《长沙市南雅中学2023届高三第三次模拟考试数学试卷含解析.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《长沙市南雅中学2023届高三第三次模拟考试数学试卷含解析.doc（20页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2023年高考数学模拟试卷注意事项1考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回2答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用05毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符4作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效5如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
2、1设函数定义域为全体实数，令有以下6个论断：是奇函数时，是奇函数；是偶函数时，是奇函数；是偶函数时，是偶函数；是奇函数时，是偶函数是偶函数；对任意的实数，那么正确论断的编号是（ ）ABCD2已知，都是偶函数，且在上单调递增，设函数，若，则（ ）A且B且C且D且3已知定义在上的函数满足，且当时，.设在上的最大值为（），且数列的前项的和为.若对于任意正整数不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）ABCD4已知是过抛物线焦点的弦，是原点，则（ ）A2B4C3D35若函数的定义域为Mx|2x2，值域为Ny|0y2,则函数的图像可能是（ ）ABCD6某程序框图如图所示，若输出的，则判断框内为（ ）ABCD
3、7的展开式中，满足的的系数之和为（ ）ABCD8若均为任意实数，且，则 的最小值为（ ）ABCD9已知等差数列的前项和为，则（ ）A25B32C35D4010已知三棱锥的体积为2，是边长为2的等边三角形，且三棱锥的外接球的球心恰好是中点，则球的表面积为（ ）ABCD11在各项均为正数的等比数列中，若，则（ ）AB6C4D512已知函数（，），将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的部分图象如图所示，则是的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13的展开式中的常数项为_14已知三棱锥中，则该三棱锥的外接球的表面积是
4、_.15若函数，其中且，则_16若复数z满足，其中i是虚数单位，则z的模是_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）设点，若直线与曲线相交于、两点，求的值18（12分）如图中，为的中点，.（1）求边的长；（2）点在边上，若是的角平分线，求的面积.19（12分）已知 （1）若 ，且函数 在区间 上单调递增，求实数a的范围；（2）若函数有两个极值点 ，且存在 满足 ，令函数 ，试判断 零点的个数并证
5、明20（12分）某工厂的机器上有一种易损元件A，这种元件在使用过程中发生损坏时，需要送维修处维修工厂规定当日损坏的元件A在次日早上 8：30 之前送到维修处，并要求维修人员当日必须完成所有损坏元件A的维修工作每个工人独立维修A元件需要时间相同维修处记录了某月从1日到20日每天维修元件A的个数，具体数据如下表：日期 1 日 2 日 3 日 4 日 5 日 6 日 7 日 8 日 9 日 10 日 元件A个数 9 15 12 18 12 18 9 9 24 12 日期 11 日 12 日 13 日 14 日 15 日 16 日 17 日 18 日 19 日 20 日 元件A个数 12 24 15
6、15 15 12 15 15 15 24 从这20天中随机选取一天，随机变量X表示在维修处该天元件A的维修个数（）求X的分布列与数学期望；（）若a，b，且b-a=6，求最大值；（）目前维修处有两名工人从事维修工作，为使每个维修工人每天维修元件A的个数的数学期望不超过4个，至少需要增加几名维修工人？（只需写出结论）21（12分）已知函数（1）若函数在处取得极值1，证明：（2）若恒成立，求实数的取值范围.22（10分）2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语
7、水平测试，所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:()试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数;()从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X，求的分布列和数学期望;()为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000)，并在每组中随机选取个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出的最小值.(结论不要求证明)参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析
