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1、建平县实高2022-2023学年高二上学期9月第一次月考数学试题解析版一、选择题（每小题5 分，共 8 小题40分）I .设复数 z 满足（lT）z=-2i,则|z|=（）A.1 B.乎 C.y/2 D.2【答案】C【解析】【分析】先由复数的除法运算化简复数z,再求其模长.-2i-2i（l +i）2-2i【详解】由（l _ i）z=_2i,则 z=；=.）=一一 il-i+2所以|z|=&故选：C2.在正方体A8C3-44GA中，E,尸分别是G。，8c的中点，则 直 线 与 直 线 产的位置关系是（）A.相交 B.平行 C.异面 D.无法确定【答案】A【解析】【分析】根据A C/4 B,得到直
2、线。C，48,厮 共面，再由c*=判断.【详解】解：如图所示：连接由题意得c C D =E,因为 AC/4B,所以4,伉4,8共面,所 以 直 线 成 共面，因为夕7 n DC=E,所以直线A/与直线石/位置关系是相交，故选：A3.平 面 a 截球。的球面所得圆的半径为1,球心O到平面a 的 距 离 为 夜，则此球的体积为A.瓜n B.4百兀 C.4 兀 D.6百兀【答案】B【解析】【详解】球半径r=J 1 +(及”=,所以球的体积为g京x(J 5 =4后 女，选B.34 .已知a 为锐角，c o s2a则 tana=()1 iA.-B.：C.2 D.33 2【答案】B【解析】【分析】利用余弦
3、的二倍角公式，结合同角三角函数的关系即可求解.【详解】由c o s2 a=3,得2 c o s2。-1=3,解得c o sa=生5或c o sa=迈(舍)，5 5 5 5因为a为锐角，c o s a=2，所以si ntz=，5 5好si n a 5 1所以 tan a=-=r=-.c o s a 2 V 5 2事故选：B.5.已知AABC 内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为3百，A =,0 +c =4 6，则。=()A.2百 B.5 C.8 D.2 0【答案】A【解析】【分析】由三角形的面积和A计算出b e的值，再根据余弦定理求出a?的值，即可得到答案【详解】由题意可知，S.A 8C
4、 =gs in A =3有，得A=1 2-b+c=4 /3，he=12由余弦定理可得：/=/一 2儿c o s A =(A +c P -2bc-2 0 c c o s A整理得：a2=1 2 :,a=2 3故选：A6 .函数/（x）=c o s2 x-si n2 x （0 W x W兀）的单调递减区间为（）A.兀3 7 145TB.3兀T,7 r0乌z，3兀7兀T,T吟D.7兀T,7 1【答案】D【解析】【分析】由辅助角公式化简函数，再由整体代入法讨论单调递减区间即可【详解】/（x）=c o s2 x-si n2 x =V 2 c o s|2x+|,则四 2 x +工/3，b=2,所以由余弦定
5、理得0?=/+/一2 97 c osc =3 +4-2 x J 5 x 2 x走=1，2因为c0,所以c =l,故选：A C1 0.已知函数/(x)=2 sin(2 ox+)3 0)图象上两相邻最高点的距离为乃，把/(力 的图象沿x轴向657r左平移五个单位得到函数g(x)的图象，则下列选项正确的是()A.g(x)在 上 是 增 函 数B.是g(x)的一个对称中心g(x)是奇函数D.g(x)在 上 的 值 域 为 2,0【答案】A CD【解析】【分析】先根据题目条件确定函数g(x)的解析式，然后逐一判断每个选项即可.【详解】因为函数x)=2 sin(2 8+)30)图象上两相邻最高点的距离为1
6、,6所以7 =乃=|=0=1,所以x)=2 sin(2 x+g57r把/(X)的图象沿X轴向左平移五个单位得到函数g(X)的图象,=2sin(2x+)=-2sin2x,当XW ,时，2xe,71,显然g(x)在,上是增函数，故A正确;因为g?1 =-2 N 0,所以(李0)不是g(x)的一个对称中心，故B错误；因为g(%)=-g(T),所以g(x)是奇函数,故C正确；由选择项A,g(x)在 今,上是增函数,/jr IT TC TT所以 g(x)min=g w j=2，g(x)max=g J =，所以 g(x)在 上 的 值 域 为-2,故 D 正确.故选：ACD.11.在锐角AABC中，a,C
7、分别为AABC三个内角A,B,C的对边，若5 =2A，则，的取值可能为b()A/A.V3 R V6 后 夜D.k _ z.-J.3 4 6 2【答案】BC【解析】【分析】由正弦定理及而二倍角公式得;=1一，结合A的范围讨论范围即可b 2 cos A e。sin A sin A sin A 1【详解】由正弦定理一二-=-=-=-b sin 8 sin 2A 2sinA cosA 2cos A ABC为锐角三角形,B=2Aw(0,1 JC=7i 3A e(0,.A G选项BC均符合，AD不符合.故选：BC1 2.如图，在正方体ABCQ-A B C Q 中，E,F,G 分别是棱8 4，B ,G 2
