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1、1 1.2.21.2.2 函数的表示法函数的表示法 课堂导学课堂导学 三点剖析三点剖析 一、函数的三种表示方法【例 1】作出下列函数的图象：（1）y=2-x,xZ;（2）y=2x2-3x-2(x0);（3）y=思路分析：作函数图象主要有两种思路：利用列表描点法，转化为基础函数，利用基本函数图象作复杂函数图象.解：（1）这个函数图象是由一些点组成的，这些点都在直线 y=2-x 上.如图 1 所示.图 1 （2）这个函数图象是抛物线的一部分，可先利用描点法作出 y=2x2-3x-2 的图象，然后截出需要的图象，如图 2 所示.图 2 (3)这个图象是由两部分组成的，当 x1 时，为双曲线 y=的一
2、部分，当 x1 时，为抛物线 y=x2的一部分，如图 3 所示.图图 3 3 温馨提示温馨提示 1.从本题可以看出，函数的图象不一定是一条或几条平滑曲线，也可是一些孤立的点、线段、射线等，这要由定义域对应关系确定.2.函数的图象对研究函数性质和解决有关问题十分重要，它是研究函数性质的直观图，.0,1,12xxxxx12 也是数形结合的有力工具.【例 2】由函数 f(x)是一次函数，且满足关系式 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求函数解析式.思路分析：由于 f(x)是一次函数，因此可设 f(x)=ax+b(a0)，然后利用条件列方程(组)，再求系数.解：f(x)是一次函数，设 f(x
3、)=ax+b(a0).由于 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,因此 3a(x+1)+b-2a(x-1)+b=ax+5a+b=2x+17,则得 即故函数解析式为 f(x)=2x+7.温馨提示温馨提示 求已知函数的解析式通常利用待定系数法.由于常见的已知函数(正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等)的解析式结构形式是确定的，故可用待定系数法确定其解析式，即若已知函数类型，可设所求函数解析式，然后利用已知条件列方程(组)，再求系数.二、根据已知关系,写出函数的解析式【例 3】在边长为 4 的正方形 ABCD 的边上有一动点 P，从 B 点开始，沿折线 BCDA 向 A 点运动(如右图
4、)，设 P 点移动的距离为 x，ABP 的面积为 y,求函数 y=f(x)及其定义域.思路分析：由于 P 点在折线 BCDA 上位置不同时，ABP 各有特征，计算它们的面积也有不同的方法，因此这里要对 P 点位置进行分类讨论，由此 y=f(x)很可能是分段函数.解：如上图，当点 P 在线段 BC 上时，即 0 x4,y=4x=2x;当 P 点在线段 CD 上时，即 4x8,y=44=8;当 P 点在线段 DA 上时，即 8x12,y=4(12-x)=24-2x.y=f(x)=且 f(x)的定义域是(0,12).温馨提示温馨提示 分段函数作为一类重要的函数，其对应关系不能用统一的对应法则来表示，
5、处理分段函数的问题时除要用到分类讨论思想外，还要注意其中整体和局部的关系.【例 4】(1)已知 f(+1)=x+2,求 f(x);(2)已知 f(x)满足 af(x)+f()=ax(xR 且 x0,a 为常数,且 a1),求 f(x).,175,2baa.7,2ba212121,128,224,84,8,40,2xxxxxxxx13 解：(1)解法一：令 t=+1,则 x=(t-1)2,t1 代入原式有 f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1.f(x)=x2-1(x1).温馨提示温馨提示 此种解法称为换元法，所谓换元法即将接受对象“+1”换作另一个字母“t”，
6、然后从中解出 x 与 t 的关系，代入原式中便可求出关于“t”的函数关系，此即为所求函数解析式.解法二：x+2=()2+2+1-1=(+1)2-1,f(+1)=(+1)2-1(+11),即 f(x)=x2-1(x1).温馨提示温馨提示 此方法为直接变换法或称配凑法，通过观察，分析将右端的表达式变为“接受对象”的表达式，即变为关于+1 的表达式.(2)af(x)+f()=ax,将原式中的 x 与互换得 af()+f(x)=,于是得关于 f(x)的方程组：解得 f(x)=(a1).温馨提示温馨提示 本题求解析式的方法称为方程法.函数是定义域到值域上的映射，定义域中的每一个元素都应满足函数表达式，在
7、已知条件下，x 满足已知的式子，那么在定义域内也满足这个式子，这样得到两个关于 f(x)与 f()的方程，因而才能解出 f(x).三、映射的概念【例 5】下面的对应哪些是从集合 M 到集合 N 的映射？哪些是函数？(1)设 M=R，N=R，对应关系 f:y=,xM;(2)设 M=平面上的点，N=(x,y)|x,yR，对应关系 f:M 中的元素对应它在平面上的坐标；(3)设 M=高一年级全体同学，N=0,1，对应关系 f:M 中的男生对应 1，女生对应 0;(4)设 M=R，N=R，对应关系 f(x)=2x2+1,xM;(5)设 M=1,4，9，N=-1,1，-2,2，3，-3，对应关系：M 中
8、的元素开平方.思路分析：判断一个对应是否构成映射，关键是看 M 中的任一元素在 N 中按照给定的对应关系是否有唯一元素与之对应，是映射但不一定构成函数，只有 M、N 都是非空数集，且从 Mxxxxxxxxxxx1x1x1xa.)()1(,)1()(xaxfxafaxxfxafxaaxa)1()1(22x1x1x14 到 N 构成映射时，才能确定构成从 M 到 N 的函数；不是映射的，更不可能构成函数.解：(1)M 中的 0 在 N 中没有元素与之对应，从 M 到 N 的对应构不成映射.(2)(3)都符合映射定义，能构成从 M 到 N 的映射，但由于 M 不是非空数集，因此构不成函数.(4)从
