《福建省福州市2022届高三下学期3月一模试题 数学【解析版】.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《福建省福州市2022届高三下学期3月一模试题 数学【解析版】.pdf(27页珍藏版)》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、福建省福州市2022届高三下学期3月一模试题数学【解析版】第 I 卷一、单项选择题:本题共8 小题,每小题5 分,共 4()分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1 .若复数z满足z(l-i)=4 i,则 z 在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】由z(l-i)=4 i 求出复数z,从而可求得其所在的象限【详解】由 z(l i)=4 i,得 z=/r=2 i +2 i?=-2 +2 i,l-i (l-i)(l +i)所以z 在复平面内对应的点为(-2,2),位于第二象限,故选:B2 .己知A(6,O),B(G
2、,O),C(O,3),则AABC外接圆的方程为()A (x-l)2+y2=2 B.(x-1)2+2=4 C.x2+(y-l)2=2 D.x2+(y-l)2=4【答案】D【解析】【分析】求得AABC外接圆的方程即可进行选择.【详解】设AABC外接圆的方程为(x -a)2 +(y-。)2 =/(-V 3-a)2+(0-/?)2=r 卜=0则有(百 4+(04 =产,解之得=1(0-a)2+(3-)2=r2 1/=2则AABC外接圆的方程为f+(y_ l)2 =4故选:D3 .中国营养学会把走路称为“最简单、最优良的锻炼方式“,它不仅可以帮助减肥,还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量 等.下图为甲
3、、乙两人在同一星期内日步数的折线统计图:星期一星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日则下列结论中不正确的是()A.这一星期内甲的日步数的中位数为1 1 6 0 0 B.乙的日步数星期四比星期三增加了 1 倍以上C.这一星期内甲的日步数的平均值大于乙 D.这一星期内甲的日步数的方差大于乙【答案】B【解析】【分析】对于A:直接求出中位数;对于B:求出乙的星期三和星期四步数,计算可得;对于C:分别计算出甲、乙平均数,即可判断;对于D:分别计算出甲、乙方差,即可判断;【详解】对于A:甲的步数:1 6 0 0 0,7 9 6 5,1 2 7 0 0,2 4 3 5,1 6 8 0 0,9 5 0
4、 0,1 1 6 0 0.从小到大排列为:2 4 3 5,7 9 6 5,9 5 0 0,1 1 6 0 0,1 2 7 0 0,1 6 0 0 0,1 6 8 0 0.中位数是 1 1 6 0 0.故 A 正确;1 2 9 7 0对于B:乙的星期三步数7 0 3 0,星期四步数1 2 9 7 0.因为-1.8 4 立.故 C 正确;对于D:s甲 2=如6 0 0 0 1 1 0 0()y+(7 9 6 5 1 1 0 0 0)2+(1 2 7 0 0 1 1 0 0 0)2+(2 4 3 5 1 1 0 0 0)2+(1 6 8 0 0 1 1 0 0 0)2+(9 5 0 0 1 1,5i
5、,1=1(14200-10500)+(I2300-I0500)2+(7030-10500):+(12970-10500)2+(5340-105()0):+(116OO-1O5OO)2+(10060-I0500);J=9014429 iy,.故 D 正确;故选:B.4 .“0 a b 是”的()a hA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由=%-,的单调性可依次判断充分性和必要性是否成立,由此可得结论.X【详解】.y=X -g在(y,0)和(0,+8)上均为增函数,当0a 人时,a-b-,充分性成立;a b当。一,力一工时,。v
