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1、电磁场与电磁波公式总结第一章矢量分析1、三种常用的坐标系（l)直角坐标系微分线元d=a,dx+aydy+a dz面积元ddss:：二dS,心dy(2)柱坐标系，体积元：dr=dxdydz dl,.=dr I dS,=dlmdl,=rd吽长度兀d;z=rddzp 面和兀d？言：ddl;：二rd;z体和兀d-r=rdrdqxlz(3)球坐标系dl,=dr 长度元叱rd0，面积元叱rsin0dp dr=r 2 sin 0drd0d-D1,1-D2,，ps或n(D,-D2)=Ps(pS为分界面上的自由电荷面密度），当分界面上没有自由电荷时，则有：E2 Dh,丛，即nD1=nD2，它给出了D的法向分址在
2、介质分界面两侧的关系：分界血上D_的边界条件(I)如果介质分界面上无自由电荷，则分界面两侧D的法向分量连续；(II)如果介质分界面上分布电荷密度Ps,D的法向分量从介质l跨过分界面进入介质2时将有一增量，这个增显等千分界面上的面电荷密度p尸和1和2和1汛）2用电位表示：&1-+82-Ps和名一=82-（ps=0)On 6n 6n 6n(2)分界面上互的边界条件（切向分址）n E II E l h c l E2 乌E 21 分界面上E，的边界条件 -nx E=nxE或Eli=E2i，电场强度的切向分量在不同的分界面上总是连续的。由千电场的切向分最在分界面上总连续，法向分量有限，故在分界面上的电位
3、函数连续，即(f)l=(f)2 0 tan0 电力线折射定律：一一土=-飞6 tan0 8 7、静电场能量CI)静电荷系统的总能量1 CD体电荷：We=I风dT;2 r 面电荷：we丿fPsds;2 JS 线电荷：Wc=Ip,dl。2,(2)导体系统的总能址为：W=-七22环。(3)能量密度静电能是以电场的形式存在于空间，而不是以电荷或电位的形式存在千空间中的。场中1-:-:_ l 任意一点的能最密度为：矶DE=6矿JIm32 2 在任何清况下，总静电能可由We=-Ic矿心来计算。2 JV 8、恒定电场存在千导电媒质中由外加电源维持。描述恒定电场特性的基本变址为电场-今强度E和电流密度J,且J
4、=aE。6为媒质的电导率。(I)恒定电场的基本方程电流连续性方程 积分形式fs正詈-6p-6p 微分形式：VJ=或VJ+-06t 6t 恒定电流场中的电荷分布和电流分布是恒定的。场中任一点和任一闭合面内都不能有电aq l:;.n ap.荷的增减，即5-=0和石0。因此，电流连续性方程变为：炉dS=0和v.j=O,再加上fld7=0和Vx立0,这变分别是恒定电场基本方程的积分形式和微分形式。(2)恒定电场的边界条件寸 分寸分-分(l)J,=J2或n(J1士）0,(2)11=E2,或nx(E11-E2,)=0 应用欧姆定律可得J J:o-,E,n=0-2E2，和-二。6 1 6 2 1 此外，恒定
5、电场的焦耳损耗功率密度为p忒产，储能密度为JJe=-EE20 2 第三章恒定磁场L磁场的特性由磁感应强度B和磁场强度H来描述，真空中磁感应强度的计算公式为：（真空磁导率：忨4兀XlO一7HIm,I)CI)线电流：分 B=。Id(x aR JI。Id(x(rr)石iR2飞i _3 r-r(2)面电流：,记生fJsxaR dS 生f扫(r-r)dS4冗S妒4兀s1 3,r-r(3)体电流：-记生fJxal；心生fJx(r-r),dr 4冗R2.4冗r.3,rr 2、恒定磁场的基本方程CI)真空中恒定磁场的基本方程为：_ A、磁通连续性方程：积分形式：fSBdS=0,B、真空中安培环路定理：_ 微分
