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1、辽宁省大连市2021-2022学年高三上学期数学期末考试试卷阅卷人得分、单选题(共8题；共16分)1.(2 分)若集合4=%|%2 2%8 0,B=x|x 3，则A B=()A.(oo,4)B.(co,2)C.(2,3)D.(3,4)【答案】C【解析】【解答】A=x -2 x 4 A C B=x -2 x 0,匕 0）的左、右焦点分别为,F2,曲线C 上存在一点 P 使得A P F 1 F 2 为等腰直角三角形，则双曲线。的离心率为（）A.V 2-1 B.V 2 C.+1 D.V 2 +1【答案】D【解析】【解答】由双曲线的对称性不妨令点P 在第一象限，其半焦距为c,因 P&F 2 为等腰直角
2、三角形，则P F 2 1 0 尸 2，仍 尸 2|=|&初=2 c,I P F 1I =&|用&1 =2 近 c，由双曲线定义得I P F 1I -仍 尸 2|=2 a,即2&c 2 c =2 a，于是得e =。=V2 4-1,所以双曲线C的离心率为我+1.故答案为：D【分析】由双曲线的对称性不妨令点P在第一象限，可得PF?，&尸2,仍 尸21=1&尸21=2C，再借助双曲线定义及离心率公式计算.6.（2分）五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明的重要组成部分.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五种属性的物质组成，如图，分别是金、木、水、火、土这五行彼此之间存在的相生相克的关系.若
3、从这五行中任选不同的两行，则这两行相克的概率为（）A.|B.1 C.|D.1【答案】B【解析】【解答】从这五行中任选不同的两行，共有用=1 0种，其中两行相克的为：土木、金木、水火、火金、水土，共6种，则这两行相克的概率为喘=今故答案为：B【分析】根据组合以及列举法、古典概型的概率公式得出答案.7.（2分）函数%）=毕 喀 的图像大致是（）、ex-ex【答案】B【解析】【解答】/（兀）=奈噜=艰之0,CD不符合题意；八，en+e 71 e7r+e 71/（_%）=关篝=_/（%）,且定义域为R,即函数/（%）为奇函数，图象关于原点对称，A 不符合题意，B 符合题意；故答案为：B【分析】根据/（
4、兀）7T3COS7T-7T3en+en en+en 0【答案】B,C,D【解析】【解答】对于A,若所有的样本点都在回归直线上，则%与实际值匕相等，A 不符合题意;对于B,直线？=放+。必过样本点中心（总 y）,B 符合题意；对于C,若所有的点（看,%）都在回归直线？=+a上，则变量间的相关系数为=1,即|r|=1,C 符合题意；对于D,变量x与y正相关，贝 b 0,D 符合题意；故答案为：BCD【分析】根据已知条件，结合线性回归方程的性质，以及相关性的定义逐一判断即可.10.（2 分）已知两个正四棱锥，它们的所有棱长均为2,下列说法中正确的是（）A.若将这两个正四棱锥的底面完全重合，得到的几何
5、体的顶点都在半径为企的球面上B.若将这两个正四棱锥的底面完全重合，得到的几何体中有6 对棱互相平行C.若将这两个正四棱锥的一个侧面完全重合，则两个棱锥的底面互相垂直D.若将这两个正四棱锥的一个侧面完全重合，得到的几何体的表面积为8+6班【答案】A,B,D【解析】【解答】对于A,如图所示，由于OE=OD=OB=OC=&；A O=FO=22-(V2)2=V2故几何体的顶点都在半径为鱼的球面上正确；对于B,由上图易知，AODW AB O F,可得4A DB=B D,故BF/1 D,同理:A B/DF；CF/A E；A C/EF,BE C D；BC/DE,B 符合题意;对于C,如图所示，对于C：在 A