6、 Z?v O或0a,必要性不成立;a b0a b 是“a的充分不必要条件.a b故选:A.5 .己知P是半径为3 c m的圆形砂轮边缘上的一个质点,它从初始位置凡开始,按逆时针方向做圆周运动,TT7T角速度为r ad/s.如图,以砂轮圆心为原点,建立平面直角坐标系方为,若/用6 =小,则点尸的纵坐标V关于时间。(单位:s)的函数关系式为()B.y=3sinn 7 it+2 3C.y=3 s i n 4 r-y【答案】D【解析】D.y=3sin7 i nt2 3【分析】设点p的纵坐标y关于时间。(单位:S)的函数关系式为 丁=击 皿(社+。),求出A的值,/)T T t jr时,射线OP可视角-
7、的终边,结合三角函数的定义可得出函数解析式.2 3【详解】设点p的纵坐标y关于时间,(单位:S)的函数关系式为 丁=4 5 m(a+0),J T由题意可得A =3,(P=,r(s)时,射线OP可视角日 一?的终边,则 丁 =3 5 m1当 一?1故选:D.6 .从集合 1,2,3 的非空子集中任取两个不同的集合A和5,若AC5W0,则不同的取法共有()A.4 2 种 B.3 6 种 C.3 0 种 D.1 5 种【答案】C【解析】【分析】分别讨论集合A中元素个数为1,2或3的时候,集合3的取法数,由分步乘法和分类加法计数原理可求得结果.【详解】若集合A仅有1个元素,则集合A有C;=3种取法;集
8、合8有2?=3种取法;此时共有3 x 3 =9种取法;若集合A中有2个元素,则集合A有 =3种取法;集合3有+1 =5种取法;此时共有3 x 5 =1 5种取法;若集合A中有3个元素,则集合3为 1,2,3 的非空真子集,有2 3-2 =6种取法;此时共有1 x 6 =6种取法;综上所述:不同的取法共有9+1 5 +6 =3 0种.故选:C.7 .已知平面向量1万忑均为单位向量,且卜.=1,则 仅 一方)伍 一 的最大值为()1 1 3A.B.C.1 D.一4 2 2【答案】B【解析】【分 析】利 用 卜-可2 =1和 向 量 数 量 积 的 运 算 律 可 求 得 之名=;,并 将 所 求
9、式 子 化 为-c o s ,由COSG-L 1 可求得结果.【详解】.,|万 一5|二江?一2万5 +5 2 =2 2万5 =1,a-b.a-by(b=a-b-a-c-b2+B 不 (万一)=-|a-Z|-|c|c o s 1 一1一=-c o s ,2,.c o s G-1,1 ,,-乙)w 一|;,即4 0 3的最大值为故选:B.8.折纸是我国民间的一种传统手工艺术.现有一张长l()cm、宽8 c m的长方形的纸片,将纸片沿着一条直线折叠,折痕(线段)将纸片分成两部分,面积分别为H.S?.若5 :$2 =1:3,则折痕长的最大值为()A./8 9 c m B.1 0 c m C.2/2
10、9 c m D.2 /3 4 c m【答案】C【解析】【分析】由已知可确定5=20cm 分别在三种折叠方式下利用面积建立关于折痕的函数关系式,根据二次函数和对勾函数的单调性可求得最值,由此可得结果.【详解】由题意得:长方形纸片的面积为10 x 8 =8 0(c m 2),又S:S2 =1:3,S =2 0c m2,S2=6 0c m2;当折痕如下图所示时,设 A E=x,A F =y,-A =2 02则1 0 W x W 1 0,解得:0 4y4 8x y =4 05 x 102 2 2 16 00EF =x+y =x+r-x2令=闫2 5,100,/)=.+四(2 5 W Y 100),./
11、(/)在(25,40)上单调递减,在(40,100)上单调递增,又“25)=25+64=89,”100)=100+16=116,.-./(r)G80,116,/.E Fe 4V5,2X/29;/(40)=40+40=80,当折痕如下图所示时,设=D F =y,则g(x+y)x8=200 x10,解得:0y10.E R 2=(x-y)?+64=(2x-5)?+64,令g(x)=(2x 5)2+64(0MxW5),则 g(x)在(0。x+y=50 x 5 J上单调递减,在(g,5)上单调递增,又g(0)=25+64=89,g11)=64,g(5)=25+64=89,.g(x)e64,89,.,斯