8、】根据函数奇偶性的定义即可判断函数的奇偶性并证明.【详解】当是偶函数，则，所以，所以是偶函数；当是奇函数时，则，所以，所以是偶函数；当为非奇非偶函数时，例如：，则，此时，故错误；故正确.故选：A【点睛】本题考查了函数的奇偶性定义，掌握奇偶性定义是解题的关键，属于基础题.2、A【解析】试题分析：由题意得，若：，若：，若：，综上可知，同理可知，故选A.考点：1.函数的性质；2.分类讨论的数学思想.【思路点睛】本题在在解题过程中抓住偶函数的性质，避免了由于单调性不同导致与大小不明确的讨论，从而使解题过程得以优化，另外，不要忘记定义域，如果要研究奇函数或者偶函数的值域、最值、单调性等问题，通常先在原点
9、一侧的区间(对奇(偶)函数而言)或某一周期内(对周期函数而言)考虑，然后推广到整个定义域上.3、C【解析】由已知先求出，即，进一步可得，再将所求问题转化为对于任意正整数恒成立，设，只需找到数列的最大值即可.【详解】当时，则，所以，显然当时，故，若对于任意正整数不等式恒成立，即对于任意正整数恒成立，即对于任意正整数恒成立，设，令，解得，令，解得，考虑到，故有当时，单调递增，当时，有单调递减，故数列的最大值为，所以.故选：C.【点睛】本题考查数列中的不等式恒成立问题，涉及到求函数解析、等比数列前n项和、数列单调性的判断等知识，是一道较为综合的数列题.4、D【解析】设，设：，联立方程得到，计算得到答
10、案.【详解】设，故.易知直线斜率不为，设：，联立方程，得到，故，故.故选：.【点睛】本题考查了抛物线中的向量的数量积，设直线为可以简化运算，是解题的关键 .5、B【解析】因为对A不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除；对B满足函数定义，故符合；对C出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定；对D因为值域当中有的元素没有原象，故可否定故选B6、C【解析】程序在运行过程中各变量值变化如下表：K S 是否继续循环循环前11第一圈24是第二圈311是第三圈 426是第四圈 557是第五圈 6120否故退出循环的条件应为k5?本题选择C选项.点睛：使用循
11、环结构寻数时，要明确数字的结构特征，决定循环的终止条件与数的结构特征的关系及循环次数尤其是统计数时，注意要统计的数的出现次数与循环次数的区别7、B【解析】，有，三种情形，用中的系数乘以中的系数，然后相加可得【详解】当时，的展开式中的系数为当，时，系数为；当，时，系数为；当，时，系数为；故满足的的系数之和为故选：B【点睛】本题考查二项式定理，掌握二项式定理和多项式乘法是解题关键8、D【解析】该题可以看做是圆上的动点到曲线上的动点的距离的平方的最小值问题，可以转化为圆心到曲线上的动点的距离减去半径的平方的最值问题，结合图形，可以断定那个点应该满足与圆心的连线与曲线在该点的切线垂直的问题来解决，从而
12、求得切点坐标，即满足条件的点，代入求得结果.【详解】由题意可得，其结果应为曲线上的点与以为圆心，以为半径的圆上的点的距离的平方的最小值，可以求曲线上的点与圆心的距离的最小值，在曲线上取一点，曲线有在点M处的切线的斜率为，从而有，即，整理得，解得，所以点满足条件，其到圆心的距离为，故其结果为，故选D.【点睛】本题考查函数在一点处切线斜率的应用，考查圆的程，两条直线垂直的斜率关系，属中档题.9、C【解析】设出等差数列的首项和公差，即可根据题意列出两个方程，求出通项公式，从而求得【详解】设等差数列的首项为，公差为，则，解得，即有故选：C【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式的求法和应用，涉及等差数列
13、的前项和公式的应用，属于容易题10、A【解析】根据是中点这一条件，将棱锥的高转化为球心到平面的距离，即可用勾股定理求解.【详解】解：设点到平面的距离为，因为是中点，所以到平面的距离为，三棱锥的体积，解得，作平面，垂足为的外心，所以，且，所以在中，此为球的半径，.故选：A.【点睛】本题考查球的表面积，考查点到平面的距离，属于中档题11、D【解析】由对数运算法则和等比数列的性质计算【详解】由题意故选：D【点睛】本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则掌握等比数列的性质是解题关键12、B【解析】先根据图象求出函数的解析式,再由平移知识得到的解析式,然后分别找出和的等价条件,即可根据充分条件,必要条
14、件的定义求出.【详解】设,根据图象可知,再由, 取,.将函数的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,.,令,则,显然,是的必要不充分条件.故选：B【点睛】本题主要考查利用图象求正(余)弦型函数的解析式,三角函数的图形变换, 二倍角公式的应用,充分条件,必要条件的定义的应用,意在考查学生的数学运算能力和逻辑推理能力,属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】写出展开式的通项公式，考虑当的指数为零时，对应的值即为常数项.【详解】的展开式通项公式为： ，令，所以，所以常数项为.故答案为：.【点睛】本题考查二项展开式中指定项系数的求解，难度较易.解答问题的关键是，能通
15、过展开式通项公式分析常数项对应的取值.14、【解析】将三棱锥补成长方体，设，设三棱锥的外接球半径为，求得的值，然后利用球体表面积公式可求得结果.【详解】将三棱锥补成长方体，设，设三棱锥的外接球半径为，则，由勾股定理可得，上述三个等式全部相加得，因此，三棱锥的外接球面积为.故答案为：.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的计算，根据三棱锥对棱长相等将三棱锥补成长方体是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.15、【解析】先化简函数的解析式，在求出，从而求得的值.【详解】由题意，函数可化简为，所以，所以.故答案为：0.【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，以及导数的运算和函数值的求解，其中解答中正确