6、 M。中，由于4 0=VI,M O =1，所以t a n 乙4 M。=四，所以乙4 M。4 5。，同理乙4 M H 4 5。，所以N N M K 9 0。；由于M N 1 B E、M K 1 B E,所以Z J VM K 为平面B C D E 和平面B E F G 所成的二面角的平面角，故两个四棱锥的底面不互相垂直，C不符合题意；对于D,由图可知S =2(2 2+4 x 2 x 8)4 x 2 x 7 5 =8+8，D符合题意.故答案为：A B D【分析】根据图形求出个顶点到O 的距离可判断A,由平面直线平行的判断可确定B,根据二面角的平面角的大小可判断C,由多面体的表面积计算可判断D.1 1
7、.(2 分)右 0 C|：x 2 +y 2 -4 a x +4 a 2 -4 =0和圆C 2 ：%2 +4by 1 6 +4 庐=0(u,b /?)恰有三条公切线，则下列结论正确的是()A.：1B.-3 5/2 W a +b W 3 /2C.4 W (a 3)2 +(b 4)2 6 4 D.-3 工 ub 4 3【答案】B,C【解析】【解答】由圆C i：x2+y2 4 a x +4 a2 4 =0,可得(x 2a)2+y2=4,圆心为G(2 a,0),半径为2,由圆 C z：x2+y2+4by-1 6 +4b2=0,可得%2 +(y +2b)2=1 6,其圆心为。2(0,-2 b),半径为4,
8、由题可得 I G C 2 I =J(2 a)2 +(2 b)2 =2 +4 =6,*a2 4-b2=9，取a =0,b=3 则处J =2 2 a b，可得2(。2 +b2)a2+b2+2ab=(a +b)2,，(a +bp 2(a2+b2)=1 8，当且仅当a =b 时取等号/.-3 V2 a +b 3 V2.B 符合题意；由a 2+属=9 可知(如匕)为圆心(0,0)半径为3的圆上任意一点，则(0-3)2 +(0-4)2-3 J(a -3)2+(h -4)2 即 4 (a-3)2+(匕 -4)2 求得各项值，分析计算，即可判断D的正误，即可得答案.阅卷人三、填空题(共4题；共4分)得分13.
9、(1 分)已知向量=(-1,2),方=(3,m),若0 +3)1 6，则 a-b=.【答案】5【解析】【解答】因为伍+a _ 1出所以(伊+而缶=0,即0)2+五.坂=0，所以（一 1）2+22+（-1）x 3 +2m =0,解得m=-1,所以五一 了 =（一 4,3），所以口一瓦=J（-4）2+3 2=5.故答案为：5【分析】根据题意，结合数量积公式，可求得m值，即可求得自一力=（_ 4,3），代入求模公式，即可得答案.1 4.（1 分）已知在（4-2）的展开式中，第 3 项和第1 0 项的二项式系数相等，则展开式的系数和为.【答案】-1【解析】【解答】因为第3 项和第1 0 项的二项式系数
10、相等，所以琮=琮，即几=1 1令 =1,则展开式的系数和为（1 一 2）u =-L故答案为：-1【分析】根据二项式系数的性质得出n =1 1,再由赋值法得出展开式的系数和.1 5.（1 分）已知抛物线E：y 2=4 x 的焦点为F,过F作一条直线与抛物线E 及其准线都相交，交点从左到右依次为A,B,C,若历1 +再 肝=6,则线段BC 的中点到x 轴的距离为.【答案】1【解析】【解答】抛物线E：丫 2=以的焦点?（1,0）,准线 =-1,由抛物线对称性不妨令点C在第一象限，如图，过B 作直线B P 垂直于抛物线E 的准线，垂足为P,则有|BP|=|BF|,因 解+通 即=6,即 而=A B=y
