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1、2023年高考数学模拟试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1复数的实部与虚部相等，其中为虚部单位，则实数( )A3BCD2使得的展开式中含有常数项的最小的n为( )ABCD3已知点P不在直线l、m上，则“过点P可以作无数个平面，使得直线l、m都与这些
2、平面平行”是“直线l、m互相平行”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4已知的内角、的对边分别为、，且，为边上的中线，若，则的面积为（ ）ABCD5 “”是“，”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件6下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（ ）ABCD7直三棱柱中，则直线与所成的角的余弦值为（ ）ABCD8一个频率分布表（样本容量为）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在上的频率为，则估计样本在、内的数据个数共
3、有（ ）ABCD9已知等差数列的前13项和为52，则（ ）A256B-256C32D-3210已知集合（），若集合，且对任意的，存在使得，其中，则称集合A为集合M的基底.下列集合中能作为集合的基底的是（ ）ABCD11已知双曲线的一个焦点为，且与双曲线的渐近线相同，则双曲线的标准方程为( )ABCD12已知向量满足,且与的夹角为,则( )ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知正实数满足，则的最小值为 14某种产品的质量指标值服从正态分布，且某用户购买了件这种产品，则这件产品中质量指标值位于区间之外的产品件数为_15已知实数，满足，则的最大值为_.16设P为有公共焦点的
4、椭圆与双曲线的一个交点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知直线l的极坐标方程为，圆C的参数方程为（为参数）（1）请分别把直线l和圆C的方程化为直角坐标方程；（2）求直线l被圆截得的弦长18（12分）一个工厂在某年里连续10个月每月产品的总成本（万元）与该月产量（万件）之间有如下一组数据：1.081.121.191.281.361.481.591.681.801.872.252.372.402.552.642.752.923.033.143.26（1）通过画散点图，发现可用线性回归模型拟合与的关系，请用
5、相关系数加以说明；（2）建立月总成本与月产量之间的回归方程；通过建立的关于的回归方程，估计某月产量为1.98万件时，产品的总成本为多少万元？（均精确到0.001）附注：参考数据：，.参考公式：相关系数，.19（12分）设函数（1）求不等式的解集；（2）若的最小值为，且，求的最小值20（12分）设等差数列的首项为0，公差为a，；等差数列的首项为0，公差为b，.由数列和构造数表M，与数表；记数表M中位于第i行第j列的元素为，其中，（i，j=1，2，3，）.记数表中位于第i行第j列的元素为，其中（，）.如：，.（1）设，请计算，；（2）设，试求，的表达式（用i，j表示），并证明：对于整数t，若t不属
6、于数表M，则t属于数表；（3）设，对于整数t，t不属于数表M，求t的最大值.21（12分）已知，求证：（1）；（2）.22（10分）如图，在四棱锥中，侧面为等边三角形，且垂直于底面， ，分别是的中点.（1）证明：平面平面；（2）已知点在棱上且，求直线与平面所成角的余弦值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】利用乘法运算化简复数即可得到答案.【详解】由已知，所以，解得.故选：B【点睛】本题考查复数的概念及复数的乘法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.2、B【解析】二项式展开式的通项公式为，若展开式中有
7、常数项，则，解得，当r取2时，n的最小值为5，故选B【考点定位】本题考查二项式定理的应用3、C【解析】根据直线和平面平行的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】点不在直线、上，若直线、互相平行，则过点可以作无数个平面，使得直线、都与这些平面平行，即必要性成立，若过点可以作无数个平面，使得直线、都与这些平面平行，则直线、互相平行成立，反证法证明如下：若直线、互相不平行，则，异面或相交，则过点只能作一个平面同时和两条直线平行，则与条件矛盾，即充分性成立则“过点可以作无数个平面，使得直线、都与这些平面平行”是“直线、互相平行”的充要条件，故选：【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的
8、判断，结合空间直线和平面平行的性质是解决本题的关键4、B【解析】延长到，使，连接，则四边形为平行四边形，根据余弦定理可求出，进而可得的面积.【详解】解：延长到，使，连接，则四边形为平行四边形，则，在中，则，得，.故选：B.【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查三角形面积公式的应用，其中根据中线作出平行四边形是关键，是中档题.5、B【解析】先求出满足的值，然后根据充分必要条件的定义判断【详解】由得，即， ，因此“”是“，”的必要不充分条件故选：B【点睛】本题考查充分必要条件，掌握充分必要条件的定义是解题基础解题时可根据条件与结论中参数的取值范围进行判断6、C【解析】令圆的半径为1，则，故选C7、A
9、【解析】设，延长至，使得，连，可证，得到（或补角）为所求的角，分别求出，解即可.【详解】设，延长至，使得，连，在直三棱柱中，四边形为平行四边形，（或补角）为直线与所成的角，在中，在中，在中，在中，在中，.故选：A.【点睛】本题考查异面直线所成的角，要注意几何法求空间角的步骤“做”“证”“算”缺一不可，属于中档题.8、B【解析】计算出样本在的数据个数，再减去样本在的数据个数即可得出结果.【详解】由题意可知，样本在的数据个数为，样本在的数据个数为，因此，样本在、内的数据个数为.故选：B.【点睛】本题考查利用频数分布表计算频数，要理解频数、样本容量与频率三者之间的关系，考查计算能力，属于基础题.9、
