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1、精品文档 精品文档 初等数论期末练习二 一、单项选择题 1、),0(b（）.A b B b C b D 0 2、如果1),(ba，则),(baab=（）.A a B b C 1 D ba 3、小于 30 的素数的个数（）.A 10 B 9 C 8 D 7 4、如果)(modmba,c是任意整数,则 A )(mod mbcac B ba C (mod)acbcm D ba 5、不定方程210231525yx（）.A 有解 B 无解 C 有正数解 D 有负数解 6、整数 5874192 能被()整除.A 3 B 3 与 9 C 9 D 3 或 9 7、如果ab，ba，则().A ba B ba C
2、 ba D ba 8、公因数是最大公因数的（）.A 因数 B 倍数 C 相等 D 不确定 9、大于 20 且小于 40 的素数有（）.A 4 个 B 5 个 C 2 个 D 3 个 10、模 7 的最小非负完全剩余系是().A -3，-2,-1,0,1,2，3 B -6，-5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5，6 D 0,1,2,3,4，5，6 11、因为(),所以不定方程71512yx没有解.A 12，15不整除 7 B （12，15）不整除 7 C 7 不整除（12，15）D 7 不整除12，15 12、同余式)593(mod4382x（）.A 有解 B 无解 C 无法确定
3、D 有无限个解 二、填空题 1、有理数ba，0,(,)1ab a b，能写成循环小数的条件是（）.2、同余式)45(mod01512x有解，而且解的个数为().3、不大于 545 而为 13 的倍数的正整数的个数为().4、设n是一正整数，Euler 函数)(n表示所有()n，而且与n（）的正整数的个数.5、设ba,整数，则),(ba（）=ab.6、一个整数能被 3 整除的充分必要条件是它的（）数码的和能被 3 整除.7、xx（）.8、同余式)321(mod75111 x有解,而且解的个数().9、在 176 与 545 之间有()是 17 的倍数.精品文档 精品文档 10、如果0ab,则),
4、(,baba=().11、ba,的最小公倍数是它们公倍数的().12、如果1),(ba,那么),(baab=().三、计算题 1、求 24871 与 3468 的最小公倍数?2、求解不定方程2537107yx.（8 分）3、求563429,其中 563是素数.（8 分）4、解同余式)321(mod75111 x.（8 分）5、求525,231=?6、求解不定方程18116yx.7、判断同余式)1847(mod3652x是否有解？8、求 11 的平方剩余与平方非剩余.四、证明题 1、任意一个n位数121aaaann与其按逆字码排列得到的数nnaaaa121的差必是 9的倍数.（11 分）2、证明
5、当n是奇数时，有)12(3n.（10 分）3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积,仍然是两个平方数的和;两个能表成两个平方数和的数的乘积,也是一个两个平方数和的数.（11 分）4、如果整数a的个位数是 5,则该数是 5 的倍数.5、如果ba,是两个整数,0b,则存在唯一的整数对rq,使得rbqa,其中br 0.精品文档 精品文档 初等数论期末练习二答案 一、单项选择题 1、C 2、C 3、A 4、A 5、A 6、B 7、D 8、A 9、A 10、D 11、B 12、B 二、填空题 1、有理数ba，1),(,0baba，能写成循环小数的条件是（1)10,(b ）.2、同余式)45(mo
6、d01512x有解，而且解的个数为(3 ).3、不大于 545 而为 13 的倍数的正整数的个数为(41 ).4、设n是一正整数，Euler 函数)(n表示所有(不大于)n，而且与n（互素 ）的正整数的个数.5、设ba,整数，则),(ba（,ba）=ab.6、一个整数能被 3 整除的充分必要条件是它的（十进位）数码的和能被 3 整除.7、xx（x ）.8、同余式)321(mod75111 x有解,而且解的个数(3 ).9、在 176 与 545 之间有(12 )是 17 的倍数.10、如果0ab,则),(,baba=(ab ).11、ba,的最小公倍数是它们公倍数的(因数 ).12、如果1),
