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1、2022-2023学年度上学期高二第一次月考试题数学考试时间：120分钟 试卷总分：150分命题范围：必修第一册+第二册+第三册+第四册的第九章+必修四的第十章结束占20%；必修四的第十一章+选择性必修一第一章+第二章2.12.4（曲线方程）结束占80%说明：本试卷由第1卷和第11卷组成.第1卷为选择题，第 U 卷为主观题，按要求答在答题纸相应位置上.第 I卷（选择题60分）一、单项选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，计 40分）1.已知复数z =+2,则复数z在复平面内对应的点位于（）l-3 iA.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.在 AABC中，若 A =4 5 ,5
2、 =6 0 ,3。=3&，则 AC=（）A忑 B.2百 C.3百 D.4百3.如图所示的中，O A =A B ,斜边O B =1,该图是一个平面图形的直观图，则这个平面图形的面积是（）4.已知M =（6,0,2）,B =（/l+l,2 l,2/l）,若 值6,则 实 数 的 值 分 别 为（）1 1 1 1 CA.一,B.,C.5,2 D.5,25 2 5 25.甲，乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为白，则谜题没被破解的概率为（）2 31-6D1-3C5-A.166 .我国古代 九章算术里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈.问积几何
3、？其意思是：今有上下底面皆为长方形的草垛（如图所示），下底宽2丈，长 3丈，上底宽3丈，长 4丈，高 3丈.问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，将两次运算结果相加，再乘以高，最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为（）A.1 3.2 5 立方丈 B.2 6.5 立方 C.5 3 立方丈 D.1 0 6 立方丈7.点P为圆（x-l）2+y 2=2 上一动点，点 P到直线y =x +3的最短距离为（）A.叵 B.1V2X-20.2728 .如图（1）所示，已知球的体积为3 6%,底座由边长为1 2 的正三角形铜片ABC沿
4、各边中点的连线垂直向上折叠成直二面角所得，如 图（2）所示.则在图（1）所示的几何体中，下列结论中正确的是（）A.C O 与 3E是异面直线B .异面直线AB与 CO所成角的大小为4 5C.由A、&C三点确定的平面截球所得的截面面积为3 万D.球面上的点到底座底面D E F的最大距离为3 +V3 +V6二、多项选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，计 40分）9 .下列说法中，正确的有（）A.过点尸（1,2）且在x,y轴截距相等的直线方程为x +y-3 =0B.圆龙2 +丁=4 与圆/+y?-8 x-6 y +1 6 =0的位置关系是外切C.直线x -Gy+1 =0的倾斜角为6 0D.过点（
5、5,4）且倾斜角为90的直线方程为x5 =01 0.己知函数/（x）T g （2 一x）T g 2（x+4）,则下列结论中正确的是（）2A J（x）的定义域是1 4 2B.y =/（x-l）是偶函数C./（x）在区间 一 1,2）上是增函数D./（X）的图象关于直线x =1 对称1 1.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美，如图是一个棱数为2 4 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为1,则下列关于该多面体的说法中正确的是（）A.多面体有1 2个顶点，1 4个面B.多面体的表面积为3C.多面体的体积为36D.多面体有外接