11、5BF=V5BP,A P=2BP,直线 AB 的斜率k=t a n FB=t a n 4 P B4 =2,直线A B 方程为：y=2(x 1),由2 r J 消去x 并整理得：y2 2y -4 =0,设B(%i，y 1)，C(x2,y2)线段 BC 中点M(x(),y0)则有、0=%=1，所以线段BC 的中点到轴的距离为1.故答案为：1【分析】根据给定条件求出直线A B 的斜率，再联立直线A B 与抛物线E 的方程，求出线段B C中点纵坐标作答.1 6.(1 分)已知函数f(x)=?声-x+(m。0)有三个零点4 1，x2,X3且有 1%2 0方程有两个不等的实根，t i，攵，口f 2 =1
12、2 0,贝 亚 2 0，令g(x)=2 竺，g(x)=x x当x e (1,+8)时，g(x)0即函数g(x)在(1,+8)上单调递减，在(0,1),(-c o,0)上单调递增，g(l)=2-e 0如下图所示 函 数/(%)有三个零点久 1，X2,%31%1%2 0,ai+a2=6,a3-a2=4.(1)(5分)求%的通项公式;(2)(5分)记勾=log2an,求数列 牙)的前n 项和7rp【答案】解：由 题 意 得)曹 U4,解得口=2 或0 =(舍)，代入可得Q i =2,所以斯=2 x 2 T=2n(n N*)（2）解：由（1）可得=/0。2斯=1。22=几，山 1 1 _ 1 1所以如
13、&+（n+l）_ 玉 _ 市 所以=1一抖+=1 一 系【解析】【分析】（1）根据等比数列通项公式，代入条件，可求得%=2,q=2,代入通项公式，即可得答案；（2）由（1）可得与=/先 斯=/。先2=%根据裂项相消求和法，即可得答案.18.（10分）ABC的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,已知2b=2acosC-c.（1）（5分）求角A的大小；（2）（5分）若点。为BC的中点，且/。=2,求边a的最大值.【答案】（1）解：由2b=2acosC-c,得2sinB=2sin/lcosC-sinC所以 2sin（4+C）=2sin4cosC sinC所以 2sin4cosc+2cosAsinC
14、=2sin4cosC sinC因为sinC W 0,所以cos4=由A 6（0,冗）,得A=等.（2）解：因 为 而+元=2而，所以（而+而）2=（24）2AB2+AC2+2AB-AC=1 6.即|而+AC2-AB AC=16因 为 近=近 一 南，所以（近）2=（前 一 厢VBC2=AC2+项 产-2A B -AC，即 画2=由/+丽2+丽|荷 将式代入式，得 国 产=16+2|阿 国|又由式可知 16+AB AC=AB2+|前E 2AB AC所以|而|而|16，当且仅当|而|=国|时等号成立.所以|配产=16+2|布|而|W48，BP|BC|)+0 =2=噌f1|n|1 1/13 1/13
15、 13选因 为 1平面PBD,A D u 平面力B C D,所以平面ABC。1平面P8。易知BD为BP在平面4BCD内的射影，NPBO即为PB与平面A8CC所成的角，即/PBO=60。，又因为PB=P D,所以PBD为等边三角形.连接CE交BD于点。，则。为B。的中点，连接P。，贝 IJPOJ.BD因为平面ABCD 1平面P B D,平面ABC。C 平面PB0=B D,所以PO，平面ABCD所以P O JL O E,由题意可知，OE11A D,所以O E J.B。故以点。为坐标原点建立如下图所示的空间直角坐标系4(2,-V3,0),P(0,0,3),8(0,V3,0),C(-l,0,0)则 方
16、=(1,遮，0),丽=(0,遮，-3),南=(-2,2遮，0)设平面PBC的法向量为五=(%,y,z),由 您 W=?得 岛=。令X=3,则诂=(3,-V3,-1)点4到平面PBC的距离为|窄|=|-2*3+嗡 、)+0|=荒=当 要选因 为，平面PBD,A D u 平面2 B C D,所以平面ABC。1平面PBD易知BD为BP在平面ZBCD内的射影，A P B D P B A B C D f f J i，即/PBD=60因为A。_L平面PB。，所以4。1 PD又因为A O 1 B D,所以二面角P AD B的平面角为N PD B,所以/PDB=60。所以APB。为等边三角形.连接C E 交B
