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1、北师版七下数学第一章北师版七下数学第一章整式的乘除整式的乘除幂的运算与乘法公式学习中的技巧性问题探究幂的运算与乘法公式学习中的技巧性问题探究学习幂的运算性质应注意的几个问题学习幂的运算性质应注意的几个问题幂的运算性质是整式乘法的基础，也是整式乘法的主要依据在学习中应注意以下问题1注意符号问题例例 1 判断下列等式是否成立：(-x)2-x2，(-x3)-(-x)3，(x-y)2(y-x)2，(x-y)3(y-x)3，x-a-bx-(a+b)，x+a-bx-(b-a)解：解：成立以上六个等式，是否成立？为什么？这些都应分析清楚所有这些问题的解决，对今后的学习是否能够顺利进行，都有着重要的意义2注意
2、幂的性质的混淆例如：(a5)2a7，a5a2a10产生这样错误的原因是对运算性质发生混淆只一般地纠正错误是不能彻底解决问题的，有必要从乘方的意义以及性质是怎样归纳得出的，找出产生错误的根源3注意幂的运算性质的逆用四个运算性质反过来也是成立的有创新精神的学生在解题时逆用性质，但大部分学生不会逆用性质或想不到，能正反灵活地运用幂的运算性质会给解题带来很大的帮助例例 2 已知 10m4，10n5，求 103m+2n的值解解：103m+2n(10m)3(10n)243521600例例 3 试比较 355，444，533的大小解解：355(35)1124311，444(44)1125611，533(53
3、)1112511，而 125243256，5333554444注意幂的意义与幂的运算性质的混淆例如：比较 234 与 243 的大小错解：234212，243212，234243产生错误的原因是：对幂的意义与幂的乘方混淆不清，教师要弄清幂的意义并与幂的性质进行比较例例 4 已知 a234，b243，c324，d432，e423，则 a、b、c、d、e 的大小关系是( )(A)abdec(B)abdec(C)edcba(D)ecdba解解：a234281，b243264，c324316，d43249218，e42348216而 216218316264281edcba故应选(C)你会巧用幂的运算
4、法则吗？你会巧用幂的运算法则吗？幂的运算法则是进行整式乘除的基础，在应用中，如能注意以下技巧，常可获得妙解一、化成同底数幂进行计算一、化成同底数幂进行计算例例 1 若 x2m+1，y3+4m，则用 x 的代数式表示 y 为_解解：2mx-1， y3+4m3+22m3+(2m)23+(x-1)2x2-2x+4二、化成同指数幂进行计算二、化成同指数幂进行计算例例 2 比较 3555、4444、5333的大小；解解：355535111(35)111243111，444444111(44)111256111，533353111(53)111125111，又 256243125，533335554444
5、例例 3 如果 a0，b0 且，(a+b)x(a-b)y，(a+b)y(a-b)x成立，那么 x+y 的值是_(A)0 (B)1 (C)2 (D)不能确定解解：将已知两等式相乘有(a+b)x+y(a-b)x+y又 a0，b0，a+ba-b，要使(a+b)x+y(a-b)x+y成立，只有 x+y0，所以选(A)三、化成已知幂的形式进行计算三、化成已知幂的形式进行计算53x+2y53x52y(5x)3(5y)2比比 较较 大大 小小A1998+19971998+199719982+199719981996+199719981997B19981998试比较 A 与 B 的大小分析：分析：(1)把 A
6、 化简成 B1998+199719981998(1+1997)19982，这样反用乘法分配律，使 1998 的指数逐次增加 1，和后面再反用乘法分配律，最后就化简成 B(2)把 B 化成 A19981998199819981997(1+1997)1998199719981997+199719981997这是仅用同底数幂的性质，应用乘法分配律，把此过程继续下去就可由 B得到 A解：方法一解：方法一A1998+19971998+199719982+19981996+1997199819971998(1+1997)+199719982+ +199719981996+19971998199719982