6、球（即经过多面体所有顶点的球）1 2.已知曲线C：J x 2+（y_）2.J x 2+（y +）2=4,以下判断正确的是（）A.曲线。与X轴交点为（2,0）B.曲线C关于原点对称C.曲线C.的点的纵坐标的取值范围是-后,、污D.曲线C上点到原点的距离最小值 为 百第I卷（主观题90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）1 3.平面a的法向量为 玩，若向量而，玩，则直线AB与平面a的位置关系为.1 4.函数/（x）=s i n y-x j 的 单 调 递 增 区 间 为.1 5 .已 知 向 量 满 足 1 11=1,|=2,a-b =,则万5在B上投影 的 数 量 为.1 6
7、 .已知圆。：/+；/+2%分+m=0与丁轴相切，过。（一 2,4）作圆C的切线则切线I 的方程为四.解答题（本大题共6 小题，共计70分）1 7 .（本小题满分1 0 分）已知直线4:5+3。+3=0 2：x+y +2=0.（1）若，2,求实数a的值；（2）当匕 g 时，求直线4 与4 之间的距离.1 8 .（本小题满分1 2分）已知日=（1,4,一 2）石=（-2,2,4）.（1）若乙=5,求8s值,办的值；（2）若（姐+求实数上的值.1 9 .（本小题满分1 2分）如图，在三棱柱ABC-A/G中，AA B C为等边三角形，四边形BCCg是矩形,3 8 C =2 CG=6,。为 AB的中点
8、，且 4。=亚.（1）求证：c c 平面A BB|A：（2）求直线C4 与平面4。所成角的正弦值.20 .（本小题满分1 2分）已知圆:x 2+（y -1）2=5 ,圆。2：/+丫2-4+2旷=0.（1）求圆G 与圆。2的公共弦长；（2）求过两圆的交点且圆心在直线2x +4y =l 上的圆的方程.21 .（本小题满分1 2分）如图，在三棱柱ABC-4 4 G中，底面ABC是边长为2 的正三角形，侧面ACGA是菱形，平面ACG4，平面A B C,E,尸分别是棱AG，BC的中点，G是棱CG上一点，且C j G =2G C.(1)证明：石尸平面(2)从三棱锥C 1 ABC的体积为1；GC与底面ABC
9、所成的角为6 0。；异面直线3 片 与 AE 所成的角为30。这三个条件中选择-一个作为已知，求二面角A -E G/的余弦值.22.已知点41,0),8(4,0),曲线C上任意一点P满足|。卸=2|P A|.(1)求曲线C的方程；(2)设点。(3,0),问是否存在过定点。的直线/与曲线C相交于不同两点E,F,无论直线/如何运动，x轴都平分/E DF,若存在，求出。点坐标，若不存在，请说明理由.2022-2023学年度上学期高二9 月月考试题数学试卷标准答案一、【单项选择题】l .A 2.C 3.A 4.A 5.D 6.B 7.A 8.C二【多项选择题】9.B D 1 0.B CD l l.A
10、CD 1 2.B CD【详细解答】L z =g +2 =2 +i由复数的几何意义可知选A.1-3 12 .在AABC中，由正弦定理得，生=4,即 工 =，丝，s in A sinB s in 4 5 s in 6 0解得：4。=36.故选。；3 .画出原图形AAaS,如图所示，在&O A 中，OA=ABOB=,则 0 4 =巫，故在原图形 AOB中，OAL 0 8,0 4 =0,。8=1,2所以这个平面图形的面积是,x l x 0 =.故选：A.4.-/a=(6,0,2),=(2+1,2/-1,22),/.(A+1,2/-1,22)=x(6,0,2),-fZ+1=6x 4*2/1 =0,.EE