10、A【解析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质可以求得结果.【详解】由，得.选A.【点睛】本题主要考查等差数列的求和公式及等差数列的性质，等差数列的等和性应用能快速求得结果.10、C【解析】根据题目中的基底定义求解.【详解】因为，所以能作为集合的基底，故选：C【点睛】本题主要考查集合的新定义，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.11、B【解析】根据焦点所在坐标轴和渐近线方程设出双曲线的标准方程，结合焦点坐标求解.【详解】双曲线与的渐近线相同，且焦点在轴上，可设双曲线的方程为，一个焦点为，故的标准方程为.故选：B【点睛】此题考查根据双曲线的渐近线和焦点求解双曲线的标准方程，易错点在于漏掉考虑焦
11、点所在坐标轴导致方程形式出错.12、A【解析】根据向量的运算法则展开后利用数量积的性质即可.【详解】.故选：A.【点睛】本题主要考查数量积的运算，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、4【解析】由题意结合代数式的特点和均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果.【详解】.当且仅当时等号成立.据此可知：的最小值为4.【点睛】条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值14、【解析】直接计算，可得结果.【详解】由题可
12、知：则质量指标值位于区间之外的产品件数：故答案为：【点睛】本题考查正太分布中原则，审清题意，简单计算，属基础题.15、【解析】画出不等式组表示的平面区域，将目标函数理解为点与构成直线的斜率，数形结合即可求得.【详解】不等式组表示的平面区域如下所示：因为可以理解为点与构成直线的斜率，数形结合可知，当且仅当目标函数过点时，斜率取得最大值，故的最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查目标函数为斜率型的规划问题，属基础题.16、【解析】设根据椭圆的几何性质可得,根据双曲线的几何性质可得，,即故答案为三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）x2+y21（2）16【解析】（
13、1）直接利用极坐标方程和参数方程公式化简得到答案.（2）圆心到直线的距离为，故弦长为得到答案.【详解】（1），即，即，即.，故.（2）圆心到直线的距离为，故弦长为.【点睛】本题考查了极坐标方程和参数方程，圆的弦长，意在考查学生的计算能力和转化能力.18、（1）见解析；（2）3.386（万元）【解析】（1）利用代入数值，求出后即可得解；（2）计算出、后，利用求出后即可得解；把代入线性回归方程，计算即可得解.【详解】（1）由已知条件得，说明与正相关，且相关性很强.（2）由已知求得，所以，所求回归直线方程为.当时，（万元），此时产品的总成本约为3.386万元.【点睛】本题考查了相关系数的应用以及线性
14、回归方程的求解和应用，考查了计算能力，属于中档题.19、（1）或（2）最小值为【解析】（1）讨论，三种情况，分别计算得到答案.（2）计算得到，再利用均值不等式计算得到答案.【详解】（1）当时，由，解得；当时，由，解得；当时，由，解得所以所求不等式的解集为或（2）根据函数图像知：当时，所以因为，由，可知，所以，当且仅当，时，等号成立所以的最小值为【点睛】本题考查了解绝对值不等式，函数最值，均值不等式，意在考查学生对于不等式，函数知识的综合应用.20、（1）（2）详见解析（3）29【解析】（1）将，代入，可求出，可代入求，可求结果（2）可求，通过反证法证明，（3）可推出，的最大值，就是集合中元素的
15、最大值，求出【详解】（1）由题意知等差数列的通项公式为：；等差数列的通项公式为：，得，则，得，故（2）证明：已知，由题意知等差数列的通项公式为：；等差数列的通项公式为：，得，得，所以若，则存在，使，若，则存在，使，因此，对于正整数，考虑集合，即，下面证明：集合中至少有一元素是7的倍数反证法：假设集合中任何一个元素，都不是7的倍数，则集合中每一元素关于7的余数可以为1，2，3，4，5，6，又因为集合中共有7个元素，所以集合中至少存在两个元素关于7的余数相同，不妨设为，其中，则这两个元素的差为7的倍数，即，所以，与矛盾，所以假设不成立，即原命题成立即集合中至少有一元素是7的倍数，不妨设该元素为，则
16、存在，使，即，由已证可知，若，则存在，使，而，所以为负整数，设，则，且，所以，当，时，对于整数，若，则成立（3）下面用反证法证明：若对于整数，则，假设命题不成立，即，且则对于整数，存在，使成立，整理，得，又因为，所以且是7的倍数，因为，所以，所以矛盾，即假设不成立所以对于整数，若，则，又由第二问，对于整数，则，所以的最大值，就是集合中元素的最大值，又因为，所以【点睛】本题考查数列的综合应用，以及反证法，求最值，属于难题21、（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）结合基本不等式可证明；（2）利用基本不等式得，即，同理得其他两个式子，三式相加可证结论【详解】（1），当且仅当a=b=c等号成立，；
17、（2）由基本不等式，同理，当且仅当a=b=c等号成立【点睛】本题考查不等式的证明，考查用基本不等式证明不等式成立解题关键是发现基本不等式的形式，方法是综合法22、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）由平面几何知识可得出四边形是平行四边形，可得面，再由面面平行的判定可证得面面平行；（2）由（1）可知，两两垂直，故建立空间直角坐标系，可求得面PAB的法向量，再运用线面角的向量求法，可求得直线与平面所成角的余弦值.【详解】（1），,又，,而、分别是、的中点， 故面,又且，故四边形是平行四边形,面,又，是面内的两条相交直线, 故面面. （2）由（1）可知，两两垂直，故建系如图所示,则，, 设是平面PAB的法向量,，令，则, 直线NE与平面所成角的余弦值为.【点睛】本题考查空间的面面平行的判定，以及线面角的空间向量的求解方法，属于中档题.