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1、-1-4 4.3 3简单线性规划的应用简单线性规划的应用 课后篇巩固探究巩固探究 A A 组 1 1.已知点(x,y)构成的平面区域如图阴影部分,z=mx+y(m为常数)在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个,则m的值为()A.-B.C.D.解析:观察平面区域可知直线y=-mx+z与直线AC重合,则-m=kAC=-,解得m=.答案:B 2 2.如图,目标函数z=ax-y的可行域为四边形OACB(含边界),若C是该目标函数z=ax-y唯一的最优解,则a的取值范围是()A.B.C.D.-2-解析:最优解为点C,则目标函数表示的直线斜率在直线BC与AC的斜率之间.因为kBC=-,kAC=-,所以a
2、.答案:B 3 3.若直线y=2x上存在点(x,y)满足约束条件则实数m的最大值为.解析:由约束条件作出其可行域如图.由图可知,当直线x=m过直线y=2x与x+y-3=0 的交点(1,2)时,m取得最大值,此时m=1.答案:1 4 4.某公司租赁甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品,甲种设备每天能生产 A 类产品 5 件和 B 类产品 10 件,乙种设备每天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件.已知设备甲每天的租赁费为200 元,设备乙每天的租赁费为 300 元.现该公司至少要生产 A 类产品 50 件,B 类产品 140 件,则所需租赁费最少为元.解析:设甲种设备需要生产x天,
3、乙种设备需要生产y天,此时该公司所需租赁费为z元,则z=200 x+300y.又因为 画出该不等式组表示的平面区域,如图阴影部分所示.解即点A(4,5).由z=200 x+300y,-3-得直线y=-x+过点A(4,5)时,z=200 x+300y取得最小值,为 2 300 元.答案:2 300 5 5.导学号 33194075 设不等式组表示的平面区域为D.若指数函数y=ax的图像上存在区域D上的点,则a的取值范围是.解析:画出可行域如图阴影部分,易知当a(0,1)时不符合题意,故a1.由得交点A(2,9).由图像可知,当y=ax的图像经过该交点A时,a取最大值,此时a2=9,所以a=3.故
4、a(1,3.答案:(1,3 6 6.某养鸡场有 1 万只鸡,用动物饲料和谷物饲料混合喂养.每天每只鸡平均吃混合饲料 0.5 kg,其中动物饲料不能少于谷物饲料的.动物饲料每千克 0.9 元,谷物饲料每千克 0.28 元,饲料公司每周仅保证供应谷物饲料 50 000 kg,问饲料怎样混合,才使成本最低?解设每周需用谷物饲料x kg,动物饲料y kg,每周总的饲料费用为z元,则 而z=0.28x+0.9y,如图,作出不等式组所表示的平面区域,即可行域.作一组平行直线0.28x+0.9y=t.其中经过可行域内的点A时,z最小,又直线x+y=35 000 和直线y=x的交点A-4-.即x=,y=时,饲
5、料费用最低.答:谷物饲料和动物饲料应按 51 的比例混合,此时成本最低.B B 组 1 1.某学校用 800 元购买 A,B 两种教学用品,A 种用品每件 100 元,B 种用品每件 160 元,两种用品至少各买一件,要使剩下的钱最少,A,B 两种用品应各买的件数为()A.1 件,4 件 B.3 件,3 件 C.4 件,2 件 D.不确定 解析:设买 A 种用品x件,B 种用品y件,剩下的钱为z元,则 求z=800-100 x-160y取得最小值时的整数解(x,y),用图解法求得整数解为(3,3).答案:B 2 2.已知x,y满足条件(k为常数),若目标函数z=x+3y的最大值为 8,则k=(
6、)A.-16 B.-6 C.-D.6 解析:由z=x+3y得y=-x+.先作出的图像,因为目标函数z=x+3y的最大值为 8,所以直线 2x+y+k=0 过直线x+3y=8 与直线y=x的交点A,由解得A(2,2),代入直线 2x+y+k=0,得k=-6.故选 B.-5-答案:B 3 3.已知在图中的可行域内(阴影部分,且包括边界),目标函数z=x+ay取得最小值的最优解有无数个,则a的值为()A.-3 B.3 C.-1 D.1 解析:当a=0 时,z=x.仅当直线x=z过点A(1,1)时,目标函数z有最小值 1,与题意不符.当a0 时,y=-x+.斜率k=-0,仅当直线z=x+ay过点A(1
7、,1)时,直线在y轴的截距最小,此时z也最小,与目标函数取得最小值的最优解有无数个矛盾.当a0,为使目标函数z取得最小值的最优解有无数个,当且仅当斜率-=kAC,即-,故a=-3.答案:A 4 4.导学号 33194076 已知点M在不等式组所表示的平面区域上,点N在曲线x2+y2+4x+3=0 上,则|MN|的最小值是()A.B.1 C.-1 D.解析:如图,画出平面区域(阴影部分所示),-6-由圆心C(-2,0)向直线 3x+4y-4=0 作垂线,圆心C(-2,0)到直线 3x+4y-4=0 的距离为=2,又圆的半径为 1,所以可求得|MN|的最小值是 1.故选 B.答案:B 5 5.毕业
8、庆典活动中,某班团支部决定组织班里 48 名同学去水上公园坐船观赏风景,于是先派一人去了解船只的租金情况,看到的租金价格如下表,则他们合理设计租船方案后,所付租金最少为元.船型 每只船限载人数 租金/(元/只)大船 5 12 小船 3 8 解析:设租大船x只,小船y只,则租金z=12x+8y,作出可行域如图,由图可知,当直线z=12x+8y经过点(9.6,0)时,z取最小值,但x,yN N,所以当x=9,y=1 时,zmin=116.答案:116 6 6.铁矿石 A 和 B 的含铁率a,冶炼每万吨铁矿石的 CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如表:a b/万吨 c/百万元 A 50%1 3
9、B 70%0.5 6 某冶炼厂至少要生产 1.9 万吨铁,若要求 CO2的排放量不超过 2 万吨,则购买铁矿石的最少费用为百万元.-7-解析:设购买铁矿石 A,B 分别为x万吨和y万吨,购买铁矿石的费用为z百万元,则 目标函数z=3x+6y,作出可行域如图.由 得 记P(1,2),当目标函数z=3x+6y过点P(1,2)时,z取到最小值 15.答案:15 7 7.导学号 33194077(2017 天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示:连续剧播放时长(分钟)广告播放时长(分钟)收视
10、人次(万)甲 70 5 60 乙 60 5 25 已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于 600 分钟,广告的总播放时间不少于30 分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 2 倍.分别用x,y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.(1)用x,y列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使总收视人次最多?解(1)由已知,x,y满足的数学关系式为 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图 1 中的阴影部分:-8-(2)设总收视人次为z万,则目标函数为z=60 x+25y.考虑z=60 x+25y,将它变形为y=-x+,这是斜率为-,随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距,当取得最大值时,z的值最大.图 1 图 2 又因为x,y满足约束条件,所以由图 2 可知,当直线z=60 x+25y经过可行域上的点M时,截距最大,即z最大.解方程组得点M的坐标为(6,3).所以,电视台每周播出甲连续剧 6 次,乙连续剧 3 次时才能使总收视人次最多.