11、=E E，B M u平面B E F，于是得B M 平面D F E,同理C N _ L平面D F E，即90 C N,B M =C N =3 0因此，四边形8C M0是平行四边形，有 B C N M D E,则直线C O与B E在同一平面内，A不正确；由选项A,同理可得A 3 O产，则异面直线AB与G D所成角等于直线。/与C O所成角60，8不正确；由选项A知，B C =M N =-D E =3,同理可得A B =A C =3,正AABC外接圆半径r =百，2由A、反C三点确定的平面截球所得的截面圆是AABC的外接圆，此截面面积为3肛C正确；体积为3 6的球半径R,由 彳 氏=3 6万得尺=3
12、,由选项C知，球心到平面A B C的距离d=JF=7=后，由选项A,同理可得点A到平面DE E的距离为36，即平面A B C与平面OE E的距离为3百，所以球面上的点到底座底面。户 的最大距离为R +d+B M =3 +3 6+展，D不正确.故选：C9.过点P(l,2)且在羽丁轴截距相等的直线有两条，一条经过原点，另一条不经过原点，故A错误；一个圆的圆心为(),0),半径为2,另一圆的圆心为(4,3),半径为3,根据圆与圆的位置关系可知8正确；L1由于直线x-by +l =0的 斜 率 为 耳，故它的倾斜角为3 0 ，故C错误；过点(5,4)且倾斜角为9 0的直线方程为x-5=0,故。正确，故
13、答案为：BD.1 0.对于 A，由题意可得函数/(x)=l gi(2 r)T o g2(x+4)=T o g2 (2 x)(x+4),2由2 T 0,x+4 0可得-4尤 =/(x-l)是偶函数，故8正确：对于C,/(x)=-l o g2(2-x)(x+4)=l o g2(-X2-2 x+8)=-l o g2-(x+1)2+9 1=l o g,-(x+1)2+9 2令r =(x+l)2+9,可得y+o g/,2当x e -1,2)时，=(x+l)2+9是减函数，外层函数y =l g1也是减函数,所以函数/(x)在区间-1,2)上是增函数，故C正确；对于。J(2 x)=l og 2 (x+4)(
14、2 x)=.“x),得/(x)的图象关于直线x =1对称，故。正确.故选B C D.1 1.解：可将半正多面体补成棱长为1的正方体，其顶点是正方体各棱的中点,总共有1 2个顶点，6+8 =1 4个面，故A正确；半正多面体的棱长为 之,2表面积为S =8 x立x(也4 l2J+6x+3 ,故3错误;1 1 f 1 V 5体积可看作正方体割去八个三棱锥，二丫=1 8 x x x -=?,故C正确；2 3 6又因为正方体的中心到多面体各顶点的距离相等，所以该多面体有外接球，故。正确.故选4 C D.1 2.对于A，令y =0,有Y+I=4,X=J L即与x轴的交点为(一百,0),(6,0),故A错误
15、；对于8,若(X,y)满足7 2+(丁一1)2.&2+(,+)2 =4,将(_ 乂一可代入得：J(_ x)2 +(-y-l)2 ,J(-x)-+(-y+)2 =jx2+(y-1)2-yjx2+(y+l)2=4,即曲线C是关于原点对称的，故8正确；对于C,欲求V的范围，只需令 =0即可，有卜2一 =4,丁2=5或一3 (舍)，.”=6,即y的取值范围是 一后,、石,故C正确；对于。，设曲线C上的点的坐标为(x,y),到原点的距离的平方为产=2 +/，由解析式：&+(y _ l)2 心+()2 =4得 J(V+i)2 _ 4 y 2 =4,.产+1=i 6+4 y 2,如欲r尽可能地小，则/=()
16、,解得=3,%。=6,故。正确；故选B CD.三、【填 空 题】13.ABu平面。或A B 平面a .5 4 1 jr1 4.2k7r+,2k7i+(A e Z)【注：不写Zw Z不给分】6 63八八15.16.x =-2 或 3 x +4 y 1 0 =02【详 细 解 答】13.由题意，平面。的法向量为玩，向 量 通，玩，若Abu平面a，则 通，玩成立，若A3Z平面则A5平面。，直线AB与平面a的位置关系为A 6 u平面。或A 3 平面。，故答案为：ABu平面。或A3平面a.1 4 ./（x）=s i n-x j =-s i n（冗 一 ,令 g+2k 兀 x +2 k 肛 k e Z 9