7、(ba,那么),(baab=(1 ).三、计算题 1、求 24871 与 3468 的最小公倍数?解：因为（24871,3468）=17 所以24871,3468=17346824871=5073684 所以 24871 与 3468 的最小公倍数是 5073684。2、求解不定方程2537107yx.（8 分）解：因为（107，37）=125，所以有解；考虑137107yx，有26,9yx，所以，原方程特解为259x=225，2526y=-650，所以通解为tytx107650,37225 3、求563429,其中 563是素数.（8 分）解 把563429看成 Jacobi符号,我们有 2
8、7672767)1(67276742967429)1(429672167.212721429.2167 11311327)1(27132113.2127,即 429是 563的平方剩余.精品文档 精品文档 4、解同余式)321(mod75111 x.（8 分）解 因为(111,321)=375,所以同余式有 3 个解.将同余式化简为等价的同余方程 )107(mod2537x.我们再解不定方程2510737yx,得到一解(-8,3).于是定理 4.1中的80 x.因此同余式的 3 个解为)321(mod8x,)321(mod99)321(mod33218x,)321(mod206)321(mod
9、332128x.5、求525,231=?解：解：因为（525,231）=21 所以 525,231=17231525=5775 6、求解不定方程18116yx.解：因为（6，11）18，所以有解；考虑1116yx，有1,2yx。所以，特解为18,36yx，通解为tytx618,1136。7、判断同余式)1847(mod3652x是否有解？（8 分）解 我们容易知道 1847是素数,所以只需求1847365的值.如果其值是 1,则所给的同余式有解,否则无解.因为735365,所以 184773184751847365.再)4(mod173),4(mod15,所以 1525184718475,精品
10、文档 精品文档.17471111711731 73117327322731847184773 所以,1847365=1.于是所给的同余式有解.8、求 11 的平方剩余与平方非剩余.解 因为52111,所以平方剩余与平方非剩余各有 5 个.又因为 112,422,932,542,352,所以,1，3，4，5，9 是素数 11 的 5 个平方剩余.其它的 8 个数，2，6，7，8，10 是素数 11的平方非剩余.四、证明题 1、任意一个n位数121aaaann与其按逆字码排列得到的数nnaaaa121的差必是 9的倍数.（11 分）证明 因为 121aaaann12211101010aaaannn
11、n,nnaaaa121=nnnnaaaa10101012211,所以,121aaaann-nnaaaa121=).101()101(10)110(10)110(1132311nnnnnnaaaa 而上面等式右边的每一项均是 9 的倍数,于是所证明的结论成立.2、证明当n是奇数时，有)12(3n.（10 分）证明 因为)3(mod12,所以)3(mod1)1(12nn.于是,当n是奇数时,我们可以令12 kn.从而有)3(mod01)1(1212kn,即)12(3n.精品文档 精品文档 3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积,仍然是两个平方数的和;两个能表成两个平方数和的数的乘积,也是
12、一个两个平方数和的数.（11 分）证明（1）设22bam,则显然222)()(rbramr.（2）如果22dcn,那么 222222222222)(dbcbdacadcbamn=)2()2(22222222abcdcbdaabcddbca =22)()(bcadbdac.4、如果整数a的个位数是 5,则该数是 5 的倍数.(11 分)证明 设a是一正整数,并将a写成 10 进位数的形式:a=1101010nnnnaaa,010ia.因为 100(mod5),所以我们得到 )5(mod0aa 所以整数a的个位数是 5,则该数是 5 的倍数.5、如果ba,是两个整数,0b,则存在唯一的整数对rq,使得rbqa,其中br 0.证明 首先证明唯一性.设q,r是满足条件的另外整数对,即 rqba,br 0.所以rbqrqb,即rrqqb,rrqqb.又 由于br 0,br 0,所以brr.如果qq,则等式rrqqb不可能成立.因此qq,rr.其次证明存在性.我们考虑整数的有序列 ,3,2,0,2,3bbbbbb 精品文档 精品文档 则整数a应介于上面有序列的某两数之间,即存在一整数q使 bqaqb1.我们设qbar,则有rbqa,br 0.