9、M 到 N 的对应既能构成映射，又能构成函数.(5)M 中的元素在 N 中有两个元素与之对应，所以构不成映射.温馨提示温馨提示 1.映射概念中的两个集合 A、B，它们可以是数集、点集或其他集合，而函数不同，A、B 必须是非空数集.2.A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射是不同的，同学们判断时应注意“方向性”否则会导致错误.各个击破各个击破 类题演练类题演练 1 1 作出下列函数的图象.(1)y=x,|x|1;(2)y=1-x,xZ 且|x|2;(3)y=;解：(1)此函数图象是直线 y=x 的一部分.(2)此函数的定义域为-2，-1，0，1，2，所以其图象是由五个点组成，这些点都在直线 y
10、=1-x 上.(这样的点叫做整点)（3）先求定义域，在定义域上化简函数式 y=x,x(-,1)(1,+).如下图所示.12xxx12xxx5 变式提升变式提升 1 1 设x是不超过 x 的最大整数，作下列函数的图象.(1)f(x)=x;(2)h(x)=x-x,x-2,2.解：(1)f(x)=x=n(nxn+1,nZ),即 f(x)=n(nxn+1,nZ).f(x)=x的图象是无数条线段，不包括线段的右端点.注意在 x 轴上的线段的端点是（0，0）、（1，0）.见下图（A）.(2)h(x)=x-x x-2,2化为 h(x)=h(x)的图象是四条线段和点（2，0），注意均不含线段上面的端点，见下图
11、（B）.图（A）图（B）类题演练类题演练 2 2 已知 f(x)是二次函数，且满足 f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求 f(x).解析：设 f(x)=ax2+bx+c(a0),由 f(0)=1 得 c=1,而 f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+c-(ax2+bx+c)=2ax+a+b.由已知 f(x+1)-f(x)=2x 得 2ax+a+b=2x.所以解得 a=1,b=-1.故 f(x)=x2-x+1.变式提升变式提升 2 2 求函数 y=2|x-1|-3|x|的最大值.思路分析：本题为绝对值函数，应先由零点分段讨论法去掉绝对值符号，变为分段函数，再画出分段函数
12、的图象，然后解之.2,0,21,1,10,01,1,12,2xxxxxxxxx,0,22baa6 解:作出函数图象如右上图,由图象可知 x=0 时,ymax=2.类题演练类题演练 3 3 国家规定个人稿费纳税办法是：不超过 800 元的不纳税；超过 800 元不超过 4 000 元的按超过 800 元部分的 14%纳税；超过 4 000 元的按全部稿费的 11%纳税.（1）试根据上述规定建立某人所得稿费 x(元)与纳税额 y(元)之间的函数关系式；（2）某人出了一本书，共纳税 420 元，则这个人的稿费是多少元？答案：（1）（2）3 800 变式提升变式提升 3 3 某商场因拆迁将库存的原价
13、100 元/套的时装 50 套作减价处理，规定：不超过 5 件按八五折(即原价的 85%)；6 件到 20 件(包含 20 件)按六五折；20 件以上打五折.（1）你能表示出上述规定中的单价与所买件数之间的函数关系式吗？（2）你能表示出上述规定中付出与购买件数的函数关系式吗？答案：（1）y=（2）y=类题演练类题演练 4 4 如果 f()=,则 f(x)=_.解法一:f()=,f(x)=.解法二：设 t=,则 x=,.0,2,10,25,1,2xxxxxx.400%,11,4000800%,14)800(,800,0 xxxxxx.5021,50,206,65,51,85xxx.5021,50
14、,206,65,51,85xxxxxxx121xxx121xx2221xxxx1)1(12xx12xxx1t17 代入 f()=,得 f(t)=,故 f(x)=.变式提升变式提升 4 4 已知 f()=+,求 f(x).解法一：f()=+=()2-+=()2-=()2-+1,f(x)=x2-x+1.解法二：设=u,则 x=,u1.则 f(u)=f()=+=1+=1+(u-1)2+(u-1).f(x)=x2-x+1(x1).温馨提示温馨提示 解决这类考查求函数表达式的问题的关键是弄清楚对一个自变量“x”而言，“f”是怎样的对应规律.类题演练类题演练 5 5（1）下列对应是从 A 到 B 的函数的
15、是（）A=x|x0,xR,B=R,f:xy2=x A=N,B=-1,1,f:x(-1)x A=三角形，B=圆，f:三角形三角形的外接圆 A=R,B=R,f:xy=x3 A.B.C.D.答案：A（2）f:AB 是集合 A 到集合 B 的映射，A=B=(x,y)|xR，yR,f:(x,y)(kx,y+b)，若B中 的 元 素（6，2），在 此 映 射 下 的 原 象 是（3，1），则k=_,b=_.解析：由 答案：2 1 变式提升变式提升 5 5 已知集合 A=a|a5,aN到集合 B 的对应法则是“乘 3 加 2”，集合 B 到集合 C 的对应法则x121xx2)1(11tt12tt12xxxx
16、1221xx x1xx1221xx x1xx122xxx1xx1x1xx1xx1xx111uxx1221xx x121xx1.1,221,63bkbk8 是“求算术平方根”.（1）试写出集合 A 到集合 C 的对应法则 f;（2）求集合 C；（3）集合 A 到集合 C 的对应是映射吗？解析：（1）设 xA,yB,zC,依题意 y=3x+2,z=,z=,从集合 A 到集合 C 的对应法则是 f:xz=.（2）A=a|a5,aN=0,1,2,3,4,C=,2,.(3)因为对于集合 A 内任一元素 x 在集合 C 中都有唯一的一个元素 z 与之对应，所以 A到 C 的对应法则 f 是 A 到 C 的映射.y23 x23 x2521114