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1、初等数论期末练习一一、单项选择题1、如果，则( ).A B C D 2、如果，则15（ ）.A 整除 B 不整除 C 等于 D不一定3、在整数中正素数的个数（ ）.A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定4、如果,是任意整数,则A B C T D 5、如果( ),则不定方程有解.A B C D 6、整数5874192能被( )整除.A 3 B 3与9 C 9 D 3或97、如果，则30（ ）.A 整除 B 不整除 C 等于 D不一定8、大于10且小于30的素数有（ ）.A 4个 B 5个 C 6个 D 7个9、模5的最小非负完全剩余系是( ).A -2,-1,0,1,2 B -5,-4,
2、-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5 D 0,1,2,3,410、整数637693能被( )整除.A 3 B 5 C 7 D 9二、填空题1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）.2、同余式有解的充分必要条件是( ).3、如果是两个正整数,则不大于而为的倍数的正整数的个数为( ).4、如果是素数,是任意一个整数,则被整除或者( ).5、的公倍数是它们最小公倍数的( ).6、如果是两个正整数,则存在( )整数,使,.7、设是素数,则不定方程有（ ）.8、如果同余式有解,则解的个数( ).9、在176与545之间有( )是13的倍数.10、如果,则=( ).11、如果,那么=( ).三、计算题1
3、、求136,221,391=?2、求解不定方程.3、解同余式.4、求,其中563是素数. （8分）5、求24871,3468=?6、求解不定方程.7、解同余式.8、求17的平方剩余与平方非剩余.四、证明题1、证明对于任意整数,数是整数.2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.3、证明形如的整数不能写成两个平方数的和.4、如果整数的个位数是5,则该数是5的倍数.5、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.初等数论期末练习一答案一、单项选择题1、D. 2、A 3、C 4、A 5、A 6、B 7、A 8、C 9、D 10、B二、填空题1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）.2、同余式有解的充分必要
4、条件是().3、如果是两个正整数,则不大于而为的倍数的正整数的个数为( ).4、如果是素数,是任意一个整数,则被整除或者( 与互素 ).5、的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ).6、如果是两个正整数,则存在( 唯一 )整数,使,.7、设是素数,则不定方程有（ 唯一解 ）.8、如果同余式有解,则解的个数( ).9、在176与545之间有( 28 )是13的倍数.10、如果,则=( ).11、如果,那么=( 1 ).三、计算题1、 求136,221,391=?（8分）解 136,221,391=136,221,391 =1768,391 = =104391=40664. 2、求解不定方程.（8分
5、） 解：因为（9，21）=3，所以有解； 化简得； 考虑，有， 所以原方程的特解为， 因此，所求的解是。 3、解同余式. （8分）解 因为(12,45)=35,所以同余式有解,而且解的个数为3. 又同余式等价于,即. 我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3), 即定理中的. 因此同余式的3个解为, , .4、求,其中563是素数. （8分）解 把看成Jacobi符号,我们有-）-,即429是563的平方剩余. 5、求24871,3468=?（8分） 解：因为 （24871,3468）=17 所以 24871,3468= =5073684 6、求解不定方程.（8分） 解：因为 ,所以
6、有解; 考虑,; 所以是特解, 即原方程的解是 7、解同余式.（8分）解 因为(111,321)=375,所以同余式有3个解. 将同余式化简为等价的同余方程 . 我们再解不定方程, 得到一解(-8,3). 于是定理中的. 因此同余式的3个解为, , . 8、求17的平方剩余与平方非剩余.(8分)解 因为,所以平方剩余与平方非剩余各有8个. 又因为 , , 所以,1,2,4,8,9,13,15,16是素数17的8个平方剩余.其它的8个数3,5,6,7,10,11,12,14是素数17的平方非剩余. 四、证明题1、证明对于任意整数,数是整数. (10分) 证明 因为=, 而且两个连续整数的乘积是2
7、的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数, 并且(2,3)=1, 所以从和有,即是整数. -（1分）2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除. （11分） 证明 因为, 所以只需证明T.而我们知道模5的完全剩余系由-2,-1,0,1,2构成,所以这只需将n=0,1,2代入分别得值1，7，1，19，7.对于模5, 的值1，7，1，19，7只与1，2，4等同余, 所以T 所以相邻两个整数的立方之差不能被5整除。 3、证明形如的整数不能写成两个平方数的和. （11分） 证明 设是正数,并且, 如果, 则因为对于模4,只与0,1,2,-1等同余, 所以只能与0,1同余, 所以, 而这与的假设不符, 即定理的结论成立. 4、如果整数的个位数是5,则该数是5的倍数.（11分）证明 设是一正整数,并将写成10进位数的形式:=,. 因为100(mod5), 所以我们得到 所以整数的个位数是5,则该数是5的倍数. 5、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数. （10分） 证明 设相邻两个偶数分别为 所以= 而且两个连续整数的乘积是2的倍数 即是8的倍数.