17、 O 于点。，则。为B 0 的中点，连接P 0,则P O 1 B D因为平面力B C D _ L 平面P B D,平面Z B C D n 平面P B D =B D,所以P 0 平面A B C D所以PO1OE,由题意可知，0EA D,所以。E 1 B D故以点。为坐标原点建立如下图所示的空间直角坐标系力(2,-V3,0),P(0,0,3),B(0,V3,0),C(-l,0,0)则 加=(1,V3,0),而=(0,V3,-3),A B=d-2,2 遮，0)设平面P B C 的法向量为元=(%,y,z),由 篙得 计 加=-n =0(V3y -3z=0令 =3,则记=(3,-V3,-1)点4 到平
18、面P B C 的距离为|与祭|=|-2x3+2浸 一 行)+0|=推=等 要【解析】【分析】(1)根据圆的性质证明4。1 B D,再由A D 1 P B 结合判定定理证明即可；(2)连接C E 交B D 于点0,连接P 0,证明P。，BD,C E 两两垂直，建立坐标系，利用向量法求解即可.2 0.(1 0分)已知椭圆E：弓+马=l(a b 0)的左，右焦点为F i，F2,离心率e器，P 为椭圆Ea b J上任意一点，且满 足 西 丽的最小值为1.(1)(5 分)求椭圆E 的标准方程；(2)(5 分)经过右焦点尸2 的直线1 与椭圆E 交于4 B 两点，若的三边长|F i川，|4 B|,|B F
19、 i|成等差数列，求&A B 的面积.【答案】解：设点P g,y0),&(-c,0),F 2(以 0)，则/+$=1，即%=房(1_号)P%=(-c-X o，-y0),PF2=(c -x0 一九)所 以 西 际=(%o +c)(x0-c)+羽=就+羽 一 c?=%o +-c2所以当 o =o 时，丽 丽 取得最小值1,所以/c 2 =lr b2-C2=1 ra2 _ 9即(e =H,解得J =5,所以椭圆E 的标准方程为+=iQ I 2 4 5L2=62+C2 2 =4(2)解：由题意可知2 1 A B i=|叫|+I B F J =4 a|/B|,所以明=竽=4当直线A B 的斜率不存在时，
20、直线4 B 的方程为=2将x =2 代入4+q=1，得y =得48=孚不符合题意y 5 3 3当直线A B 的斜率存在时，设直线A B 的方程为y =k（x-2）%2 y 2由 T+亏=1 ,得（5 4-9 k 2）/一 36 k 2%+36/c2-4 5 =0y=f c（x -2）2 2设4（%i，yt）,B（%2，%），则%+%2 =36 k,%i%2 =7 5+9/5+9/36 k 2_）2 _ 4（36 45）4即4B=5/1 +k2yl（石+犯）2 4%i%2 =V l +k2（2）曲 5+弘2）41 5+9/c2整理得。OQ+与）=4,得廿 T，所以k=5+9k 1 4k l nn
21、 1点F i 到直线A B 的 距 离 底/=V1,所以 R A B 的面积为:x国x 4=2 V 1 0.【解析】【分析】（I）利用数量积的坐标运算结合二次函数的性质得出呈-02 =1，再由椭圆的性质得出椭圆的标准方程;（2）由等差中项的性质以及椭圆的定义得出|A B|=竽=4,讨 论 直 线 的 斜 率，联立椭圆和直线方程，根据弦长公式得出k =J|，再由距离公式得出点F i 到直线A B 的距离，进而得出A F i A B面积2 1.（1 5 分）某地区出现了一种病毒性传染病疫情，该病毒是一种人传人，不易被人们直接发现，潜伏时间长，传染性极强的病毒.我们把与该病毒感染者有过密切接触的人群