6、形式：V-B=O积分形式：抄di。1-微分形式：VxB=。J(2)磁介质中恒定磁场的基本方程为：-+A、磁通连续性方程仍然满足：积分形式：fSBdS=0,_ 微分形式：V-B=OB、磁介质中安培环路定理：l积分形式：!,:五1-微分形式：VxH=JC、磁性媒质的本构方程：B=B 。,.H=H(H=-M，其中M为磁化强度矢堂）。恒定磁场是一种璇涡场，因此一般不能用一个标量函数的梯度来描述。3、磁介质的磁化磁介质在磁场中被磁化，其结果是磁介质内部出现净磁矩或宏观磁化电流。磁介质的磁_ 化程度用磁化强度M表示。-(I)磁介质中的束缚体电流密度为：J111=VxM;(2)磁介质表面二的束缚面电流密度为
7、：_ _ JmS=Mxn（其中，n为表面的单位法向量矢量）4、恒定磁场的矢呈磁位为：B=VxA,矢址A为矢址磁位。.在库仑规范条件CVA=O)下，场与源的关系方程为：.炉A=-J（有源区）v2A=0（无源区）对于分布型的矢量磁位计算公式：(1)线电流汃气亘(2)面电流仁.l!.j五竺（3)体电流A且坛4冗IR4冗SR4冗jrR 5、恒定磁场的边界条件(I)分界面上B,的边界条件在两种磁介质的分界面上，取一个跨过分界面两侧的小扁状闭合柱面（高h0为无穷小痲），如右图所示，应用磁通连续性方程可得：B 伍dS五；dS-B-;-dS=Os-才是唷,n-(B2-B1)=0或B,11=B初CI)分界面上H
8、t（切向分量）的边界条件：-,nx(H,H2)JS，如果分界面上无源表面电流分界面上Bn的边界条件（即=0），则;x(Ii-；2)=0即凡正，或H,sin 0,=H2 sin 02 磁力线折射定律：tan0l 生tan02庄一1 l今用矢量磁位表示的边界条件为：A.=A I=A2,(Vx 4)(vX A2),=J S l 2 6、电感的计算-(I)外自感L。=;令从dl。Rdl,（2)互感叽M21=!_。4了灶dlIRdl2(3)内自感：单位长度的圆截面导线的内自感为：（长度为1的一段圆截面导线的内自感为L生）。8冗7、磁场的能证和能址密度(1)磁场的总能量8冗磁介质中，载流回路系统的总磁场能
9、量为：W,/1=E言言出l/k(2)磁场能量密度l l今分A、任意磁介质中：叭iHB,此时磁场总能世可以由W,1=；BH心计算出；B、在各向同性，线性磁介质中：l分分1:叭，HB=H,此时磁场总能屈可以由2 2 w 卢IrB如r卢f,H泊第四章时变电磁场l、法拉第电磁感应定律d(I)感应电动势为：6=-dt(2)法拉第电磁感应定律Ji f 6B 积分形式：.dl=一一dSS 6t 微分形式：VxE=aB at 它说明时变的磁场将激励电场，而且这种感应电场是一种旋涡场，即感应电场不再是保守场，感应电场E在时变磁场中的闭合曲线上的线积分等于闭合曲线围成的面上磁通的负变化率。2、麦克斯韦位移电流假说
10、按照麦克斯韦提出的位移电流假说，电位移矢量对时间的变化率可视为一种广义的:-oD 电流密度，称为位移电流密度，即jd一一。位移电流一样可以激励磁场，从而可以at 得出三曰亘亘五积分形式iHdl=fs.（J言：dS 6D 一响 微分形式：VxH=J旦2ot 3、麦克斯韦方程组(1)微分形式 (l)VxH=J+6D 6l 今(2)VxE=-6B 6l 分(3)VB=0 _(4)V D=p(2)积分形式s d3.d、气Botoq6-_ D-6 Tl3 s.+-d J I(之DI-.TB tsfs _7 Tld).34 dE(（;H壮尸中2)(3)非限定形式的麦克斯韦方程组在线性和各向同性的介质中，有
11、媒质的本构关系：一 分D=&E=&。&,E,B=H=。,H,Jc=a-E,由此可得非限定形式的麦克斯韦方程组：-(l)VxH=J+&oE 6t 一响-=.oH(2)v7x E=-at 分(3)v7-H=0(4)V&E=p(4)麦克斯韦方程组的实质A、第一方程：时变电磁场中的安培环路定律。物理意义：磁场是由电流和时变的电场激励的。B、第二方程：法拉第电磁感应定律。物理意义：说明了时变的磁场激励电场的这一事实。C、第三方程：时变电场的磁通连续性方程。物理意义：说明了磁场是一个旋涡场。D、第四方程：高斯定律。物理意义：时变电磁场中的发散电场分量是由电荷激励的。4、分界面上的边界条件(1)法向分觉的边