8、的中点，贝 U（）A.F G/平面 A E 2C.点C 1 平面内【答案】BD【解析】B.B G 平面 A E RD.点 F 在 平 面 内【分析】连接E F、妫Q 根据正方体的性质可得叫 B G，即可得到BQ 平面A E A，再根据中位线的性 质 及 平 行 公 理 得 到,即可得到、F、5、A 四点共面，从而得解；【详解】解：连 接 班 、B R,在正方体A B C D -A B D,中，AB/C,D,且,所以四边形ABC19 是平行四边形，所 以 叫/BQ,A u 平面A E A，B G a 平面A E ,所以平面A E D,又E F H B C、,所以EF AD所以七、尸、鼻、A 四点
9、共面，即点尸在平面AE。内，故 B、D 正确；再连接尸鼻，显然G 不在平面所以FG 与平面A E 4 不平行，故 A 错误；由B G 平面A E 9,可知点G 不在平面A E A 内，故 C 错误；故选：BD三、填空题（每小题5分，共4小题20分）13.圆锥的母线长为1,母线与轴所成的角为巴，则 该 圆 锥 的 体 积 为.6【答案】立 兀#匝24 24【解析】【分析】由题意，利用边角关系算出底面圆半径和高，即可由体积公式算得圆锥体积由题意，圆锥如图所示，Z A B C=,1=,则 r=/-s in/A 8 C =L A=/.cos ZABC=-)6 2 2所以圆锥的体积为71r 2。=走 兀
10、3 24故答案为：24T T14.AABC的内角A,B,C 的对边分别为a,c.若=6,a=2c,6=,则A/WC的面积为.3【答案】6 G【解析】【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于。的方程，应用。，c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查.【详解】由余弦定理得人2=a2+c2-2accosB，所以(2c)2+c2-2 x 2 c x c x =62,2即/=1 2解得 c=2V,c=(舍去)所以a=2c=4百，S BC=；a c si n 3 =；x 46 x 26 x 4 =6【点 睛】本题涉及正数开平
11、方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误.解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算.21 5.己知si n a +q)=-,则 si n-2-万-a3+COS71a-【答 案】-#-1-3 3【解 析】【分 析】【详 解】2 7 r由己知，利用诱导公式求si n(a)、c o s(a-),进而求目标式的值.3 6./2 1 、./2冗、，.z 乃、2由 si n(-a)=si n 乃-(-a)=sm(a +)=，3 3 3 3c o s(a )=si n +(a )=si n(a +)=,6 2 6 3 3一 4所 以 原 式=-_ ,4故答案为：31 6.已
12、 知A B C的 顶 点 都 是 球。的球面上的点，A B =4,Z A C B =9 0 ,Z A B C =60,若三棱锥OABC的 体 积 为 城，则 球。的表面积为.3【答 案】2 4兀【解 析】【分 析】根据直角三角形可得AABC外接圆的半径，根据球的性质球心与圆的圆心的连线垂直于圆，可求球半径.【详 解】因 为N A C B =9 0。，取A3的 中 点M,则M为AABC外接圆的圆心，所 以。M _ L平 面A 8 C,因为 A B =4，Z A C B =9 0，Z A B C =60。，所以 B C =2,A C =2 7 3-所以 SABC=g x 2 x 2 /3 =2 ,
13、又 由 三 棱 锥OABC的体积为2,所 以 OMx 2百=2匹，解 得OM=正，3 3 3所以球O的半径为JOM 2+(竿)=后4 =指,故球O的表面积S =4 7 1 X 6=2 4兀.故答案为：2 4 m四、解答题(17题10分，其它每题12分，共6小题70分)1 7.已知复数 4=2 3 i,Z 2=l +a i,其中 a e R.(1)当。=一3时，求ZK；(2)若，一司”，求实数a的取值范围.【答案】(1)-7-9 i；(2)3-2百4。4 3 +26【解析】【分析】(1)利用复数的乘法运算即得；(2)利用复数的运算，复数的模即二次不等式即得.【小 问1详解】当 a=3时,z1z2
14、=(2-3 i)(l-3 i)=-7-9 i.【小问2详解】*.*Z 1 z?2 3 i (1 a i)=1 +(a 3)i,于 是 卜 -3+1 ,又=所以 J(a-3 p+l W厉,即(a-3W 1 2,解得3-2百4 a 4 3 +2百.1 8.在万2+a c =/+/，J l a c o s 3 =i s i n A,s i n 8 +6C O S8 =6这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.己知AABC的内角A,8,c的对边分别为a,b,c,_ _ _ _ _ _,A =-,b=,求AABC的面积.（注：如果3选择多个条件分别解答，则按第一个选择条件给分.）【答案】
15、条件选择见解析，立2【解析】【分析】若选利用余弦定理求出8,即可得到C,再根据面积公式计算可得；若选利用正弦定理将边化角，即可求出8,从而得到C,再根据面积公式计算可得；若选利用辅助角公式及特殊角的三角函数值，求出8,从而得到C,再根据面积公式计算可得；【详解】解：若 选 加+如=/+。2由余弦定理c o s 3 =+c=丝=_1,因为8e（O,），所以5=工.2ac lac 2 3TT TT TT因为A=,B=,所以C=一，3 3 3所以 S A HC=b2 s i n A =.若选 C a c o s 8 =/?s i n A，由正弦定理得 G s i n A c o s 8 =s i n