7、+199719982+199719981996+19971998199719982(1+1997)+199719981996+19971998199719983+199719981996+19971998199719981996+199719981996+19971998199719981996(1+1997)+19971998199719981997+19971998199719981997(1+1997)19981998AB方法二方法二B19981998199819981997(1+1997)1998199719981997+199719981997199819981996+1997199
8、81997(1+1997)19981996+19971998199719981996+199719981996+19971998199719982+199719982+199719981996+19971998199719981998+199719982+199719981996+199719981997(1+1997)1998+199719982+199719981996+1997199819971998+19971998+199719982+199719981996+199719981997AB求求 值值已知：已知：3a5b7c19d+11996，其中 a，b，c，d 都是自然数，计算：计
9、算：(a+b-c-d)1996之值分析：分析：3a5b7c19d+119963a5b7c19d1995因为 3、5、7、19 是互质数，所以 a、b、c、d 的值是唯一确定的，只须把1995 分解质因数199535719abcd1此题可解解解：3a5b7c19d+119963a5b7c19d1995199535719abcd1 (a+b-c-d)1996(1+1-1-1)1996019960在在“整式乘除整式乘除”教学中培养学生逆向思维教学中培养学生逆向思维义务教育数学教学大纲明确指出：“数学教学中，发展思维能力是培养能力的核心”在初中数学教学中主要是发展学生的逻辑思维能力，包括培养学生会观察
10、、比较、分析、综合、抽象和概括；会用归纳、演绎和类比进行推理，会准确地阐述自己的思想和观点；形成良好的思维品质本文仅就在“整式乘除”一章的教学谈谈自己培养学生逆向思维的点滴做法，不妥之处请专家同行指正在整式乘除运算中，有的运用幂的运算性质运算，有的运用乘法公式运算，大量习题都是直接套用公式计算，但有一部分如果直接运用公式不仅计算很繁，而且很难计算正确如果把公式反过来使用，就会化繁为简、化难为易一、在幂的运算性质教学中培养学生逆向思维一、在幂的运算性质教学中培养学生逆向思维1同底数幂乘法与同底数幂除法互为逆运算例例 1 与 anb2的积为 3a2n+1b2n+1的单项式是_例例 2 如果 M3x
11、yxn+1，则 M 91 181例 1 是已知积和其中一个因式，求另一个因式；例 2 是已知除式和商式求被除式，这时可利用乘法与除法的互逆来解答例例 3 已知 2a3，2b5，求 2a+b本题如果想先求出 a、b 的值，再代入 2a+b中求值，是很难办到的，初一学生无法进行，但若将同底数幂乘法的性质反过来用，就得到 2a+b2a2b，这样问题就迎刃而解了2积的乘方与幂的乘方性质的逆用例例 4 计算（3）1995（）199731观察两个幂的底数，3 和呈互为负倒数关系，积为1，于是可联想到31将积的乘方的性质逆用，但两个幂指数又不一样，怎么办呢？再将同底数幂乘法性质逆用一次，得到（3）1995（
12、）1995（）2，这样问题就解决了 31 31该题在学习整式除法这一内容后，还可将负指数幂的性质逆用，也可得解-31995(3-1)1997-319953-1997-3-2平方差公式与完全平方公式 一、公式透析平方差公式：特点是相乘的两个二项式中，a 表示的是完22)(bababa全相同的项，+b 和-b 表示的是互为相反数的两项。所以说，两个二项式相乘能 不能用平方差公式，关键看是否存在两项完全相同的项，两项互为相反数的项。完全平方公式：注意不要漏掉 2ab 项2222)(bababa二、典例解析 例 1：下列各式可以用平方差公式的是（ ）)4)(4.(cacaA)2)(2.(yxyxB)31)(13.(aaC例 2:如何用公式计算)21)(21.(yxyxD2)(1 (yx 例 3：已知 22124,10nmmnnm），求（2)(2(nm三、综合应用 1.按图中所示的方式分割正方形，你能得到什么结论b a x y 2.观察下列各式,你会发现什么规律,用只含一个字母 n 的式子表示出来.1121431311163575141553222 3).1) 13() 13)(13(232423