22、称为密切接触者，一旦发现感染者，社区会立即对其进行流行病学调查，找到其密切接触者进行隔离观察.通过病毒指标检测，每位密切接触者为阳性的概率为1 -p（0 p 1）,且每位密切接触者病毒指标是否为阳性相互独立.调查发现某位感染者共有1 0位密切接触者，将这1 0位密切接触者隔离之后立即进行病毒指标检测.检测方式既可以采用逐个检测，又可以采用Z合 1 检测法”.“k 合 1 检测法”是将k 个样本混合在一起检测，混合样本中只要发现阳性，则该组中各个样本必须再逐个检测；若混合样本为阴性，则可认为该混合样本中每个人都是阴性.（1）（5 分）若逐个检测，发现恰有2个人样本检测结果为阳性的概率为f（p）,
23、求/（p）的最大值点P o；（2）（5 分）若采用“5 合 1 检测法”，总检测次数为X,求随机变量X 的分布列及数学期望E（X）；（3）（5 分）若采用“1 0合 1 检测法”，总检测次数丫 的数学期望为E（Y）,以（1）中确定的P o 作为p 的值，试比较E（X）与E（y）的大小（精确到0.1）.附：21 5=3 2 7 6 8.【答案】（1）解:有 2 个人样本检测结果为阳性的概率为f（p）=C fo（i _ p）2 P8f(p)=/2(1-p)p 8 +8(1-p)2 P7 =2/(1 -p)p 7(4 -5p)令/(p)=0，得p =0.8,当0 p 0：当0.8 p l 时，/(p
24、)0即函数f(p)在(0,0.8)上为单调递增,在(0.8,1)上单调递减，即/(p)的最大值点Po =0 8(2)解：采用“5 合 1检测法”，总检测次数为X 可能为2,7,12P(X=2)=p i。，P(X=7)=2 P5(1-p 5),p(x=12)=(1-p 5)2 随机变量X 的分布列为X2712pp i o2 p5(l-p5)(l-p 5)2数学期望为E(X)=2pw+14 P5(1-p5)+12(1-p 5)2 =12 _ l O p5(3)解：当p =p o =O.8 时，F(X)=12 -10 x 0.85=12 -10 x =12 -10 x 12 -10 x105 105
25、0.33=8.7采用“i o 合 i 检测法“，总检测次数y 可能是i,i tP(Y=1)=p 1,P(Y=11)=1-p10数学期望E(Y)=p10 4-11(1-p10)=11-l O p10 11-10 X 0.332 9.9A E(X)0 时，/(x)-g(x)0 恒成立，求实数a的取值范围；(2)(5分)若函数F(x)=f(%)+g(x)的最小值为TH,试证明：函数G(x)=靖一根一 有 且 仅 有一个零点.【答案】(1)解：由题意得(e ax)(ax 伍x)0,因为当x 0时e*I nx,所以原不等式等价于e*ax I nx,当 丁 =与旷=ax 相切时，设切点(&,y0),则y
26、=eX 所以切线的斜率k =ex=a,又、0 =0,yo=ax()f 联立解得%0 =1,所以切线斜率Q =e，同理当y =b t x 与y =ax 相切时，可求得切线斜率a=e因为e*ax I nx,所以工 a 0,所以F(x)在(0,+8)上为增函数，又F(l)=e-1 0,喝)=V e-2 0，所以F(x)在(0,+8)上存在唯一零点%o，且%1),1 1此时F(x0)=ex -=0,即e。=,xo xo当 e(0,久 0)时，F(x)0，则F(x)为增函数，1 1所以F(x)的最小值为巾=F(x0)=ex -l nx =靖。-In 函=+x0 2,令G(x)=ex-m-lnx=0,整理
27、得e*-eml n x =0,令H(x)=/-e7 nl n x,则“(%)=/-9，在(0,+8)上为增函数，因为？n2,所以 H(l)=e-eR O,H(m)=em-=em(l -)0)所以H (x)在(0,+8)上存在唯一零点打，且X IC(1,m),emW (x i)=exi -=0当x e(0,%)时，H(x)H(x)为减函数，当+8)时，”(x)0，”(x)为增函数,所以 H Q i)=eX1 e 叫 r E q,又?n =ex l n x0=-1-In 一,11所以1 +l n%i =-F In,又函数y =x +In x 在(0,+8)上为增函数,所以H(%i)=eX1 emn
