必一定收敛。（
2、注：有界未必一定收敛。（有界性是收敛的必要条件）有界性是收敛的必要条件）推论推论 无界无界数列必定数列必定发散发散.第5页，此课件共33页哦定理2.3 见教材见教材P8图形图形第6页，此课件共33页哦证明 第7页，此课件共33页哦注第8页，此课件共33页哦定理2.4二、二、极限的四则运算极限的四则运算第9页，此课件共33页哦证证第10页，此课件共33页哦第11页，此课件共33页哦第12页，此课件共33页哦说明说明1 1 有有+无无=无，无，无无+无无=不定；不定；2 2数学分析巩固与指导数学分析巩固与指导第13页，此课件共33页哦例1:解第14页，此课件共33页哦例2解第15页，此课件共33页
3、哦三、夹逼定理证定理2.5第16页，此课件共33页哦上两式同时成立上两式同时成立,第17页，此课件共33页哦例例3-13-1解解由夹逼定理得由夹逼定理得第18页，此课件共33页哦证证例例4第19页，此课件共33页哦第20页，此课件共33页哦例5.则则证明：由夹逼定理，由夹逼定理，由不等式第21页，此课件共33页哦定义定义2.2 数列数列中任意抽取中任意抽取无限多项无限多项并并保持保持这些项在这些项在原数列中的先后次序原数列中的先后次序，这样得到的一，这样得到的一个数列称为原数列个数列称为原数列的的子数列子数列，简称简称子列子列.(教材教材P12)四、子列极限第22页，此课件共33页哦取取则当则
4、当，证证设设是数列是数列的任一子列，由的任一子列，由故对于任意给定的正数故对于任意给定的正数存在着正整数存在着正整数当当时时，成立。成立。一子数列也收敛于一子数列也收敛于 .定理2.6 如果数列如果数列收敛于收敛于，那么它的任，那么它的任第23页，此课件共33页哦若数列的一个子列发散或有两个子列收敛于不同的极限,一定发散.(教材教材P12)第24页，此课件共33页哦数列数列收敛于收敛于的奇数的奇数项项子列子列和偶数和偶数项项子列子列都收都收敛敛于于a。对于对于单调数列单调数列,有一收敛子列则原数列收敛有一收敛子列则原数列收敛.对于对于单调数列单调数列,数列收敛数列收敛的充分必要条件是的充分必要
5、条件是有一收敛子列有一收敛子列.(证明在单调有界定理证明在单调有界定理)或或结论结论1 1结论结论2 2第25页，此课件共33页哦五、无穷小定义定义2.3 定理定理2.7 第26页，此课件共33页哦分析：分析：则所证结论转化为则所证结论转化为第27页，此课件共33页哦证明：证明：第28页，此课件共33页哦第29页，此课件共33页哦（练习）（练习）（夹逼定理，调和平均（夹逼定理，调和平均几何平均几何平均 算术平均算术平均）第30页，此课件共33页哦P14 7.证明证明证明：由例6第31页，此课件共33页哦应记住的结果：应记住的结果：第32页，此课件共33页哦 六、小结1 1、收敛数列的性质、收敛数列的性质:唯一性、有界性、不等式性质唯一性、有界性、不等式性质2 2、极限的四则运算、极限的四则运算5 5、无穷小、无穷小3、夹逼准则逼准则 (两边夹法则两边夹法则)4 4、子列极限、子列极限第33页，此课件共33页哦