16、化简函数的解析式，准确求解导数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.16、【解析】先求得复数，再由复数模的计算公式即得.【详解】，则.故答案为：【点睛】本题考查复数的四则运算和求复数的模，是基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）.【解析】（1）在曲线的参数方程中消去参数可得出曲线的普通方程，利用两角和的正弦公式以及可将直线的极坐标方程化为普通方程；（2）设直线的参数方程为（为参数），并设点、所对应的参数分别为、，利用韦达定理可求得的值.【详解】（1）由，得，曲线的普通方程为，由，得，直线的直角坐标方程为；（2）
17、设直线的参数方程为（为参数），代入，得，则，设、两点对应参数分别为、，.【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了直线参数方程几何意义的应用，考查计算能力，属于中等题.18、（1）10；（2）.【解析】（1）由题意可得cosADBcosADC，由已知利用余弦定理可得：9+BD252+9+BD2160，进而解得BC的值（2）由（1）可知ADC为直角三角形，可求SADC6，SABC2SADC12，利用角平分线的性质可得，根据SABCSBCE+SACE可求SBCE的值【详解】（1）因为在边上，所以，在和中由余弦定理，得，因为，所以，所以，.所以边的长为10.（2）由（1
18、）知为直角三角形，所以，.因为是的角平分线，所以.所以，所以.即的面积为.【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，角平分线的性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题19、（1）（2）函数有两个零点和【解析】试题分析：（1）求导后根据函数在区间单调递增，导函数大于或等于0（2）先判断为一个零点，然后再求导，根据，化简求得另一个零点。解析：（1）当时，因为函数在上单调递增，所以当时，恒成立来源:Z&X&X&K函数的对称轴为，即时，即，解之得，解集为空集；，即时， 即，解之得，所以，即时， 即，解之得，所以 综上所述，当 函数在区间 上单调递增 （2）有两个极值
19、点，是方程的两个根，且函数在区间和上单调递增，在上单调递减函数也是在区间和上单调递增，在上单调递减，是函数的一个零点 由题意知：，又 是方程的两个根， ，, 函数图像连续，且在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增当时，当时，当时，函数有两个零点和 20、（）分布列见解析，；()；()至少增加2人.【解析】（）求出X的所有可能取值为9，12，15，18，24，求出概率，得到X的分布列，然后求解期望即可（）当P（aXb）取到最大值时，求出a，b的可能值，然后求解P（aXb）的最大值即可（）利用前两问的结果，判断至少增加2人【详解】()X的取值为：9，12，15，18，24；,，X的分布列为：
20、X912151824P故X的数学期望；()当P(aXb)取到最大值时,a,b的值可能为：,或,或.经计算,，所以P(aXb)的最大值为.()至少增加2人.【点睛】本题考查离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，属于中等题.21、（1）证明见详解；（2）【解析】（1）求出函数的导函数，由在处取得极值1，可得且.解出，构造函数，分析其单调性，结合，即可得到的范围，命题得证；（2）由分离参数，得到恒成立，构造函数，求导函数，再构造函数，进行二次求导.由知，则在上单调递增.根据零点存在定理可知有唯一零点，且.由此判断出时，单调递减，时，单调递增，则，即.由得，再次构造函数，求导分析单调性
21、，从而得，即，最终求得，则.【详解】解：（1）由题知，函数在，处取得极值1，且，令，则为增函数，即成立.（2）不等式恒成立，即不等式恒成立，即恒成立，令，则令，则,，在上单调递增，且，有唯一零点，且，当时，单调递减；当时，单调递增.，由整理得，令，则方程等价于而在上恒大于零，在上单调递增，.，实数的取值范围为.【点睛】本题考查了函数的极值，利用导函数判断函数的单调性，函数的零点存在定理，证明不等式，解决不等式恒成立问题.其中多次构造函数，是解题的关键，属于综合性很强的难题.22、 ()万；()分布列见解析， ；()【解析】()根据比例关系直接计算得到答案.() 的可能取值为，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.() 英语测试成绩在70分以上的概率为 ，故，解得答案.【详解】()样本中女生英语成绩在分以上的有人，故人数为：万人.() 8名男生中，测试成绩在70分以上的有人，的可能取值为：.，.故分布列为：.() 英语测试成绩在70分以上的概率为 ，故，故.故的最小值为.【点睛】本题考查了样本估计总体，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.