12、平,屈 ;设AE=X,BE=y,则(x+j)xl0=200 x8,解得:,08x+y=40 x 4?.-.EF2=(x-y)2+100=(2x-4)2+100令(x)=(2x 41+100(0WxW4),则/z(x)在(0,2)上单调递减,在(2,4)上单调递增,又 1(0)=16+100=116,7z(2)=100,/z(4)=16+100=116,/./z(x)e 100,116),.EFe10,2a ;综上所述:折痕长的取值范围为8 2 a ;折痕长的最大值为2晒cm.故选:C.二、多项选择题:本题共4 小题,每小题5 分,共 20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要 求.全部
13、选对的得5 分,部分选对的得2 分,有选错的得0 分.2 29.已知椭圆C:L +匕=1的左、右焦点分别为,工,P为C上一点,则()4 3A.C 的离心率为也 B.。耳月的周长为52C./片 尸 与 9()D,l|P f;|/3,:.ZFtP F2=6 0 ,即(/4尸6)皿=60。,1 -tan2-1-1-23.尸 后 90。,C正确;对于 D,=a-C=l,归6 1max=a+C=3,1-lll-3,D 正确.故选:CD.10.已知等差数列 4 的前项和为s“,公差d w O.若5“K S 6,则()A.(0 B.J 0 C.a6=0 D.S13 0,0,再根据d。o,即可得到 0,最后根
14、据等差数列前n项和公式及下标和性质判断SI3;【详解】解:因为5.臬,所以SsS6且S7Ks6,即4=5$-S5 NO,a7=S7-S6 0,因为即4、%不 同 时 为 零,所 以。=。7-4 0,%=13(4;%)=3%0,故D正确;&不一定为零,故C错误;故选:BD11.设函数/(x)定义域为R,7(x T)为奇函数,/(x+D为偶函数,当x e(-l,l)时,/(x)=-x2+l,则下列结论正确的是()A./()=一;B./(尤+7)为奇函数C./(%)在(6,8)上 减函数 D.方程/(x)+Igx=0仅有6个实数解【答案】ABD【解析】【分 析】由题干条件可以得到/(x)关于(一 1
15、,0)对 称,关 于x=l对称,/(幻周 期 为8,从而求出3“A正确;根据周期与奇偶性判断出B选项,先根据奇偶性与单调性得到 了(X)在(-2,0)单调递增,再根据周期求出“X)在(6,8)上单调递增,画出f(x)与y =Ig x的函数图象,判断出交点个数,从而得到D选项正确.【详解】/(X+D为偶函数,故/(x +D=/(x+1),令x =|得:/(1)=/(-1+1)=/(-|),f(x-D 为奇函数,故/(x -I)=-/(一一1),令x 得:/($=其中C 3 7 3 3=-7+1 =7)所以/(3)=/(一5)=7=_1人正确;乙)乙 乙 乙)J因为f(x-l)为奇函数,所以八幻关
16、于(一1,0)对称,又/(X +1)为偶函数,则/(X)关于 =1对称,所以/(幻周期为4 x 2 =8,故/(x +7)=/(x-l),所以f(-x+7)=f(-x-T)=-f(x-l)=-f(x-l+S)=-f(x+7),从而/(x +7)为奇函数,B 正确;/(幻=一无2 +1在%(一1,0)上单调递增,又/(幻关于(-1,0)对称,所以/(X)在(-2,0)上单调递增,且/(幻周期为8,故/(X)在(6,8)上单调递增,C错误;根据题目条件画出/(X)与y =-Ig x的函数图象,如图所示:其中y =Ig x单调递减且一 Ig l 2 -1,所以两函数有6个交点,故方程/(x)+l g
17、 x =0仅有6个实数解,D正确.故选:AB D【点睛】抽象函数对称性与周期性的判断如下:若/(%+。)=/(一x+Z?),则函数y =/(x)关于x =对称;若/(x+a)+-x+0)=0,则函数y =/(x)关于1区9,0)中心对称;若f(x+a)=/(x+b),则 一4是y =/(x)的一个周期.12.已知正四面体ABC。的棱长为3,其外接球的球心为。.点 E 满 足 荏=丸 而(0 2C=G”则 A C/E F,A C/G H ,则 EF/GH又 8 0 平面a,平面a f l 平面45。=好/,平面a P l平面则 BD/EH,BD/GF,则 E H GF则四边形E F G H为平行
