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1、成都金堂金龙中学成都金堂金龙中学 20182019 北师版七下数学北师版七下数学第一章第一章整式的乘除整式的乘除乘法公式应用大全乘法公式应用大全乘法公式运用的六个方面乘法公式运用的六个方面同学们学习乘法公式，不仅要能熟记，而且要能善用如何才能用好乘法公式呢？不妨从以下几个方面进行训练一、直接套用一、直接套用简析简析 2y 分别看成是公式中的 a 和 b，就可直接套用公式求解了二、合理运用二、合理运用例例 2 计算(x+1)(x-1)(x2+x+1)(x2-x+1)简析简析 初学乘法公式的同学，遇到本题，要么束手无策(主要是对后面两个括号处理不好)要么给出如下解法：解解 原式=(x2-1)(x2
2、+1)+x(x2+1)-x=(x2-1(x2+1)2-x2=(x2-1)(x4+x2+1)=x6-1其实，若能合理运用公式，本题还有如下巧解：解解 原式=(x+1)(x2-x+1)(x-1)(x2+x+1)=(x3+1)(x3-1)=x6-1三、创造条件运用三、创造条件运用例例 3 计算(1)(2x-3y-1)(-2x-3y+5)；(2)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1简析简析 这两道题从表面看都与乘法公式无关但是，在(1)中，若把“-1”变为“-3+2”，“5”变为“3+2”再巧妙分组则可运用公式；在(2)中，只需乘以“1=(2-1)”便可多次运用平方差公式，使问题获解解解
3、(1)原式=(2x-3y-3+2)(-2x-3y+3+2)=(2-3y)+(2x-3)(2-3y)-(2x-3)=(2-3y)2-(2x-3)2=9y2-4x2+12x-12y-5(2)原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)+1=(24-1)(24+1)(28+1)+1=(28-1)(28+1)+1=216-1+1=216四、逆向运用四、逆向运用(2)1.23452+0.76552+2.4690.7655简析简析 这两道题显然不宜直接计算，对于(1)，若将分母中的 2 拆成 1+1 并分别与前面两个数结合，同时注意逆
4、用平方差公式，则可巧妙求解对于(2)只需将 2.469 写成 21.2345则可逆用完全平方公式使运算过程大大简化解解 (1)对分母逆用平方差公式：分母=199819962-1+199819982-1=1998199719981995+1998199919981997=19981997(19981995+2)+(19981999-2)=2199819972(2)原式=1.23452+21.23450.7655+0.76552=(1.2345+0.7655)2=22=4五、变形运用五、变形运用例例 5 已知 a-b=4，ab=5，求 a2+b2的值简析简析 按常规应先由 a-b=4 和 ab=5
5、 求出 a，b 的值，然后代入式中计算但是，这对初一学生来说是不可能的此时，若注意到完全平方公式(a-b)2=a2+b2-2ab，适当变形后为 a2+b2=(a-b)2+2ab于是，问题便可迎刃而解解解 (a-b)2=a2+b2-2ab，a2+b2=(a-b)2+2ab=42+25=26六、综合运用六、综合运用所谓综合运用公式，就是把几个乘法公式采用某种运算合起来，得出一个派生公式，利用这个派生公式往往可以巧妙地解决一类问题例如，把完全平方和与完全平方差公式相加则有(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)， (1)把完全平方和与完全平方差公式相减则有(a+b)2-(a-b)2=4ab (2
6、)下面举一例说明应用例例 6 计算(a+b+c-d)2+(b+c+d-a)2简析简析 本题若按一般方法，将不胜其烦，但是，若巧妙地将两个括号变形为(b+c)+(a-d)和(b+c)-(a-d)，再注意公式(1)的运用，则可简解如下：解解 原式=(b+c)+(a-d)2+(b+c)-(a-d)2=2(b+c)2+(a-d)2=2a2+2b2+2c2+2d2+4bc-4ad巧用平方差公式巧用平方差公式初一我们学习了一个很重要的乘法公式平方差公式这个公式 应用十分广泛，有较强的灵活性和技巧性，如能正确掌握这个公式，将 会给我们的计算工作带来较大方便下面就平方差公式的几个方面的运 用略举几例一、直接运
7、用平方差公式一、直接运用平方差公式计算二、逆用平方差公式二、逆用平方差公式例例 4 计算 1002-992+982-972+-42-32+22-12分析分析：观察本题特征可知，把紧接的两项结合在一起，便可逆用平 方差公式解解：原式=(1002-992)+(982-972)+(42-32)+(22-12)=(100+99)(100-99)+(98+97)(98-97)+(4+3)(4-3)+(2+1)(2-1)=199+195+7+3三、构造后用平方差公式三、构造后用平方差公式例例 5 计算 7367解解：原式=(70+3)(70-3)=702-32=4900-9=4891例例 6 计算(2+1
8、)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)分析分析：若原式乘以 1，即(21)，便可采用平方差公式了解解：原式=(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=264-1四、变形用平方差公式四、变形用平方差公式变形：a2=a2-b2+b2=(a+b)(a-b)+b2例例 7 计算 9882解解：原式=(988+12)(988-12)+122=1000976+144=976144毕达哥拉斯毕达哥拉斯毕达
9、哥拉斯生于小亚细亚西岸的萨摩斯岛。早年留学埃及，据说去过巴比伦和印度。后来在科罗托那建立一种秘密组织。这种组织遍布希腊各地，后来在政治斗争中遭受破坏，毕达哥拉斯逃到特伦顿，终于被杀害，终年 80 岁。他死后，他的学派还继续存在了两个世纪之久。毕达哥拉斯非常重视数学，企图用数解释一切。他认为不仅仅万物都包含数，而且说万物都是数。毕达哥拉斯学派有一个习惯，就是一切发明都归功于学派领袖，而且常常秘而不宣。所以后人很难知道究竟是谁在什么时候发明的成果。毕达哥拉斯本人发现了人所共知的“勾股定理” ，据说其兴奋之情难与言表，特地宰杀了一百头牛来祭祀缪斯女神（掌管文艺，科学的女神） 。勾股定理早已为巴比伦人
10、，中国人，印度人所知，但是最早的证明大概还是毕达哥拉斯学派的功劳。有学者认为他的证明是从研究垛积数的关系得到的。可惜证明方法已经失传。现在的证明方法是后来的欧几里德给出的。毕达哥拉斯学派的特点是将算术与几何紧密相连。例如他们发现了直角三角形三边用整数表示的公式：2n1，2n（n1） ，2n（n1）1。他们还将自然数分成许多类型：奇数，偶数；素数，合数；完全数，亲和数，三角数，五角数，平方数等等。还发现了连续奇数与平方数之间的关系1357（2n1）n2。毕达哥拉斯学派的一个重要发现是根据勾股定理导致了无理数的出现。几何方面发现了平面铺砌的几种正多边形。还发现了五种正多面体。在天文上也取得了不少功绩，首创了地圆说，认为球体是最完美的立体，圆是最完美的平面图形。毕达哥拉斯还是音乐理论的鼻祖，他阐明了单弦的调和乐音和弦长的关系。