12、界条件 分今 A、5的边界条件nx(D1-D2)=Ps,若分界面上Ps=0，则nx(D1-D2)=0 B、B的边界条件nx(B1-B2)=0(2)切向分量的边界条件-+-A、E的边界条件nx(1-2)=0-今-B、R的边界条件nx(H,-H2)=ls,若分界面上Js=0，则nx(H1-H2)=0(3)理想导体（6oo)表面的边界条件 今(l)nxH=l s H,=l s _ _(2)nx E=0 E,=0,_ (3)n B=0 趴=0 PsPs(4)n E=E,=8。C。式中n是导体表面法线方向的单位矢量。上述边界条件说明：在理想导体与空气的分界面上，如果导体表面上分布有电荷，则在导体表面上有
13、电场的法向分量，则由上式中的式决定，导体表面上电场的切向分扯总为零；导体表面上磁场的法向分量总为零，如果导体表面上分布有电流，则在导体表面上有磁场的切向分昼，则由上式中的决定。5、波动方程无源区域内，E、H的波动方程分别为：V2H fI-I 扩E-&=0、V切&=0;矿矿此两式为三维空间中的矢昼齐次波动方程。由此可以看出：时变电磁场在无源空间中是以波动的方式在运动，故称时变电磁场为电磁波，且电磁波的传播速度为uP=。耘6、坡印廷定理和坡印廷矢量数学表达式iE泣压飞罔H飞函）d-r+忒dtl l 由于We=j五成2心为体积t内的总电场储能，叭片H2心为体积t内的总磁场储能，P=f面心为体积T内的
14、总焦耳损耗功率。千是上式可以改写成：扑泣d立纠庄咒）P,式中的s为限定体积T的闭合面。a 物理意义：对空间中任意闭合面s限定的体积仁S矢蜇流入该体积边界面的流量等千该体积内电磁能量的增加率和焦耳损耗功率，它给出了电磁波在空间中的能楹守恒和能蛊转换关系。坡印廷矢量（能流矢量）5社H表示沿能量流动方向单位面积上传过的功率。_ 7、动态矢械磁位A和动态标最为小与电磁场的关系为：今 oA B=vxA,E=-v-at 达朗贝尔方程（或称A 与中的非齐次波动方程）为 a2 A v2A-&-=J,守心6=p 矿矿c第五章正弦平面电磁波1欧拉公式：矿cosx+jsin x|l、正弦电磁场(I)正弦电场、磁场强
15、度的复数表示方法（以电场强度为例）在直角坐标系中，正弦电磁场的电场分扯可以写成：一 E(x,y,z,t)=ax Ex111(x,y,z)cos皿吓x,y,z)+ay 肛(x,y,z)COS威+(fJY(x,y,z)+;,互，,(x,y,z)cos颂(pz(x,y,z)运用欧拉公式将其表示成复数矢量形式：互ExmCOS皿cp_Jx,y,z)=Re互，,ej(wt+tp叶Re(Exm尸）E.v=Ey111 cos吼(/Jy(x,y,z)=ReEyme1（妞P),)=Re(Eym e1M)Ez=Ezm COS恤cpJx,y,z)=Re丛，e也P:l=Re(Ezm e1(,i/)其中，Exm=E.nl
16、lejp.,E yrn=E yme坪,E z/1I=Ezme坪2分别称为各分阰振幅的相量，它的模和相位角都是空间坐标的函数，因此.E(x,y,z,t)=Re(ax E.,m+ay E ym+a,E ZIii)ej 102时，媒质被称为良导体；当10-2.!._ 102时，媒质被称为半导电介质；08 mc 6 当-10一2时，媒质被称为低损耗介质。08 5、波在有耗介质中的传播电磁波在导电媒质中的相速变慢，波长变短，场的振幅随波的传播按指数规律衰减。传&播常数r=a+J/J，其中a飞门一(R尸l)导电媒质中波的传播速度为/3叫夸忙勹三）OJ v=P/J，在导电媒质中波的传播速度随频率变化，这种现象称为叫三了1J色散现象。导电媒质中磁场能量大千电场能量。6、相速是波阵面移动的速度，它不代表电磁波能量的传播速度，也不代表信号的传播速度。而群速度才是电磁波信号和电磁波能虽的传播速度。