18、四边形.由 题=2 而,可得 A E:A B=/l,则 H E:D B=2,E F:A C=1-A又正四面体ABC。的棱长为3,则 H E =G F=3 A,E F=GH=3(1-A)选项A:四边形E F G H的周长为H E+G尸+EF+G H=232+3(14)=6.判断正确;1 3 3选项B:当/1=上时,H E =G F=,E F =G H=-,则平行四边形E FG H 为菱形2 2 2又正四面体A3C D 中,对棱B D L A C,则 E F 上E H,则菱形EFG”为正方形.判断正确;分别取B。、BC、AC的中点例、N、Q,连接W、CM.M Q ,设。N、C M 交于K ,连接A
19、 K,则AK为正四面体的高正四面体ABC。的棱长为3,其外接球的球心为。,则。在 AK上,连接C。A M =C M=;g ,K M =;C M =*3 6 =,A K =ylAM2-KM2=娓设球0半径为R,则C O2=K C2+K O2,即R2=(&y+(逐一R,解之得R=(后由 AM=CM,A Q =Q C,可得 M Q L A C同理有M Q-L B O,则 M Q 为异面直线BD、A C 之间的距离M Q M C2-QC-=-yl,则点K 到 A C 的 距 离 为 血,球心。到 A C 的距离为亍J5选项C:当4=工时,设a 与交于7,则7c=4MC=立,T 到 A C 的距离为也3
20、3 2 2球心。到平面E F G H的距离为也4则平面a 截球。所得截面半径为2屈则平面a 截球。所得截面的周长为旧 兀.判断错误;选项D:由 荏=4 A 豆,M Q =:叵可得点4 到平面E F G H的距离为i 血几,又平行四边形E F G H为矩形,21则四棱锥 A-E E G”的体积丫3 r-9 r-3 2 2o a令/(x)=-V2x2(1-x)(0 x 0 得0 c x ,由/(x)0,得5 c x x+I n x,x 0/.f M =7=+,则 八1)=+1=0,a 2,2T x x 2当a =2时,/(x)=l +-=yI X X X0 c x 0,X 1 时,f(x)铤卷手国
21、强【答案】1 7 1 9.6【解析】【分析】根据所给数据算出答案即可.【详解】边长为1 0 c m的正六边形的面积为6 x,x l 0 x l 0 x s i n 6 0 =1 5 0 5 c m22所以表面积为2 x 1506+6 x l 0 x 2 0=1 2 0 0+3 0 0 7 3=1 2 0 0+3 0 0 x 1.7 3 2=1 7 1 9.6 c m2故答案为:1 7 1 9.6s i n。c o s a1 5.写出一个使等式:XZ、十二7775一 成立的。的值为I 6 j I 6 jjr 2 k _1_ 1 T T【答案】一(答案不唯一,只要满足。=-兀一亿e Z)即可).8
22、 4 8 ,【解析】【分析】利用二倍角和两角和差正弦公式化简已知等式得到s in 2a+看=s in 2a+?,由正弦函数性质可确定2a+2 +2a+工=(2攵+l)%(ZeZ),由此可解得结果.3 6.s in a c o s a+c o s a s in a+工 s in 26 z +1 洋 加.s in a c o s a-(I 6 j _ 6 j _s in a+c o s a+s in a+c o s a+s in 2a+一I 6;I 6;I 6;I 6 j 2 I 3jjr jr 2 k +jr2 a+耳+2 a+q=(2Z +1)(Z Z),解得:O L TCI TT T当我=0
23、时,a=7,.使得等式成立的一个a的 值 为 了(答案不唯一).8 8故答案为:-(答案不唯一,只要满足。=竺 担 万 二(Z e Z)即可).8 4 8 V 16.己知抛物线C:y 2=4 x的焦点为F,过尸的动直线/交。于A B两点,过A,5分别作C的切线,4,4与4交于点尸.经探究可知点P必在一条定直线上,其方程为;记4,4与 轴的交点分别为M,N,若/的倾斜角为30,则四边形P A W的面积为.【答案】x=-l .4【解析】【分析】设/:x=9+i,与抛物线方程联立可得韦达定理形式;结合导数知识可求得4,4方程,由此可求得p点横坐标恒为-1,由此可得定直线x=-1;由412方程可求得“
24、,N坐标,结合韦达定理可求得|MN|,由s =S.PMN+S.N 可求得结果.【详解】由抛物线方程知:尸(1,0),设/:x=(y +l,A(X ,x)(y0),3(/,%)(%0),由 x=(y +l/“得:y2=4xy2-4 ty-4 =0,yi+y2=4t71 2=-4当yNO时,由 y?=4x 得:y=2 6,:y=j=,7x,./:y=1=x+;当 y。时,由)3=4 元得:y=,:丫,=-=,又 丫2=-2后:12:y=一卡x-又 j+J R O,.X =_ J q/=-1,*,点P必在定直线工=一 1上;由4,,2方程可求得加仅,嘉),N(0,M),:,MN=+E;当/倾斜角为3