28、x1=e。一 emn =eo e0 -In =e“0 ex0-In 一 ,%01 1T-,，0 ,(%o -也白)=；ex0 (%0+l n x0)xo xo xo因为%o +l n x0=0,所以(血)=0,则”(%i)3 0 在(0,+8)上恒成立，所以“(%)=0 有且仅有一个根=X i，所以函数G(%)=靖一徵一工有且仅有一个零点.【解析】【分析】(1)分析可得e ax I nx,分别求得y =e与y =QX相切时和y =仇 与 y =ax 相切时，a 的值，综合分析，即可得答案.(2)利用导数,求得FQ)=/(%)+g(x)=短-加的单调区间和极值，即可得m的表达式和范围，G(x)=
29、exm-I nx=0 的零点等价于求(%)=ex-e叫n%的零点，利用导数，求得H Q)的单调区间和极值，计算化简，可得m=eo -l n x0=；+i n；,分析可得勺=分析即可得证.殉 殉试题分析部分1、试卷总体分布分析总分：89分分值分布客观题（占比）28.0(31.5%)主观题（占比）61.0(68.5%)题量分布客观题（占比）16(72.7%)主观题（占比）6(27.3%)2、试卷题量分布分析大题题型题目量（占比）分 值（占比）填空题4(18.2%)4.0(4.5%)解答题6(27.3%)61.0(68.5%)多选题4(18.2%)8.0(9.0%)单选题8(36.4%)16.0(1
30、8.0%)3、试卷难度结构分析序号难易度占比1普通(68.2%)2容易(27.3%)3困难(4.5%)4、试卷知识点分析序号知识点（认知水平）分 值（占比）对应题号1古典概型及其概率计算公式2.0(2.2%)62等比数列的通项公式10.0(11.2%)173直线与圆锥曲线的综合问题11.0(12.4%)15,204异面直线及其所成的角2.0(2.2%)85相互独立事件的概率乘法公式15.0(16.9%)216双曲线的简单性质2.0(2.2%)57数列的求和10.0(11.2%)178正弦定理10.0(11.2%)189复数代数形式的乘除运算2.0(2.2%)210向量在几何中的应用10.0(1
31、1.2%)1811导数的几何意义10.0(11.2%)2212向量的模1.0(1.1%)1313数列的应用2.0(2.2%)1214数列递推式10.0(11.2%)1715球内接多面体2.0(2.2%)1016函数的零点11.0(12.4%)16,2217离散型随机变量及其分布列15.0(16.9%)2118对数的运算性质2.0(2.2%)419线性回归方程2.0(2.2%)920其他不等式的解法2.0(2.2%)1121利用导数研究函数的极值10.0(11.2%)2222函数y=Asin(u)x+(p)的图象变换2.0(2.2%)323平面向量数量积的运算1.0(1.1%)1324直线与平面垂直的判定6.0(67%)1925棱柱、棱锥、楼台的侧面积和表面积2.0(2.2%)1026基本不等式在最值问题中的应用10.0(11.2%)1827利用导数研究函数的单调性10.0(11.2%)2228三角形中的几何计算10.0(11.2%)1829棱锥的结构特征2.0(2.2%)1030二项式定理1.0(1.1%)1431交集及其运算2.0(2.2%)132空间向量的夹角与距离求解公式6.0(67%)1933函数的图象2.0(2.2%)734圆与圆的位置关系及其判定2.0(2.2%)1135椭圆的标准方程10.0(11.2%)2036离散型随机变量的期望与方差15.0(16.9%)21