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1、第2节收敛数列的性质现在学习的是第1页，共33页定理2.1(唯一性)若数列收敛,则其极限唯一.证由定义由定义,一、一、收敛数列的基本性质收敛数列的基本性质故极限唯一故极限唯一.教材教材P7 反证法反证法现在学习的是第2页，共33页相应的相应的,可以给出有可以给出有下界下界的定义的定义定义2.1(数列有界的定义)若存在一个实数M，对数列所有的项都满足,现在学习的是第3页，共33页例如例如,有界有界无界无界一个数列即有上界又有下界一个数列即有上界又有下界,则称为则称为有界数列有界数列.现在学习的是第4页，共33页定理定理2.22.2 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界.证证由定义由定义,注：有界
2、未必一定收敛。（注：有界未必一定收敛。（有界性是收敛的必要条件）有界性是收敛的必要条件）推论推论 无界无界数列必定数列必定发散发散.现在学习的是第5页，共33页定理2.3 见教材见教材P8图形图形现在学习的是第6页，共33页证明 现在学习的是第7页，共33页注现在学习的是第8页，共33页定理2.4二、二、极限的四则运算极限的四则运算现在学习的是第9页，共33页证证现在学习的是第10页，共33页现在学习的是第11页，共33页现在学习的是第12页，共33页说明说明1 1 有有+无无=无，无，无无+无无=不定；不定；2 2数学分析巩固与指导数学分析巩固与指导现在学习的是第13页，共33页例1:解现在
3、学习的是第14页，共33页例2解现在学习的是第15页，共33页三、夹逼定理证定理2.5现在学习的是第16页，共33页上两式同时成立上两式同时成立,现在学习的是第17页，共33页例例3-13-1解解由夹逼定理得由夹逼定理得现在学习的是第18页，共33页证证例例4现在学习的是第19页，共33页现在学习的是第20页，共33页例5.则则证明：由夹逼定理，由夹逼定理，由不等式现在学习的是第21页，共33页定义定义2.2 数列数列中任意抽取中任意抽取无限多项无限多项并并保持保持这些项在这些项在原数列中的先后次序原数列中的先后次序，这样得到的一，这样得到的一个数列称为原数列个数列称为原数列的的子数列子数列，
4、简称简称子列子列.(教材教材P12)四、子列极限现在学习的是第22页，共33页取取则当则当，证证设设是数列是数列的任一子列，由的任一子列，由故对于任意给定的正数故对于任意给定的正数存在着正整数存在着正整数当当时时，成立。成立。一子数列也收敛于一子数列也收敛于 .定理2.6 如果数列如果数列收敛于收敛于，那么它的任，那么它的任现在学习的是第23页，共33页若数列的一个子列发散或有两个子列收敛于不同的极限,一定发散.(教材教材P12)现在学习的是第24页，共33页数列数列收敛于收敛于的奇数的奇数项项子列子列和偶数和偶数项项子列子列都收都收敛敛于于a。对于对于单调数列单调数列,有一收敛子列则原数列收
5、敛有一收敛子列则原数列收敛.对于对于单调数列单调数列,数列收敛数列收敛的充分必要条件是的充分必要条件是有一收敛子列有一收敛子列.(证明在单调有界定理证明在单调有界定理)或或结论结论1 1结论结论2 2现在学习的是第25页，共33页五、无穷小定义定义2.3 定理定理2.7 现在学习的是第26页，共33页分析：分析：则所证结论转化为则所证结论转化为现在学习的是第27页，共33页证明：证明：现在学习的是第28页，共33页现在学习的是第29页，共33页（练习）（练习）（夹逼定理，调和平均（夹逼定理，调和平均几何平均几何平均 算术平均算术平均）现在学习的是第30页，共33页P14 7.证明证明证明：由例6现在学习的是第31页，共33页应记住的结果：应记住的结果：现在学习的是第32页，共33页 六、小结1 1、收敛数列的性质、收敛数列的性质:唯一性、有界性、不等式性质唯一性、有界性、不等式性质2 2、极限的四则运算、极限的四则运算5 5、无穷小、无穷小3、夹逼准则逼准则 (两边夹法则两边夹法则)4 4、子列极限、子列极限现在学习的是第33页，共33页