25、 0 时,/方程为:x=J y +l,.2=4 百 ,J x,+工 2=6(乂+%)+2=14X%=T ,.玉/=1 ,=,+2,中 2=14+2=16 ,解得:|M N|=4,四边形 PMFN 的面积 S =S.PMN+S.=;|M N|x 2=4.y【点睛】结论点睛:过点(。,0)(。0)作直线/交抛物线V=2 px于A 3两点,过A 3两点分别作抛物线的两条切线,则两条切线的交点必在定直线:x=-a上.四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列 ,的前n项和为Sn,4=1,%=2,且Sn+2=S+1+4a”.(1)求 4 ;【答案】(1)
26、%=2 T(e N*)(2)证明见解析【解析】【分析】(1)分析可知数列 4卜1是首项为4=1,公比为4的等比数列,数 列 是 首 项 为4 =2,公比为4的等比数列,求出外、4 的表达式,即可得出数列 4 的通项公式;(2)利 用 放 缩 法可得出,结合等比数列的求和公式可证得原不等式成立.【小 问1详解】解:由 SN=Sn+l+4an 得 an+2=4an.所以,当=2左一1(%e N*)时,a2k+l=4 a2所以数列%*_)是首项为q =1,公比为4的等比数歹U,故=卬 x 4|=1 x 4 J,即 4bl =22k2=2(2*T)T当=2%(女 e N*)时,则 a21c+2=4 a
27、 2*,所以,数 列 是 首 项 为%=2,公比为4的等比数列,所以,=4 x 4*T=2 x 41=22k-所以 a“=2 T(e N*).【小问2详解】证明:由(1)知-=;4 2-+15所以 一+一 +J 4+1 a2+1 an+1 0+出 好+/故原不等式成立.1 8.记AABC的内角A,B,C所对的边分别为。,b,c,己知。s i n C =s i n C+g c o s C,A =y.(1)求c;(2)在下列三个条件中选择一个作为补充条件,判断该三角形是否存在?若存在,求出三角形的面积;若不存在,说明理由.8 c边上的中线长为亚,边 上 的 中 线 长 为 近,三角形的周长为6.注
28、:如果选择多个条件2分别解答,按第一个解答计分.【答案】(1)c=2(2)选,三角形不存在;选,三角形存在,面积为2叵;选,三角形存在,面积为G2【解析】【分析】(1)利用三角形内角和与三角恒等变换化简求值;(2)选,方法一:由c o s/4 Z)B =-c o s N 4 Z)C,在,AADC,AABC分别用余弦定理可得方程组,求解即可;方法二:由A方=,(A月+无。),平方,结合向量数量积公式解方程;方法三:建立平2面直角坐标系,结合中点公式及两点间距离可得方程,求解;选,在AACE中利用余弦定理,可解得A C ,进而可得面积;选,在AABC中用余弦定理,结合周长,可解得各边长,进而求得面
29、积.【小 问1详解】由 /?s i n C =s i n C +G c o s C得 c s i n 3 =2 s i n C +彳71又4 =,A+B+C=TV3所以 c s i n B=2 s i n(;r -B)=2 s i n f i,而Ov,故 s i n B w 0,故。=2 ;【小问2详解】选,方法一:设8 C边上的中线为4。,则A O =上,2由 c o s ZAD B=-c o s ZAD C 得,AD*2+BD2-AB2 AD2+CD2-AC2即7 =7*(4 +2乂2 0*7+b-,即 加+2 0 +2 =0,2 4 1 2 )易知该方程无实数解,故符合条件的三角形不存在
30、.方法三:如图,以A为原点,A3所在直线为了轴,建立直角坐标系.2ADBD _ 2ADCD1 2 f i 2 即2 +4=七+修,即Y=2户+6,由余弦定理 =+c 2 2/JCCOSA 得 4=一2/?+4,即/+2匕 +2 =0,该方程无实数解,故符合条件的三角形不存在.方法二:设5 c边上的中线为A。,则 通=!(而+/),2*2两边平方得A O =回+2通.而12B点坐标为(2,0),由 边 上 的 中 线 长 为 岑 得+整理得廿+2 +2=(),该方程无实数解,故符合条件的三角形不存在.选,设A8边上的中线为。尸,则。尸=疗.在 AACF 中,由余弦定理得 CF?=A F2+A C