16、 B s i n A，因为 s i n A W 0 ,所以 J 5c o s 8 =s i n 8 ,所以 t a n B =J ,因为 3（0,二），所以 3 =TTJTIT因 A =,B=-,所以C =2,3 3 3所以 S ABC=2 s i n A =-“s c 2 2若选s i n 6+J c o s 5=百，则2 s i n（8 +5）=G ,所以s i n（3 +工）=立，3 3 2因为 3 （0,7 T）,所以 8 H G （,）,所以 3 d =，所以 5=./3 3 3 3 3 3JT TT TT因为A =,B=-,所以。=上，3 3 3所以 S ABC=s i n A =
17、.“8 c 2 21 9.如图，四棱台A88-44GR,上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，且A 8 =5,A4=3 ,A 4 =V 1 0 -(1)求四棱台A B C D-A C 的侧面积;(2)求四棱台A B 8-A 8 C。的体积.【答案】(D 48；(2)2 1.3【解析】【分析】(1)证明棱台为正棱台，然后求得斜高后由侧面积公式计算出侧面积.(2)求出棱台的高后由棱台体积计算体积.【小 问1详解】设棱台ABCO-A8G2是由棱锥。一4 3 8截出的，如图，棱台的侧面是全等的等腰梯形，则棱锥P-ABC D的侧面是全等的等腰三角形，显然侧棱都相等，设M是底面A B C D上AC
18、与BO的交点，则M是A C的中点也是8。中点，所以PM_LAC,P M L B D，则PM _平面ABC。，M正方形A8CD中心，因此PABCD是正棱锥，棱台ABCO-ABCQ是正棱台，在侧面3B C C内过用作用”，于点，,则耳=J(丽)2-(”尸=3，棱台的侧面积为S刚=4 x(3+5)x3=48；2【小问2详解】B设N是4与。1 2的中心，显然NwPM,是直角梯形，B M =x5=，B、N 二 迥,2 2 1 2高 MN=J(河)2-(述一迪)2 =2 7 2 ,V 2 2棱台的体积为 V=；(5 2 +5*3+32)X2&=-2 0.如图，正三棱柱ABC-44G的所有棱长均为2,E为线
19、段BC的中点，E为正方形4CG4对角线的交点.A(1)求证：F面与AC；(2)求三棱锥G-B|AC的体积.【答案】(1)见解析亍【解析】【分析】（1）证明E F U A B 1，由线面平行的判定定理可得到证明;（2）由%则即可求得答案.【小 问1详解】产为正方形ACG4对角线的交点，即尸为AG的中点，E为线段AG的中点，在中 所 为中位线，可得 E E/A B|,E F a 面 4 AC ,4与（=面44。，由线面平行的判定定理可 得 所 面gAC；【小问2详解】4 qG为等边三角形，且边长为2,可得S =X22=G，4因为棱柱为正棱柱，则cc,面A C,（1）求函数/（x）的是小正周期及单调
20、减区间；（2）求函数f（x）在 区 间 一?,看 上的最大值和最小值.TT 57 r【答案】（1）T =7T,单调递减区间为-+k7V,+k7l,k e Z3 6（2）最大值为6，最小值为-2【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数，再根据正弦函数的性质结合整体思想即可得出答案;（2）利用整体思想结合三角函数的性质即可得出答案.【小 问1详解】解：/（尤）=4cosxsin（x聿）+1 =273cosxsinx-2cos2x+1=/3 sin 2 x-cos 2x=2 sin f 2 x-小，所以丁 =一2乃=兀，2TT IT 3 4令 巴+2女万42天一0二+22，2 6 2IT 57
21、r则一+左Wx +kjjk sZ,3 6冗 54所以函数的单调递减区间为-+k7r,+k 7i，左e Z；_ 3 6【小问2详解】,7T 71 _,_ 71 5%71解：因为xw-，所以2x-：e,L 3 4 6 L 6 3所以sin（2x_%）e I,-,JT-T T所以函数/（X）在 区 间 上 的 最 大 值 为 石，最小值为-2.22.在 ABC中，内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,2ccosA =acosB+/?cos A.（1）求角A的值；（2）若边3 c上的高为3,求。的最小值.兀【答案】（1）A=一326【解析】【分析】（1）根据正弦定理对原式边化角即可；(2)根据AA
22、BC的两个面积公式得到桃=2岛，再结合余弦定理和基本不等式求解即可.【小 问1详解】因为 2 ccos A =QCOS B+Z?cos A，由正弦定理知 2 sin C cos A =sin A cos B+sin Bcos A =sin(A +3),所以 2 sin C eos A =sin(A +B)=sin C ,因为0。，所以s i n C w O,所以cosA =，271因为0A 即 be=2/a-2 4 2又因为AA BC中，由余弦定理得/=从+。2 -2bccos-=b2+c2-b c b c,当且仅当b=c时取等号,3所以/2 26。，又因为a K),所以。22石，所以。的最小值为2G