17、得+2k 兀 x 轴相切，所 以 后 方=1，解得加=4当过P（-2,4）的直线的斜率不存在时，直线/的方程为x =-2,圆心到直线x =2的距离为1,符合题意；当过P（-2,4）的直线的斜率存在时，设直线方程为y =Z（x+2）+4,k+2 3 3 5则%=i=l,解得左=一己，则切线/的方程为y =巳+三，即3 x+4 y-1 0 =0.U+i 4 4 2所以满足条件的切线I的方程为x =-2或3 x+4 y 1 0 =0.四、【解 答 题】【详 细 答 案】17.【解析】（本小题满分1 0分）(1)直线4 :a x +3 y+3 =0,4 ：x +y+2 =0,4 12,所以。+3 =0
18、,解得。=3.(2)当4 4时，a =3，直线4：a r+3 y +3 =O为：x+y +l =0,|3-1|厂所以直线4与/，之间的距离为：d=Vi2+i21 8.【解析】(本小题满分1 2分)因为已知夕=(1,4,-2)出=(-2,2,4),(1)若”;5 =(-1,1,2),0|c o s (a c=2 =7 +)+(1 4)=姮，同同 V 1 +1 6+4-V 1 +1 +4 4 2,(2)(妹+孙 他-35)=ka2+(1-3%)无5-3户=21左+(1 3左)x(-2+8 8)-3x24 =0,74求得实数 =二.271 9.(1)由已知得A 4,=CC=3,A D =l,4,。=
19、而，A D2+A A =A D,1 A D ,/C C./A 4,C C,B C ,：.A 4,_ L BC,又 .AD C BC =B,且A T),B Cu平面A BC,A 4,!平面 A BC,又CDu平面A BC,在正三角形AB C中，。为A5的中点，则C D L A 8,又A 8 c A 4,=A,C )人平面AB gA；(2)如图所示，取8。的中点为0,BC i的中点为Q,由(1)得三棱柱的侧面与底面垂直，从而。4,OB,O Q两两垂直，以。为坐标原点，OB,OQ,Q 4所在直线分别为X轴，y轴，Z轴，建立空间直角坐标系,则C(1,0,0),D,A(0,3,73),4(1,3,0),
20、(3 _ _C D=,西=(1,3,6)，函;=(2,3,0),，八 八 r /、n-C D=0 xH-z =0设平面ACO的法向量为=(x,y,z),则 ,即/，所以公共弦长为2 G.【解法一】设过两圆的交点的圆为(x2+y2-4 x+2y)+/l(x2+y2-2y 4)=0,/l l,E 2 2 4 2-22 4 4 八，,则 x +y-XH-y-=0,A 1 ；1 +4 1 +4 1 +几由圆心（二,一 二）在直线2x+4 y=l上，则/S T L,解得力 =_ 1,1 1 +/1 1 +A J 1 +2 1 +2 3所求圆的方程为x2+y2 3x+y l=0.【解法二】由(1)得y=x
21、 1,代入圆C 2：Y+y2-4 x+2y=0,化简可得2/一4 _1 =0,解得=注区；2%x =-2-+-木-叶 娓 当 2 /6 1H.娓时，y=-；三元=-时，V =-；2 2 2 2设所求圆的圆心坐标为(。力)，2a+4人=1(3 V (I V 7所以过两圆的交点且圆心在直线2x+4 y=l上的圆的方程为x-2+y+-=-2/2)221.(1)证明：取4片 的中点M,连接MK,M B,因为E，尸分别是棱4 0,3 c的中点，则ME/BGBF,ME =g耳G =g 8C =3F ,二四边形 E K B为平行四边形，EF/MB,：律 U平面 ABB,A ,M B u 平面 ABB,A,，
22、F平面A网4.(2)解：在平面ACG中过点C1作C 0LAC于0,连接OB,.平面A CG A，平面A B C,平面A c q 4 n平面ABC=AC,.G。，平面 ABC,选择条件：三棱锥。1-4 5 0的体积丫=：6；0-5,他 =：0 0；*2*6 =1,.6 0 =石，在a AGOC 中，OC=JCC：-CQ2=1,，点。为A C的中点，.OB_LAC,故以。为原点，OB、0C、0 c l分别为x、V、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,(r 1 A(2 行、则 用6,0,0),(0,-1,73),F -,-,0 ,G 0,-,-y ,7 7.而=健 后 EG=(O,2,-亚，2 2 3