31、2-2 A C-A F c o s A,即7=1 +AC2-2 x 1 x AC cos,3整理得 AC?-AC-6=0,解得AC=3或AC=-2(舍去),故 AABC 的面积 S-A C -A B sinA=x3x2x.2 2 2 2选,依题意得A5+5C+C4=6,由(1)知AB=2,所以 8C+C4=4,在 AABC 中,由余弦定理得,B C2=AB2+C42-2 A B -C4cos A,所以 CB?=22+042 2 x 2 x,0 4,2即 CB2=4+C42-2c4,所以(4 04)2=4+GA2 一 2 6,解得,BC=CA=2,所以 AABC 的面积 S=,AC-A8sinA
32、=L x 2 x 2 x 3 =J.2 2 219.如图,在直三棱柱A BC-AB|G中,点 为4?的中点,点尸在BC上,且AC=5C=33E.(1)证明:平面A f/,平面C C g;(2)若NABC=60。,A 4,=2 A 8,且三棱锥E-4乃 尸 的 体 积 为 乎,求CE与 平 面 尸 所 成 角 的正弦值.【答案】(1)证明见解析 州 7【解析】【分析】(1)先证明线面垂直,再证明面面垂直即可;(2)根据三棱锥后一4四尸的体积为华求出直三棱柱侧面棱长和底面边长,再建立空间直角坐标系求解即可.【小 问1详解】在直三棱柱ABC4中,。6,平面4月6,/.CC,-LAB,点 E为 AB的
33、中点,且 AC=6C,CE,:A B/:.ByL C E,C E c CCf=C ,.A旦,平面CRE,.4月 U 平面A 4广,平面平面C 0 E;【小问2详解】V ZABC=60,AC=8C,.ABC 为正三角形.设 A B =t,则 A4=2 A B =2t,由(1)可得,CE_L平面依题意得B F =-B C,故点F到平面AB耳A的距离为2C E =-x -t =-t,33 3 2 6V-BL VI ABE=R皿乂与,“见=是九E-BXF F-/i|B|E 3 AA 4E 6 3 6|g 三棱锥E-ABF的体积为此,9.正/=迪,解得f=2.18 9以E为原点,分 别 以 成,丽,丽
34、的 方 向 为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系E-x y z,则 C(J J,O,O),E(0,0,0),4(,T,4),用(0,1,4),F -,-,0 ,I 3 3 JA C =(-7 3,0,0),福=(0,2,0),平=母系-4 ,则n-AB.=0,_ 即n-F =Q,设平面A 4尸的法向量为=(x,y,z),2y =0,-x+y 4z 0,、3 3 令z =l,得3 =(4 6。1),C E n _-1 2ICEI-hl-V3x74 7 3.CE 与平面4片尸所 成 角 的 正 弦 值 为 拽.720.某超市开展购物抽奖送积分活动,每位顾客可以参加(e
35、N,且2 2)次抽奖,每次中奖的概12率为一,不中奖的概率为:,且各次抽奖相互独立.规定第1 次抽奖时,若中奖则得1 0 分,否则得5 分.第3 32 次抽奖,从以下两个方案中任选一个;方 案 :若中奖则得3 0 分,否则得0 分;方 案 :若中奖则获得上一次抽奖得分的两倍,否则得5 分.第 3次开始执行第2 次抽奖所选方案,直到抽奖结束.(1)如果=2,以抽奖的累计积分的期望值为决策依据,顾客甲应该选择哪一个方案?并说明理由;(2)记顾客甲第,次获得的分数为X,(i =l,2,),并且选择方案.请直接写出石(X,3)与E(X j的递推关系式,并求E(X g)的值.(精确到0.1,参考数据:(
36、|)0.0 5 9.)【答案】(1)应选择方案,理由见解析;7 i n E(X,.+)=j(X,.)+y-卜9.8【解析】【分析】(1)分别求得两个方案的累计积分的期望值即可进行选择;(2)依据题给条件即可求得E(X g)的值.【小 问1详解】若甲第2次抽奖选方案,两 次 抽 奖 累 计 积 分 为 则q的可能取值为4(),3 5,1 0,5.1 1 1 2 1 2%=40)=X Q=G,P(=3 5)=-x-=-,1 2 2 2 2 4p(1 0)=x =,P(J =5)=x =,3 3 9 3 3 9叱一 匕、4 0 7 0 20 20 1 5 0所以:(4)=一 +=.9 9 9 9 9
37、若甲第2次抽奖选方案,两次抽奖累计积分为,则的可能取值为3 0,1 5,1 0,1 1 1 2 1 1 2 4 2 2则尸(7 7 =3 0)=3 X 3 =5,P(77=1 5)=-X-+-X-=-,P(Z7=1 0)=-X-、3 0 6 0 4 0 1 3 0E=+=,9 9 9 9因为后修)成),所以应选择方案.【小问2详解】2 i n依题意得E(X+J =qE(X,)+不,4-9-X,的可能取值为1 0,5其分布列为X1105p2323所以 E(X j=g,则 E(X j-10=-#,2 1()2由 E(X G =g E(X j+不 得E(X讣J 10=g E(X j 10,所以 E(
38、X j-10为等比数列.其中首项为 W,公比为3 3所以E(Xg)10=1 x|),故E(X8)=1 x(|)+109.8.2 221.平面直角坐标系x0y中,双曲线。:鼻_ 一卷=1的右焦点为F,T为直线/:x=l上一点,过户作7F的垂线分别交。的左、右支于P、。两点,交/于点A.(1)证明:直线07平分线段PQ;(2)若|/%|=3|。目,求|7下的值.【答案】(1)证明见解析(2)12+3J7【解析】【分析】(1)设直线尸。的方程为x=+3,设点P(%,y)、Q(%,当),将直线P0的方程与双曲线的方程联立,列出韦达定理,求出线段R2的中点N的坐标,计算得出左恻=%,证明出。、T、N三点
39、共线,即可证得结论成立;(2)由|削=3|。臼 得 丽=3/,可 得 出 一%+3马=8,变形可得出,乩(M +二苍)+)-8 8=4%,两式相乘结合韦达定理可求得产的值,再利用两点间的距离公式可求得177f的值.【小 问1详解】解:依题意,xF=y 3+6 =3,即/(3,0),设T(l,2r),则直线尸。的方程为x=)+3,由 C二,N 得(2/_l)y2 +1 2(y+1 2 =(),2x-y=6、2一IHO .设P-J则A=1 W-4 8(2二)。故F,1 2 f 1 2由韦达定理可得%+%=一书二j,%必=港 口,所以玉+%2=凹+必)+6 =一 ,2.1 1又直线P Q分别交C的左
40、、右支于尸、。两点,所以玉%2 =(3 +3)(必+3)=/必 必+3,(%+%)+9=-2包70,所以g(x)为增函数,又因为g(0)0,2所 以 存 在 唯 一 实 数 使 得g(Xo)=O.(i i)当xe 乃 时,2cosx-xsinx0.由(i)(ii)可知,(。,/,。,。超 单 调 递 减1五 知 田 送 。)。,g(x)单调递增.因为 g(。)=0,g(万)=e+u-1 0,所以存在唯一实数玉(不),),使得g(x,)=0,所以当xe(O,5)时,g(x)0,即f (x)0,B P f(x)0,f(x)单调递增.因为/(0)=0,/(乃)=_万 _10,所以存在唯一实数:X2G
41、(X1,-),使 得/(毛)=0,即f(x)在(0,万)上有唯一零点,符合题意.当a 4,时,2/(x)=er-arsin x-x -1 ev-xsinx-x-1,i己。(x)=6”-x sin x-x-1,x e(0,hf(x)=ex(sinx+xcosx)-l,所以 (x)=e-cosx+-xsinx e-cosx+-xsinx0,所以(x)为增函数,A,(x)e-1(sin0+()cos()-l=0,所以(x)为增函数,A(x)e-xOxsinO-O-1=0,则xe(0,%),/(x)0,所以f(x)在(0,万)上没有零点,不合题意,舍去.综上,a的取值范围为(g,+o【点睛】关键点点睛:本小题主要考查导数的几何意义、函数的零点、导数的应用等基础知识;考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力与创新意识,考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想;考查数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养,体现综合性、应用性与创新性,解题的关键是求出了(X)后无法判断其正负,所以构造函数g(x)=/(x),再次求导,又由于g (O)=l 2 a,所以分别由g (0)=l 2 a的正负入手分情况求解,属于难题