23、 3-,-O B 1A C,平面A8CCI平面ACGA=AC,Q 8 u平面ABC,.0 8,平面 A C G A,平面ACC,4即平面物 的一个法向量为 丽=(6,0,0),设平面EFG的法向量为=(x,y,z),贝 卜n-EF=0n-EG=0-x+y-s/3z=0即（2 25 2 6 c令y=i,则=空35 g .法/2石 组6 I 3 6 J.cs（而 用=巫-=一/=也/1西.闻国5 3，V3 12显然二面角A-E G-F为锐二面角，故二面角A-E G-F的 余 弦 值 为 见 亘.53选择条件：:GC与底面所成的角为60,./（%）=60。，OC=1,二点。为AC的中点，.0 3,A
24、C,故以。为原点，O B、O C、OC,分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则 网6,0,0卜 （0,-1,73）,F -,-,0 ,G 0,-,y ,7 7-,-O B 1 A C,平面ABCfl平面ACGA=AC,O 8u平面ABC,.0 8,平面 ACGA,二平面ACGA即平面4G的一个法向量为丽=（6,0,0 1设平面瓦G的法向量为=（x,y,z）,贝 卜n-E F=0一，即i i E G =Qn ax+-y-/3z=Q2 25 2 g 门y-z=()13-3人 _ i 2下 5打 一 2石|5 6令 y=i,则 x=-，z=,n=36 I 3 68s丽=3 4=2盾/4
25、25yj3 X .1 +1 +-V3 12475353显然二面角A EG E为锐二面角，故二面角A EG 尸的 余 弦 值 为 拽3.53选择条件:BB/A4,AS 即 为 异 面 直 线 与 A E 所成的角，即NA4E=30。,AAj=2,AE =9.ZA4,E=6 0,即 N G C O =6 0 ,O C =,故以。为原点，OB、o c.0 c l分别为x、y、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则 8(73,0,0),耳 0,-1,6),FV?4 G 吟7EF=，昱3T，2,-同，EC=O,|,一 苧93 J23-O B A C,平面A B C f l 平面A C C|A =A C,
26、QBu平面A B C,平面 Acad,平面AC C,4 即平面A E G的一个法向量为O B=（6,0,0）,近25r设平面石尸G 的法向量为=（x,y,z）,贝 卜n-EF=Q心 阮=0,即.x+y-/3 z =0-y-3也z=03令 y =i,则=空35 73z=-，6J 2 G I 5 n=36cos(OB,n)=/OB-n GX H+1 +生 5 3V3 1 2274月显然二面角A-E G-F为锐二面角，故二面角A-E G-F的余弦值为生 竺.5 32 2.【解析】(1)设 P(x,y),由于|尸目=2|1%.所以 J(x-4)2+y2=2j(x-l)2+y2,化为：x2+y2=4.（
27、2）设存在定点。满足条件，设直线/的方程为丁 =履+乩设上（石,乂）,尸（私2）联立，y=kx+b2 o A 9X-+y-=4化为：/+（履+与2=4,所以（1 +&2）/+2妨氏+。2一4=0,八02kb 一4无论直线,如何运动，X轴都平 分/瓦 加，贝以Q E Z I历 =0所 以 j3+*_R=0.所以(依+，)(彳2-3)+(5+5)(%-3)=0,X J X-y J所以 2 脑/+仅一 3%)(%+2)-6/7=0,A2-4?kh所以 “b_3k)上J _ 6b=0,1 +左2 ，1 +氏2化为：4左 +30 =0.y =(一 x +1 ,可得直线经过定点(g,o).如果斜率不存在时，直线过定点。时，满足题意.4、存在过定点Q可,0的直线/与曲线C相交于不同两点瓦尸，无论直线/如何运动，工轴都平分7